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突破1.1 空间向量及其运算
一、考情分析
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1.平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量。向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为
平行向量(或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线）
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。
7.平面向量的数量积
（1）定义：·= ，规定·= ；
（2）坐标表示：·= ，其中；
（3）运算律
①交换律：·= ；②结合律·= ；
③数乘：·= .
（4）在方向上的投影是 ；
（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。
8.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||.
（二）、学习空间向量
知识点一 空间向量的概念
1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
2. 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三 空间向量的数乘运算
3. 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
四 共线向量与共面向量
4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________
点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________
对空间任一点O，有＝＋__________
五 空间向量数量积的概念
5. 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______
交换律 a·b＝_____
分配律 a·(b＋c)＝_________
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量及其线性运算
例1．（2021·全国高二课时练习）下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
【答案】C
【分析】
根据空间向量基本定理：空间中任意三个不共面的非零向量，都可以作为空间的一个基底，根据此定理判断即可..
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
【变式训练1-1】．（2021·全国）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.
【详解】
平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
【变式训练1-2】．（2020·全国高二课时练习）(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
【答案】ABC
【分析】
根据向量的概念逐一判断即可.
【详解】
共线的单位向量方向相同或相反，只有D错误．
故选：ABC
例2．（1）（2021·全国高二课时练习）正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用空间向量的线性运算直接计算即可.
【详解】
，
则、、，则，
故选：B
（2）．（2021·全国高二单元测试）如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用向量的加法法则直接求解.
【详解】
在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.
【详解】
A．，故错误；
B．，故正确；
C．，故正确；
D．，故正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.
【变式训练2-2】．（2021·全国高二单元测试）如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
【答案】（1）（3）
【分析】
（1）由于是线段的中点，可得；
（2）取的中点，连接，．而，即可判断出；
（3）利用，，及（1）即可得出；
（4）由于、分别是线段、的中点，，可得与平面不平行，得出不存在实数，，使得．
【详解】
解：（1）是线段的中点，，正确；
（2）取的中点，连接，．则，因此不正确；
（3），因此正确；
（4）、分别是线段、的中点，，
与平面不平行，
不存在实数，，使得．
综上可得：只有（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
重难点题型突破1 空间向量的数量积运算
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知，，，则______.
【答案】
【分析】
先计算，再计算即得解.
【详解】
由于，故.
【点睛】
本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了学生数学运算的能力，属于基础题.
（2）．（2020·全国）已知 ，则____________．
【答案】
【分析】
根据和向量数量积运算可得答案．
【详解】
解： ，
所以．
故答案为：．
（3）．（2021·深州长江中学高二月考）已知平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量为＝(－2，－4，k)．若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
【答案】D
【分析】
根据题意.，得出=0，列出方程求出k的值．
【详解】
∵α⊥β，∴.∴＝－2－8－2k＝0.∴k＝－5,
答案：D
【点睛】
本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题.
（4）．（2020·全国高二专题练习（理））已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于( )
A．4 B．-4 C． D．-6
【答案】B
【分析】
根据向量坐标的加法运算，求得a+b，再由向量垂直的坐标运算求得x的值．
【详解】
因为a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2)
所以a+b=（-2，1，x+3）
因为(a+b)⊥ c
所以(a+b)c=0
即-2-x+2（x+3）=0，解方程得x=-4
所以选B
【点睛】
本题考查了空间向量的坐标加法和乘法运算，属于基础题．
【变式训练3-1】．（2018·海林市朝鲜族中学）若向量，则____．
【答案】
【分析】
根据空间向量数量积的运算律求解即可．
【详解】
∵，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查数量积的运算，解题时根据数量积的运算律求解即可，注意将向量的数量积的运算与多项式的乘法进行类比，属于基础题．
【变式训练3-2】．（2020·全国高二课时练习）已知，，若向量与共线，则的值是_____.
【答案】
【分析】
由空间向量共线的坐标表示，即得解.
【详解】
，，向量与共线，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查了空间向量共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
【变式训练3-3】．（2020·全国高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
【答案】
【分析】
利用面面平行的性质可得：∥，再利用向量共线定理即可得出．
【详解】
∵α∥β，
∴∥，
∴存在实数λ使得=λ，
即（﹣3，y，2）=λ（6，﹣2，z），
∴，解得λ=﹣，y=1，z=﹣4．
∴y+z=﹣3．
故答案为﹣3．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【变式训练3-4】．（2020·全国高二课时练习）已知，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出向量的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可．
【详解】
∵，，
，，，
∴，可得，解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．
例4．（2021·浙江高二单元测试）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为，根据正方体的特点可确定的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.
【详解】
设正方体内切球的球心为，则，
，
为球的直径，，，，
又在正方体表面上移动，
当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，
，即的取值范围为.
故选：.
【点睛】
本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.
【变式训练4-1】．（2021·全国）（多选题）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【分析】
以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.
【详解】
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，
所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，
故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应用及几何体外接球的表面积.
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突破1.1 空间向量及其运算
一、考情分析
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念；
2.掌握空间向量的运算；加减、数乘、数量积；
3.能运用向量运算判断向量的共线与垂直.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1.平面向量的概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有 的量。向量的大小叫做向量的长度或模 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，其方向是任意的 记作0
单位向量 长度等于1个单位的向量 与非零向量共线的单位向量为
平行向量(或共线向量) 方向 的 向量 0与任一向量平行（或共线）
相等向量 长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比大小
相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为
2.向量的线性运算
（1）加法：是指求两个向量和的运算；
法则（几何意义）：三角形法则、平行四边形法则。
（2）减法：是指求与的相反向量的和的运算叫做与的差；
法则（几何意义）：三角形法则。
（3）数乘：是指求实数与向量的积的运算；
法则（几何意义）：①； ②当时，与的方向 ；
③当时，与的方向 ；④四时，= .
3.共线向量定理
向量与共线的充要条件是，当且仅当存在唯一实数λ，使得。
4.平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量，
一对实数使 ，其中不共线的向量叫表示这一平面内所有向量的一组基底。
结论：（1）若向量，不共线，则的等价条件是；
（2）三终点A,B,C共线存在实数使得=，且
5.两个向量的夹角
（1）定义：一直两个非零向量，作，则∠叫做与的夹角。
（2）范围：夹角的取值范围是 。
①当与同向时，= ；②反向时，= ；③当与垂直时，= ，并记作⊥。6.两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件
（1）与的夹角是锐角· 0且与不共线；
（2）与的夹角是钝角· 0且与不共线。
7.平面向量的数量积
（1）定义：·= ，规定·= ；
（2）坐标表示：·= ，其中；
（3）运算律
①交换律：·= ；②结合律·= ；
③数乘：·= .
（4）在方向上的投影是 ；
（5）·的几何意义：数量积·等于的模||与在的方向上的投影的乘积。
8.向量数量积的性质
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则
（1）== ；（2）⊥ ；（3）·= ；（4）|· |≤||·||.
（二）、学习空间向量
知识点一 空间向量的概念
1. 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
2. 下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点三 空间向量的数乘运算
3. 实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
四 共线向量与共面向量
4. 回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________
点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________
对空间任一点O，有＝＋__________
五 空间向量数量积的概念
5. 如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝______
交换律 a·b＝_____
分配律 a·(b＋c)＝_________
(3)空间向量的夹角
①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则______叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈_______.特别地：当〈a，b〉＝___时，a⊥b.
两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b _______
②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝____或|a|＝
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______
④|a·b|≤|a|·|b|
三、题型分析
重难点题型突破1 空间向量及其线性运算
例1．（2021·全国高二课时练习）下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
【变式训练1-1】．（2021·全国）在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练1-2】．（2020·全国高二课时练习）(多选)下列命题中，真命题是（ ）
A．向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
例2．（1）（2021·全国高二课时练习）正方体中，点是侧面的中心，若，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2）．（2021·全国高二单元测试）如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】．（2021·全国高二课时练习）（多选题）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】．（2021·全国高二单元测试）如图，四面体中，、分别是线段、的中点，已知，
（1）；
（2）；
（3）；
（4）存在实数，，使得．
则其中正确的结论是_______．（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）．
重难点题型突破2 空间向量的数量积运算
例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知，，，则______.
（2）．（2020·全国）已知 ，则____________．
（3）．（2021·深州长江中学高二月考）已知平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量为＝(－2，－4，k)．若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
（4）．（2020·全国高二专题练习（理））已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于( )
A．4 B．-4 C． D．-6
【变式训练3-1】．（2018·海林市朝鲜族中学）若向量，则____．
【变式训练3-2】．（2020·全国高二课时练习）已知，，若向量与共线，则的值是_____.
【变式训练3-3】．（2020·全国高二课时练习）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则________．
【变式训练3-4】．（2020·全国高二课时练习）已知，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2021·浙江高二单元测试）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】．（2021·全国）（多选题）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
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