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突破3.3 抛物线
A组 基础巩固
1．（2020·四川成都市·石室中学高二期中（文））抛物线上一点与焦点的距离等于9，点的横坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
先求得准线方程，结合抛物线的定义求得的横坐标.
【详解】
抛物线的准线方程为，
抛物线上点到焦点的距离等于9，
根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得点的横坐标为6.
故选：C
2．（2022·全国高三专题练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
【答案】B
【分析】
分别过A，B作准线的垂线，交准线于E，D，设|BF|=a，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p，可得所求抛物线的方程．
【详解】
如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由抛物线定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝6，|AC|＝6＋3a，2|AE|＝|AC|，所以6＋3a＝12，从而得a＝2，|FC|＝3a＝6，所以p＝|FG|＝|FC|＝3，因此抛物线方程为y2＝6x.
故选：B
3．（2021·全国高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
作，，垂足分别为，，且与轴交于点，
作，，垂足分别为，，由三角形相似的性质与抛物线的性质求解即可
【详解】
如图，作，，垂足分别为，，且与轴交于点，
作，，垂足分别为，.
设，则，，故.
因为，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以，则.
因为为的中点，且轴，
所以为的中点，即.
因为，
所以，
所以，
所以，
故.
故选：C
4．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】
利用点到准线的距离可以求出点的坐标，再利用待定系数法求参数，便可确定抛物线的方程.
【详解】
解：抛物线的准线方程是，而点到准线的距离为6
点的横坐标是，于是
代入，得，
解得或，故该抛物线的标准方程为或．
故答案选：D
5．（2021·建平县实验中学高二期中）设抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用直线与圆相交的弦长公式，列式求.
【详解】
准线方程为，圆的圆心为，半径，半弦长为，
则，解得，
所以抛物线的方程为．
故选：B
6．（2021·河南高二期末（理））已知为曲线上一点，，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】
利用抛物线的定义知等于到准线的距离，则最小值为到准线的距离，即可求的最小值.
【详解】
由题意知：曲线是抛物线的右半部分且是焦点，
∵为曲线上一点，若到准线的距离为，则，
∴，要使其值最小，则即为到准线的距离，
∴的最小值为.
故选：D
7．（2021·昭通市昭阳区第一中学高二月考（理））已知直线与抛物线交于点、，且以为直径的圆与轴相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，可得出关于的二次方程，列出韦达定理，由已知条件可得出，结合可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，消去可得，
，解得，
由韦达定理可得，，所以，，
由弦长公式可得，
由题意可得，即，解得，
故选：B.
8．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
【答案】D
【分析】
设，由题意得到，设直线AB方程为，联立方程组得到，根据均为抛物线上的点，得到，两式相加得出关于的方程，求得的值，结合焦点弦的性质，即可求解.
【详解】
设，
因为中点坐标为，可得，，
因为直线AB过焦点，可设直线AB方程为，
联立直线AB与抛物线方程，整理得，则，
因为均为抛物线上的点，可得，
两式相加得，
即，解得或，
因为，可得或.
故选：D.
9．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy中，设M为抛物线的弦ON的中点，在抛物线C上点N处的切线交x轴于点P，且，则的值为___________.
【答案】2
【分析】
设点，得，根据导函数知识求得抛物线在点处的切线的方程，继而求得切线与轴的交点，由，求得点的坐标，从而求得答案.
【详解】
解：由题，设点，由M为ON的中点，所以，
因为抛物线，即，则，所以抛物线在点处的切线的方程为：，即，
令，解得，所以切线与轴的交点，所以，，所以，则.
故答案为：2.
10．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.
【答案】
【分析】
设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最大值．
【详解】
设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.
由抛物线的定义，知，.
由余弦定理得.又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最大值为.
故答案为：．
11．（2021·全国高三月考）已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.
【答案】
【分析】
利用抛物线的定义及已知条件可求.
【详解】
如图，由已知在右侧，作垂直准线于，
则，，
，
故焦点到准线的距离，准线方程为.
故答案为：
12．（2021·全国高二专题练习）已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是__________．
【答案】
【分析】
先求得椭圆的左焦点，然后利用抛物线交点与准线的关系求解即可.
【详解】
椭圆中，．
于是抛物线的焦点是，故其准线方程是．
故答案为：.
13．（2021·全国高二单元测试）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】
【分析】
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
【详解】
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
【点睛】
利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
14．（2021·全国高二课时练习）动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程．
【答案】
【分析】
作直线：，点性质转化为到点的距离等于到直线的距离，轨迹为抛物线，由此易得轨迹方程.
【详解】
如图，设动圆圆心为，过点作于点，
作直线：，过点作于点，连接．
设动圆的半径为，由题知圆的半径为1．∵圆与圆外切，∴．
又∵圆与直线：相切，∴．
∵，即动点到定点与到定直线的距离相等，
∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线．
设抛物线的方程为，可知，
∴所求动圆圆心的轨迹方程为．
15．（2020·全国）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
（1）准线方程为；
（2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
【答案】（1）；（2）和.
【分析】
（1）设抛物线的标准方程为，由，即可求得抛物线的标准方程；
（2）设方程为，根据焦点到准线的距离为，求得，即可得到抛物线的标准方程.
【详解】
（1）由题意，抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线交y轴于正半轴，
设抛物线的标准方程为，则，则，
故所求抛物线的标准方程为.
（2）已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为，
由焦点到准线的距离为，可得，即，
所以满足条件的抛物线有两条，标准方程分别为和.
16．（2020·衡阳市第二十六中学高二期中）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.
（1）准线方程为的抛物线；
（2）焦点在轴上，焦距等于4，长轴长为6的椭圆；
（3）离心率为，且过点的双曲线.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据抛物线的定义直接求抛物线的方程即可；
（2）根据椭圆的性质求解即可；
（3）根据离心率为得双曲线为等轴双曲线，进而待定系数法求解即可.
【详解】
解：（1）准线方程为的抛物线，
故抛物线的焦点在的负半轴上，且，解得，
所以抛物线的方程为：.
（2）根据题意得：，即，故，
由于椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为：.
（3）因为双曲线的离心率为，故双曲线为等轴双曲线，
故设，由于双曲线过点的双曲线，
所以，所以双曲线的方程为：
B组 能力提升
17．（2021·全国高二课时练习）如图，过点作两条直线和，分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．
（1）试求，两点的纵坐标之积，并证明：点在定直线上；
（2）记的面积为，的面积为，若，求的最小值．
【答案】（1），证明见解析；（2）．
【分析】
（1）联立直线方程与抛物线方程求得，从而可得，
再由点斜式方程求得直线的方程为，直线的方程为，消去求出，得解；
（2）由题意有，再令，则，再由重要不等式求最小值即可得解.
【详解】
（1）将直线的方程代入抛物线得：，
设点，，则.
由题得，，直线的方程为，
直线的方程为，消去得，
将代入上式得，
故点在直线上.
（2）∵，，
又，
∴.
令，则，
当且仅当即时，取到最小值.
18．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线的焦点.
（1）设，动点在上运动，证明：.
（2）如图，直线与交于，两点（在第一象限，在第二象限），分别过，作的垂线，交轴于，两点，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的方程可得焦点的坐标，从而求出和点的坐标，再根据抛物线的焦半径公式即可证出；
（2）设，，分别求出直线的方程，得到点的坐标，即可得到，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得的范围，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）由抛物线的方程可得焦点的坐标为，所以，可得，
故抛物线的方程为，点的坐标为，抛物线的准线方程为.
设到准线的距离为，由抛物线的性质可得.因为到准线的距离，所以.
（2）由，得.设，（，），
则，，所以，.
直线的方程为，令，得的纵坐标.
直线的方程为，令，得的纵坐标，
所以，
所以的取值范围为.
19．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知抛物线，（）的焦点与椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程.
（2）直线与抛物线交于，两点，当为何值时，以为直径的圆，恒过原点.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）分别求得椭圆和抛物线的焦点坐标，得到，即可求解；
（2）设，联列方程组得到所以，，根据为直径的圆，恒过原点，利用，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆的右焦点为，抛物线的焦点为，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）因为直线与抛物线交于，两点，设，
联列方程组，可得，
所以，，
由，解得，
以为直径的圆，恒过原点，则，可得，
又由，，
可得
，解得或，
所以当或时，为直径的圆，恒过原点.
20．（2021·江北·重庆十八中高二月考）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．
【答案】（1）2；（2）
【分析】
（1）求出焦点坐标后可得焦距.
（2）设直线，，则可得，设，利用点差法可得，从而可得，故可求的最大值，从而可求的最小值.
【详解】
（1）由椭圆的方程可得焦点坐标为，故焦距为2.
（2）由抛物线方程可得，，
由抛物线和椭圆的对称性可不妨设，则.
设直线，则，
由可得，
故.
设，
则 ，所以即，
所以，而，所以，
因为直线不过原点，故，所以，
故即，
整理得到，，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.
故即，
由可得，故，所以，
所以，故，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
【点睛】
方法点睛：对于直线与椭圆位置关系中的中点弦问题，可利用点差法得到直线的斜率与中点的关系式，在最值问题的处理中，注意根据等式关系结合基本不等式并利用放缩法得到参数的取值的范围，从而得到相应的最值.
21．（2020·云南省楚雄天人中学高二月考（文））已知抛物线的焦点到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与过点的抛物线交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由题意易知，进而可得抛物线方程；
（2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程，利用根于系数的关系，结合斜率公式即可求解
【详解】
（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，
因为已知抛物线，
所以抛物线方程为；
（2）设，，直线MN的方程为，
代入抛物线方程整理得，
所以，，，
所以，
所以为定值，且定值为
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突破3.3 抛物线
A组 基础巩固
1．（2020·四川成都市·石室中学高二期中（文））抛物线上一点与焦点的距离等于9，点的横坐标为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022·全国高三专题练习）如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，则此抛物线方程为（ ）
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
3．（2021·全国高三月考（文））已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，与轴正半轴交于点，与抛物线的准线交于点.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线上一点的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
5．（2021·建平县实验中学高二期中）设抛物线的准线被圆所截得的弦长为，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·河南高二期末（理））已知为曲线上一点，，，则的最小值为（ ）
A．6 B． C．5 D．
7．（2021·昭通市昭阳区第一中学高二月考（理））已知直线与抛物线交于点、，且以为直径的圆与轴相切，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·黑龙江实验中学高三（文））已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A B两点，若AB的中点为，则线段AB的长为（ ）
A． B．4 C．5 D．4或5
9．（2021·重庆北碚区·西南大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy中，设M为抛物线的弦ON的中点，在抛物线C上点N处的切线交x轴于点P，且，则的值为___________.
10．（2021·全国高二课时练习）抛物线的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为______.
11．（2021·全国高三月考）已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是正三角形，且，则抛物线的准线方程为__________.
12．（2021·全国高二专题练习）已知抛物线的焦点是椭圆的左焦点，则抛物线的准线方程是__________．
13．（2021·全国高二单元测试）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
14．（2021·全国高二课时练习）动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程．
15．（2020·全国）根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
（1）准线方程为；
（2）焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5.
16．（2020·衡阳市第二十六中学高二期中）写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程.
（1）准线方程为的抛物线；
（2）焦点在轴上，焦距等于4，长轴长为6的椭圆；
（3）离心率为，且过点的双曲线.
B组 能力提升
17．（2021·全国高二课时练习）如图，过点作两条直线和，分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．
（1）试求，两点的纵坐标之积，并证明：点在定直线上；
（2）记的面积为，的面积为，若，求的最小值．
18．（2021·全国高二课时练习）已知点为抛物线的焦点.
（1）设，动点在上运动，证明：.
（2）如图，直线与交于，两点（在第一象限，在第二象限），分别过，作的垂线，交轴于，两点，求的取值范围.
19．（2021·陕西省洛南中学高三月考（理））已知抛物线，（）的焦点与椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程.
（2）直线与抛物线交于，两点，当为何值时，以为直径的圆，恒过原点.
20．（2021·江北·重庆十八中高二月考）如图，已知椭圆，抛物线，点是椭圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值．
21．（2020·云南省楚雄天人中学高二月考（文））已知抛物线的焦点到准线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与过点的抛物线交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．
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