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专题02 空间向量的基本定理
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
2．（2020·全国高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．或
3．（2020·全国高二课时练习）已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B．
C．4 D．8
4．（2020·全国高二课时练习）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
5．（2021·全国高一课时练习）若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
6．（2021·广东高二期末）如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·全国高二单元测试）已知空间四边形中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021·浙江高二单元测试）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国高二课时练习）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·浙江高二单元测试）在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·湖南衡阳市八中高一期末）已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·浙江高二单元测试）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.
13．（2021·浙江高二单元测试）若一条直线的斜率为，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.
14．（2021·浙江高二单元测试）已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.
15．（2021·全国高二课时练习）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，
则________；x=________.
16．（2021·全国高二课时练习）已知正方体中，，若，则____，____．
B组 能力提升
17．（2020·全国高二课时练习）已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为__________.
18．（2020·全国高二单元测试）在平行六面体中，若，则__________.
19．（2021·浙江高二单元测试）在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为__________．
20．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
21．（2021·全国高二课时练习）如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底？
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
22．（2021·全国高二专题练习）如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量表示向量，并证明你的结论；
（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
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专题02 空间向量的基本定理
A组 基础巩固
1．（2021·全国高二课时练习）已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
2．（2020·全国高二课时练习）设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，，构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【分析】
判断哪个与不共面即可得．
【详解】
由题意和空间向量的共面定理，
结合，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与构成空间的一个基底．
故选：C．
3．（2020·全国高二课时练习）已知，，则以为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A． B．
C．4 D．8
【答案】A
【分析】
首先计算两个向量的夹角的余弦值，再转化为正弦值，利用面积公式计算.
【详解】
解析：设向量的夹角为θ，，，
于是＝．由此可得．
所以以为邻边的平行四边形的面积为.
故选：A
4．（2020·全国高二课时练习）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】A
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】
解析：．
故选：A
5．（2021·全国高一课时练习）若是一组基底，向量 (x,y∈R)，则称(x,y)为向量在基底下的坐标．现已知向量在基底下的坐标为(－2,2)，则在另一组基底＝(－1,1)，＝(1,2)下的坐标为（ ）
A．(2,0) B．(0,－2) C．(－2,0) D．(0,2)
【答案】D
【分析】
由题设，知，若 (x,y)为在基底下的坐标，则，即可得方程组求出坐标.
【详解】
∵在基底，下的坐标为(－2，2)，
∴.
设(x,y)为在基底下的坐标，则，即，
∴，解得.
∴在基底下的坐标为(0,2)．
故选：D.
6．（2021·广东高二期末）如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据空间向量的线性运算直接求解即可.
【详解】
因为，如图，
依题意，有
．
故选： A
7．（2021·全国高二单元测试）已知空间四边形中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】
因为N为BC的中点，所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
8．（2021·浙江高二单元测试）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设向量在基底下的坐标为，
则，
所以解得
故在基底下的坐标为.
故选：C.
【点睛】
本题解题的关键是设向量在基底下的坐标为，进而根据向量相等列方程求解，考查运算求解能力，是基础题.
9．（2021·全国高二课时练习）为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果．
【详解】
解：对于、、为空间的一组基底，
所以对于与共线，故选项错误．
对于与共线，故选项错误．
对于和不共线向量，所以可以作为基底，故选项正确．
对于，所以不可以作为向量的基底，故选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：基底的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．（2021·浙江高二单元测试）在空间四边形中，连接，若是正三角形，且E为其重心，则的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
取的中点F，可知，又，再利用空间向量的加法、减法的几何意义即可求解.
【详解】
如图所示，取的中点F，则，
又E为正三角形的重心，即上靠近F的三等分点，
所以，
则
.
故选：C
【点睛】
本题考查空间向量的加法、减法的几何意义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
11．（2021·湖南衡阳市八中高一期末）已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
12．（2021·浙江高二单元测试）在正四面体中，，分别为棱、的中点，设，，，用，，表示向量______，异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】
【分析】
画出对应的正四面体，设棱长均为1,
由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案;
(2) 设异面直线与所成角为,将用基底，，表示,代入公式计算得出答案.
【详解】
画出对应的正四面体，设棱长均为1,则
(1) .
(2)由(1) ，又.
又.设异面直线与所成角为,
则
.
故答案为: ;
【点睛】
本题考查了空间向量基本定理的应用,考查了向量加法、减法和数量积的运算以及向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
13．（2021·浙江高二单元测试）若一条直线的斜率为，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.
【答案】
【分析】
根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为，即可求得法向量.
【详解】
因为直线的斜率为，所以它的一个方向向量为，设一个法向量为，则，不妨取，则它的一个法向量是，
故答案为：；.
【点睛】
本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.
14．（2021·浙江高二单元测试）已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为.点为的重心，若，，，，则__________；__________.
【答案】1; .
【分析】
（1）把代入化简整理即可（2）代入计算
【详解】
解：
取的中点，
又，空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为
故答案为： ；
【点睛】
考查空间向量的基本运算，基础题.
15．（2021·全国高二课时练习）已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设，
则________；x=________.
【答案】1
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则即可求解.
【详解】
如图，
,
所以，所以，.
故答案为：1；
【点睛】
本题考查了向量加法的几何意义，需掌握平行四边形法则，属于基础题.
16．（2021·全国高二课时练习）已知正方体中，，若，则____，____．
【答案】1 ；
【分析】
因为，所以根据向量的线性运算，，又因为，所以把转化为，系数对应相等，即可求出的值.
【详解】
解：，，所以，.
故答案为：1，.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，考查向量相等的应用，属于基础题.
B组 能力提升
17．（2020·全国高二课时练习）已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为__________.
【答案】
【分析】
利用空间向量的加法结合向量相等列出方程组即可求得答案．
【详解】
解析由题意得，、、为三个不共面的向量，∴由空间向量基本定理可知必然存在唯一的有序实数组，使.
∴
.
又∵，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查空间向量的基本定理的应用，相等向量的充要条件的应用，考查计算能力．
18．（2020·全国高二单元测试）在平行六面体中，若，则__________.
【答案】
【分析】
把用、和来表示出来，与题中给的式子比较系数就可以算出的值．
【详解】
如下图所示，有.=
又因为,所以解得
所以=.
【点睛】
本题是空间几何与空间向量结合的题目，要注意把其中关系找出来．
19．（2021·浙江高二单元测试）在正四面体中，是上的点，且，是的中点，若，则的值为__________．
【答案】
【分析】
根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.
【详解】
如图所示：
.
由空间向量基本定理得：，，.
故.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查空间向量的线性运算，同时考查空间向量的基本定理，属于简单题.
20．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.
【答案】
【分析】
利用向量的运算用表示向量，，，即可得出答案.
【详解】
因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为.
故答案为：；；
【点睛】
本题主要考查了空间向量及其运算的坐标表示，属于中档题.
21．（2021·全国高二课时练习）如图，已知平行六面体，点G是侧面的中心，且，，．
（1）是否构成空间的一个基底？
（2）如果构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：，，，．
【答案】（1）能；（2）；；；
【分析】
（1）根据向量不在同一平面内可判断；
（2）根据空间向量加减运算转化可求得.
【详解】
（1），，不在同一平面内，且不为零向量，能构成空间的一个基底；
（2），
，
，
.
22．（2021·全国高二专题练习）如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点.
（1）用向量表示向量，并证明你的结论；
（2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）.
【答案】（1）；证明见解析；（2），且.
【分析】
（1）再结合， ，即可将用向量表示.
（2）点P在的内部，所以四点共面，利用共面向量定理的推论即可得.
【详解】
解析（1）.
证明如下：
.
（2）若，点P在的内部（不包括边界），
的充分必要条件是：，且.
【点睛】
本题主要考查了空间向量基本定理，用一组基底表示向量，也考查了共面向量定理的推论，属于基础题.
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