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突破1.2 空间向量的基本定理
一、考情分析
1.掌握空间向量基本定理.
2.了解空间向量正交分解的含义.
3.会用空间向量基本定理解决有关问题.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1． 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：
①平移：将平移成同一始点的向量．
②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量．
③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量．
④求分向量的和，代入，定理得证．
平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示．
知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
探究
如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
（二）、学习空间向量
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
三、题型分析
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C
【分析】
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
（2）．（2020·全国高二课时练习）设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
判断各组向量是否共面即可得．用平行六面体的棱对应向量表示，，然后表示出其他向量，再判断．
【详解】
如图所示，令，，
则，，，，
.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，
故选：C.
（3）．（2020·全国高二课时练习）已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据向量的加减法运算可求得，再由＝可求得，由此可得选项.
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
【变式训练1-1】 .（2021·全国高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】C
【分析】
根据共面向量的定义逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，，所以，、、共面，A选项不满足条件；
对于B选项，，所以，、、共面，B选项不满足条件；
对于C选项，假设、、共面，则，
从而可知、、共面，矛盾，C选项满足条件；
对于D选项，，故、、共面，D选项不满足条件.
故选：C.
【变式训练1-2】 .（2020·全国高二单元测试）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
【答案】ABC
【分析】
由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断
【详解】
解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
故选：ABC
【点睛】
此题考查空间向量基本定理，属于基础题
【变式训练1-3】 .（2020·全国）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据能作为空间一组基底的条件，简单判断即可.
【详解】
由于不共面,可A,B,D中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.
对于C,有，故这三个向量是共面的,不能构成基底
.故选：ABD
【点睛】
本题考查空间作为基底的条件，识记概念，属基础题.
例2．（1）（2021·全国高二课时练习）（多选题）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.
【详解】
A．，故错误；
B．，故正确；
C．，故正确；
D．，故正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查空间向量的化简运算，难度较易. 注意利用向量的可平移性进行化简运算.
（2）．（2020·全国高二课时练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用向量加法的运算，以为基底表示出.
【详解】
由于D是四边形的中心
.
故选:D
【点睛】
用基底表示向量的策略：（1）若基底确定，则充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则以及数乘向量的运算律表示向量；（2）若没有设定基底，首先选择基底，选择基底时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
【变式训练2-1】 .（2021·浙江高二单元测试）在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
直接利用向量的线性运算和三角形法则求出结果．
【详解】
解：如图所示：
在空间四边形中，点在线段上，
且，点为的中点．
且：，，，
所以：，，
所以：，
故选：．
【点睛】
本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形法则的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题．
例3（2020·全国高二课时练习）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
利用向量的加减法的平行四边形和三角形法则，结合平行六面体的性质求解即可
【详解】
解：（1）,
（2）
所以
【变式训练3-1】 .（2021·全国高二课时练习） 是两个不共线的向量，若 ， 若A, B, D三点共线，求k的值.
【答案】-8
【分析】
A，B，D三点共线，故存在唯一实数，使得，再由已知条件表示出与,建立方程组可求出和值.
【详解】
由题意A、B、D三点共线，故必存在一个实数 使得
又，
解得.
所以求k的值为-8.
【变式训练3-2】 .（2021·全国高二课时练习）如图，已知平面，四边形为正方形，为的重心，，试用基底表示向量.
【答案】， .
【分析】
延长交于点，由为的重心得为的中点，进而利用向量的表示进行加减法运算即可得答案.
【详解】
延长交于点，则为的中点，
；
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突破1.2 空间向量的基本定理
一、考情分析
1.掌握空间向量基本定理.
2.了解空间向量正交分解的含义.
3.会用空间向量基本定理解决有关问题.
二、经验分享
（一）、回顾平面向量
1． 平面向量基本定理及其证明，其证明过程为：
①平移：将平移成同一始点的向量．
②平行投影：过平移后所得向量的终点分别作平移后所在直线的平行线与这两条直线分别相交，得在方向上的分向量．
③依据共线向量定理，分别用表示在方向上的分向量．
④求分向量的和，代入，定理得证．
平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面内两个不共线向量来线性表示．
知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？
因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ 。我们称 xi, 分别为向量p在上的分向量。
探究
如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点o，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则=+,又向量，共线，因此存在唯一实数z，使得，从而=+ ，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得=xi+ .从而，=+ = xi+ .
（二）、学习空间向量
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,
使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
三、题型分析
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
（2）．（2020·全国高二课时练习）设,,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①，②，③}，④．其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）．（2020·全国高二课时练习）已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】 .（2021·全国高二课时练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）．
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【变式训练1-2】 .（2020·全国高二单元测试）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
【变式训练1-3】 .（2020·全国）（多选题）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（1）（2021·全国高二课时练习）（多选题）如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
（2）．（2020·全国高二课时练习）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】 .（2021·浙江高二单元测试）在空间四边形中，点在线段上，且，点为的中点．若，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
例3（2020·全国高二课时练习）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
【变式训练3-1】 .（2021·全国高二课时练习） 是两个不共线的向量，若 ， 若A, B, D三点共线，求k的值.
【变式训练3-2】 .（2021·全国高二课时练习）如图，已知平面，四边形为正方形，为的重心，，试用基底表示向量.
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