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突破3.3 抛物线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝ x0＋ ＝ －x0＋ ＝ y0＋ ＝ －y0＋
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
三、题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（辽宁省丹东一中2019届期中）已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
（2）．（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______．
【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）（河北省承德一中2019届调研）过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
（2）．（2021·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
【变式训练2-2】．（2021·陕西西北工业大学附属中学高二期中）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（理））求符合下列条件的曲线方程
（1）顶点在原点，焦点在正半轴上且经过点的抛物线方程.
（2）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程.
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点F关于准线的对称点为；
（2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形．
重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·全国高三）在平面直角坐标系中，抛物线：上一点到焦点的距离.不经过点的直线与交于，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点.
【变式训练4-1】．（2021·四川省新津中学高二月考（文））已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．
重难点题型突破4 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例5.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【变式训练5-1】．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________．
例6．（2021·江苏南京·高三月考）已知抛物线C1：y2＝4x与椭圆C2：＝1（a＞b＞0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互补，求F1QR面积S的最大值．
【变式训练6-1】．（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
5．（2020·江西省靖安中学高二月考（文））已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为__________
6．（2021·江苏苏州·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为___________.
7．（2020·全国高三专题练习）根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，|AF|=5.
8．（2021·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．
（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
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突破3.3 抛物线
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝ x0＋ ＝ －x0＋ ＝ y0＋ ＝ －y0＋
考点二 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
考点三 与抛物线有关的经典结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
三、题型突破
重难点题型突破1 抛物线的定义及应用
例1．（1）、（辽宁省丹东一中2019届期中）已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【答案】D
【解析】因为F是抛物线x2＝8y的焦点，所以F(0,2)，因为抛物线上的点A到x轴的距离为5，所以|AF|＝5＋＝7.
（2）．（2021·全国高三月考（文））抛物线上点到其准线的距离为1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
将抛物线方程化为标准形式，求出准线方程，根据已知条件列方程即可求解.
【详解】
抛物线即，可得准线方程，
因为到其准线的距离为1，
所以，解得，
故选：.
（3）．（2021·全国高三月考（理））抛物线上一点到其焦点的距离为，则的值为______．
【答案】
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再利用点到直线的距离公式进行求解.
【详解】
将抛物线化为，
由抛物线定义得点到准线的距离为，
即，解得．
故答案为：.
【变式训练1-1】．（湖南省娄底一中2019届期末）已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3.由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4.由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，所以|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.
【变式训练1-2】．（河南省安阳一中2019届期末）若抛物线y2＝2x上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
【答案】
【解析】设点 M(xM，yM)，则即x＋2xM－3＝0，解得xM＝1或xM＝－3(舍去)．故点M到该抛物线焦点的距离为xM＋＝1＋＝.
【变式训练1-3】．（2021·全国高二课时练习）已知（，2，3，，2021）是抛物线上的点，是抛物线的焦点，若，则______.
【答案】2021
【分析】
由抛物线方程得出焦点坐标和准线方程，由向量等式求得，最后结合抛物线定义得到答案.
【详解】
设（，2，3，…，2021），因为是抛物线上的点，是抛物线的焦点，所以，准线为：.因此，所以，即.又由抛物线的定义，可得，所以
.
故答案为：2021
重难点题型突破2 抛物线的标准方程及几何性质
例2．（1）（河北省承德一中2019届调研）过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16，则p＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可得x1＋x2＝6，x1＋x2＋p＝8，所以p＝2.
（2）．（2021·全国高二课时练习）设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】
由抛物线方程写出焦点F坐标并设出点M坐标，利用抛物线定义探求出圆与y轴相切于点，再经推理计算即得.
【详解】
抛物线：的焦点，设，
由抛物线的定义，知，得，则以为直径的圆的圆心横坐标为，而圆的半径为，
于是得该圆与轴相切于点，得圆心的纵坐标为2，则点的纵坐标为4，即，
从而有，整理得，解得或，
所以抛物线的方程为或.
故选：C
【变式训练2-1】．（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－x B.x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
【答案】D
【解析】设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.故抛物线方程为y2＝－x或x2＝－8y.
【变式训练2-2】．（2021·陕西西北工业大学附属中学高二期中）抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据抛物线定义建立关系可求出.
【详解】
抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
例3．（2021·四川省资中县第二中学高二月考（理））求符合下列条件的曲线方程
（1）顶点在原点，焦点在正半轴上且经过点的抛物线方程.
（2）以椭圆长轴两个端点为焦点，以该椭圆焦点为顶点的双曲线的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用待定系数法运算即可得解；
（2）由椭圆的性质求出双曲线的焦点和顶点，即可得解.
【详解】
（1）因为抛物线顶点在原点，焦点在正半轴上，
所以可设抛物线方程为，
又抛物线经过点，所以，
所以抛物线方程为；
（2）由题意，椭圆长轴两个端点为，半焦距为，
所以椭圆焦点为，
所以双曲线的焦点为，顶点为，
所以该双曲线的方程为即.
【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点F关于准线的对称点为；
（2）关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12；
（3）关于x轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】
用待定系数法求抛物线的标准方程.
【详解】
（1）由题意可设抛物线的标准方程为：，焦点，准线l：.
因为焦点F关于准线的对称点为，
所以，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（2）由题意可设抛物线的标准方程为：，
因为直线与抛物线相交所得线段的长为12，
所以点在抛物线上，代入得：，解得：，
所以所求抛物线的标准方程为：.
（3）由题意可设抛物线的标准方程为：或，
当焦点在x轴正半轴上时，
因为△MNF为等边三角形，且，
则，即p=3，
所以抛物线的标准方程为：.
同理可求，当焦点在x轴负半轴上时，抛物线的标准方程为：.
重难点题型突破3 直线与抛物线位置关系
例4．（2022·全国高三）在平面直角坐标系中，抛物线：上一点到焦点的距离.不经过点的直线与交于，.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线，的斜率之和为2，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义由到准线的距离等于列方程求得的值，即可求解；
（2）求出点的坐标，设直线的方程是，，，将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得，，利用列方程可得，再代入直线方程即可得所过的定点.
【详解】
（1）抛物线：的焦点，准线方程为，
因为抛物线上一点到焦点的距离，
由抛物线的定义得，所以.
所以抛物线的标准方程是；
（2）将代入可得或（舍），所以点坐标为，
因为直线的斜率不等于，设直线的方程是，，，
联立，得，
因为直线与有两个交点，所以，即.
由韦达定理得，
因为直线，的斜率之和为2，
所以
，
所以，
将代入上式可得：，即，
所以直线的方程是，它过定点.
【点睛】
思路点睛：解决定值、定点的方法
（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；
（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.
【变式训练4-1】．（2021·四川省新津中学高二月考（文））已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，延长交抛物线于点，以点为圆心作与直线相切的圆，求圆的半径，判断圆与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），相切，理由见解析.
【分析】
（1）解方程即得解；
（2）设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．求出，再求出点到直线的距离，即得解.
【详解】
解：（1）由抛物线的定义得．
因为，即，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．
因为点在抛物线上，
所以，
由抛物线的对称性，不妨设，
由，可得直线的方程为，
由得，
解得或，从而．
又，
故直线的方程为，
从而．
又直线的方程为，
所以点到直线的距离．
这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．
重难点题型突破4 抛物线与其他圆锥曲线的综合问题
例5.若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
【变式训练5-1】．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________．
【答案】
【解析】双曲线的右准线，渐近线，双曲线的右准线与渐近线的交点，交点在抛物线上，可得：，
解得．故答案为．
例6．（2021·江苏南京·高三月考）已知抛物线C1：y2＝4x与椭圆C2：＝1（a＞b＞0）有公共的焦点，C2的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互补，求F1QR面积S的最大值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】
（1）由已知条件推导出，结合和隐含条件，即可求出椭圆标准方程；
（2）设，，，，，与互补，可得，根据已知条件，结合韦达定理、点到距离公式和均值不等式，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意可得，抛物线的焦点为，
椭圆的半焦距，又椭圆的离心率为，
，即，
，，即，
椭圆的方程为．
（2）设，，，，，
与互补，，
，化简整理，可得①，
设直线 为，
联立直线与椭圆方程，
化简整理，可得，
，可得②，
由韦达定理，可得③，
将，代入①，可得④，
再将③代入④，可得，解得，
的方程为，
由点到直线的距离，
，
由②可得，，即，
设，令，，
，
由均值不等式可知，，
当且仅当时，即，等号成立，
当取最小值时，取最大值，即面积最大，
，
△面积最大值为．
【变式训练6-1】．（2020·山东高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
四、定时训练（30分钟）
1．（2022·全国高三专题练习）如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
2．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设出直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程，借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出.
【详解】
由已知得直线的方程为，联立方程组消去得.设，，由韦达定理知.因为，所以，所以，即，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，求得直线，设直线与抛物线相切，联立方程组，利用，求得，结合两平行线间的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为直线的倾斜角为，所以直线，
设直线与抛物线相切，
联立方程组，可得，
则，解得，且 ，
故两平行线间的距离，解得，
所以抛物线的方程为，则准线方程为.
故选：B.
4．（2021·全国高三开学考试（理））已知点F为抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若，则（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】
设直线l的方程为，联立直线l与抛物线方程化简可得，设，，由此可得，结合可求A,B的坐标，再由焦点弦公式求|AB|.
【详解】
因为焦点，设直线l的方程为，代入抛物线方程，得．设，，由韦达定理得．因为，所以，所以．解得，或，，所以，，所以．故选D．
5．（2020·江西省靖安中学高二月考（文））已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程为__________
【答案】
【分析】
设抛物线的标准方程为：，根据准线方程求出的值，即可求解.
【详解】
设抛物线的标准方程为：，
其焦点为，准线方程为，
可得：，
所以抛物线的标准方程为：，
故答案为：.
6．（2021·江苏苏州·高三开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】
由焦点在抛物线的准线上可求得双曲线的一个焦点为，可得，再由渐近线方程是即可求得双曲线方程.
【详解】
由题意可得，抛物线的准线为，
双曲线的一个焦点为，即有，
又，，，，
则所求双曲线的方程为.
故答案为：.
7．（2020·全国高三专题练习）根据下列条件分别求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线的左顶点;
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线与抛物线交于点A，|AF|=5.
【答案】（1）；（2）y2=±2x或y2=±18x.
【分析】
（1）将双曲线方程化为标准形式，可求出其左顶点为，从而可知抛物线的焦点为，由此设抛物线方程为，则，求出的值，即可得抛物线的方程；
（2）由题意设抛物线方程为，，则，再由|AF|=5，得，从而可求出的值，进而可求出抛物线的方程
【详解】
(1)双曲线方程可化为=1，左顶点为，
由题意设抛物线方程为且，
所以，所以抛物线的方程为.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为，，
由抛物线定义得5=|AF|=.
又(-3)2=2nm，∴n=±1或n=±9，
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
8．（2021·上海闵行区·闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．
（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，
（2）求的面积（只与有关，与、无关）；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．
【答案】（1），，证明见解析；（2）；（3）能，面积为.
【分析】
（1）直线代入抛物线，求出的坐标，设切线方程为，代入抛物线方程，求出的坐标，即可证明结论；
（2）利用韦达定理，表示出三角形面积，即可得出结论；
（3）分别求出，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，即可得出结论．
【详解】
解：（1）由直线与抛物线，
得，
，，
点
设切线方程为，
代入抛物线方程可得，
得，所以，切点的横坐标为，切线为，所以
由于、的横坐标相同，垂直于轴．
（2），．
．
的面积与、无关，只与有关．
（3）由（1）知垂直于轴，，
由（2）可得、的面积只与有关，将中的换成，
可得．
记，，按上面构造三角形的方法，无限的进行下去，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积，看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，此数列公比为，
封闭图形的面积
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