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突破1.1 空间向量及其运算
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若，则，的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
2．（2021·全国高二课时练习）已知，，且，则x=（ ）
A．5 B．4 C．-4 D．-2
3．（2020·全国高二课时练习）若，，，则的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．36
4．（2021·威远中学校高二期中（理））如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2021·全国高二单元测试）如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，设＝，＝，＝，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·广东高二期末）如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·浙江高二单元测试）如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量模相等的向量有
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
9．（2021·全国高二课时练习）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
11．（2020·吉化第一高级中学校高二月考（理））已知且,则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2020·全国高二课时练习）已知·＝0，||＝2，||＝3，且(3＋2)·(λ－)＝0，则λ等于
A． B．－
C．± D．1
13．（2020·江苏南通市·金沙中学高二月考）（多选）若不共面，则（ ）
A．共面 B．共面
C．共面 D．共面
14．（2021·全国高二课时练习）已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__．
15．（2020·全国高二课时练习）若向量的坐标满足，，则等于_________.
16．（2021·全国高二课时练习）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
17．（2021·全国高二课时练习）已知，，，则______.
18．（2021·全国高二课时练习）若，，，则___________．
19．（2020·全国）已知，，，则________．
20．（2020·全国高二课时练习（理））已知，，，，0，，，的夹角为，则_________
．
B组 能力提升
21．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下面四个结论正确的是
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
22．（2021·全国高二单元测试）（多选题）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值 D．
23．（2020·瓦房店市实验高级中学高二月考）在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
24．（2021·全国高二课时练习）已知，，，若，是________.
25．（2020·内蒙古高二期末）如图，在长方体中，设，，则_____．
26．（2021·全国高二课时练习（理））已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则=_____.
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突破1.1 空间向量及其运算
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若，则，的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
【答案】D
【分析】
根据平行向量、相等向量的概念，以及向量的性质，即可判断各项的正误.
【详解】
A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合；
B中，只能说明，的长度相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小；
D中，由相等向量的定义知：方向必相同；
故选：D.
2．（2021·全国高二课时练习）已知，，且，则x=（ ）
A．5 B．4 C．-4 D．-2
【答案】C
【分析】
根据空间向量的共线定理求解即可.
【详解】
因为，，且，
所以存在实数，使得，
即解得.
故选：
3．（2020·全国高二课时练习）若，，，则的值为（ ）
A． B．5 C．7 D．36
【答案】B
【分析】
由加法的坐标运算求出的坐标，再由数量积的坐标运算求出结论．
【详解】
，.
故选：B．
【点睛】
本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．
4．（2021·威远中学校高二期中（理））如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量运算的三角形法则 平行四边形法则表示出即可.
【详解】
，
，
，
，
故选：A.
5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
通过相等向量进行平移，将平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.
【详解】
由题图观察，平移后可以首尾相接，故有.
故选：A.
6．（2021·全国高二单元测试）如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，设＝，＝，＝，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用空间向量的运算求解即可
【详解】
解：在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，
故选：D
7．（2021·广东高二期末）如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据空间向量的线性运算直接求解即可.
【详解】
因为，如图，
依题意，有
．
故选： A
8．（2021·浙江高二单元测试）如图，在平行六面体ABCD–A′B′C′D′的棱中，与向量模相等的向量有
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
【答案】C
【分析】
根据向量模的概念，结合平行六面体的几何性质，写出与模相等的向量，由此求得正确选项.
【详解】
向量模相等即长度相等，根据平行六面体的性质可知，与向量模相等的向量是：，共个.故选C.
【点睛】
本小题主要考查空间向量模相等的概念，考查平行六面体的几何性质，属于基础题.
9．（2021·全国高二课时练习）在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
直接利用向量数量积的运算律求解即可.
【详解】
．
故选B．
10．（2020·全国）已知，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A．60° B．120°
C．30° D．90°
【答案】B
【分析】
先求数量积，再求向量的模，然后根据向量夹角公式即可求得．
【详解】
所以．
所以．
故选：B
11．（2020·吉化第一高级中学校高二月考（理））已知且,则x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
由数量积的坐标运算代入求解即可.
【详解】
因为
所以,解得.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了数量积的坐标运算，属于基础题.
12．（2020·全国高二课时练习）已知·＝0，||＝2，||＝3，且(3＋2)·(λ－)＝0，则λ等于
A． B．－
C．± D．1
【答案】A
【分析】
由向量垂直得=0，令（3） （λ）=0即可解出λ
【详解】
∵，∴=0，∵3⊥λ，∴（3） （λ）=0，
即3λ2+（2λ﹣3）﹣22=0，∴12λ﹣18=0，解得λ=．
故选A．
【点睛】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
13．（2020·江苏南通市·金沙中学高二月考）（多选）若不共面，则（ ）
A．共面 B．共面
C．共面 D．共面
【答案】BCD
【分析】
根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.
【详解】
∵，∴共面，故B正确；
∵，∴共面，故C正确；
∵，∴共面，故D正确.
对于A选项，若设，则得 ，故无解，因此不共面.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题.
14．（2021·全国高二课时练习）已知点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），若A，B，C三点共线，则__．
【答案】1
【分析】
利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值．
【详解】
由题意，点A（1，2，3），B（0，1，2），C（﹣1，0，λ），
所以,
若A，B，C三点共线，则，即，解得.
故答案为：1．
15．（2020·全国高二课时练习）若向量的坐标满足，，则等于_________.
【答案】
【分析】
根据向量的加法和减法求得向量，再运用向量的数量积运算的坐标表示可得答案.
【详解】
因为，，两式相加得，解得，，
所以.
故答案：.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标表示的向量加法、减法、数量积运算，属于基础题.
16．（2021·全国高二课时练习）是空间四点，有以下条件：
①； ②；
③； ④，
能使四点一定共面的条件是______
【答案】④
【分析】
利用空间向量共面定理即可判断.
【详解】
对于④，，由空间向量共面定理可知四点一定共面，①②③不满足共面定理的条件.
故答案为：④
【点睛】
本题考查空间向量共面定理，属于基础题.
17．（2021·全国高二课时练习）已知，，，则______.
【答案】
【分析】
先计算，再计算即得解.
【详解】
由于，故.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.
18．（2021·全国高二课时练习）若，，，则___________．
【答案】3.
【分析】
先算出的坐标，然后就可算出答案
【详解】
因为，，
所以
所以
故答案为：3
【点睛】
本题考查的是空间向量的坐标运算，较简单.
19．（2020·全国）已知，，，则________．
【答案】22
【分析】
先由的平方求出，再求的平方.
【详解】
因为，
所以,
，
故．
故答案为:22
20．（2020·全国高二课时练习（理））已知，，，，0，，，的夹角为，则_________
【答案】
【分析】
利用向量数量积公式，建立方程，即可求得的值．
【详解】
解得，,
故答案为：.
【点睛】
本题考查向量数量积的定义与应用问题，属于基础题.
．
B组 能力提升
21．（2021·全国高二课时练习）（多选题）下面四个结论正确的是
A．向量，若，则．
B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线．
C．已知向量，，若，则为钝角．
D．任意向量，，满足．
【答案】AB
【分析】
由向量垂直的充要条件可判断A；由题意，即可判断B；举出反例可判断C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断D.即可得解.
【详解】
由向量垂直的充要条件可得A正确；
，即，
，，三点共线，故B正确；
当时，两个向量共线，夹角为，故C错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误．
故选：A、B
【点睛】
本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.
22．（2021·全国高二单元测试）（多选题）如图所示，棱长为1的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．平面平面 B．不是定值
C．三棱锥的体积为定值 D．
【答案】ACD
【分析】
A.易证明平面，得到面面垂直；B.转化，再求数量积；C. ,根据底面积和高，判断体积是否是定值；D.由平面，判断线线是否垂直.
【详解】
A.因为是正方体，所以平面，平面，所以平面平面，所以A正确；
B.
，故，故B不正确；
C.，的面积是定值，平面，点在线段上的动点，所以点到平面的距离是定值，所以是定值，故C正确；
D.，，，所以平面，平面，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】
本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型.
23．（2020·瓦房店市实验高级中学高二月考）在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，，则（ ）
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】D
【分析】
利用中点坐标公式可得点的坐标，设，利用，可解出点的纵坐标，最后利用数量积的坐标运算可得的值.
【详解】
设，，
，，，
由，
整理可得：，
由，得，
化简得，
以上方程组联立得，
则.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了空间直角坐标系下向量数量积的运算,解题关键是掌握向量数量积运算的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
24．（2021·全国高二课时练习）已知，，，若，是________.
【答案】-4
【分析】
由题可知，，可得，运用向量数量积的坐标运算，即可求出．
【详解】
解：根据题意得，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查空间向量垂直的数量积关系，运用空间向量数量积的坐标运算，考查计算能力．
25．（2020·内蒙古高二期末）如图，在长方体中，设，，则_____．
【答案】5
【分析】
由平行四边形法则得出，再由数量积公式求解即可.
【详解】
由题意得．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题.
26．（2021·全国高二课时练习（理））已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则=_____.
【答案】
【分析】
由图可知，所以再用向量数量积公式可求值．
【详解】
故答案为：
【点睛】
向量数量积公式为，所以只需知道作数量积运算的两向量的模及两向量夹角，即可求值．
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