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突破1.3 空间向量及其坐标表示
一、考情分析
1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题
二、经验分享
（一）、回顾平面向量坐标表示及其运算
已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示
+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=
//=0；⊥=0
设，则或
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么； cos =（）
（二）、学习空间向量
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
（1）.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
（2）.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
2.点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b
减法 a-b
数乘 λa
数量积 a·b
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b a=λb (λ∈R);
(2)a⊥b .
4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|== ;
(2)cos
== ;
(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为||= .
用坐标表示空间向量的步骤如下:
三、题型分析
重难点题型突破1 空间直角坐标系
例1．（2021·合肥市第六中学高二期末（理））笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2020·浙江高一期末）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上.
（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.
例3．（1）（2020·山东高二月考）点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·福建高二期中）已知，，那么向量___________.
（3）．（2020·天津市第五十五中学高二月考）已知空间向量，0，，，1，，则___________.
（4）．（2021·全国高二单元测试）已知，，则（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
（5）．（2021·浙江高一期末）在空间直角坐标系中，向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
（6）．（2021·海原县第一中学（理））已知，，则等于（ ）
A．(2，-4，2) B．(-2，4，-2) C．(-2，0，-2) D．(2，1，-3)
重难点题型突破2空间向量运算的坐标表示
例4．（1）（2021·江西新钢中学高二月考（理））已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·伊宁市第三中学高二期末（理））若，,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（3）．（2021·铁岭市清河高级中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（4）．（2021·上海曹杨二中高二期末）设空间向量，，若，则______．
（5）．（2021·天津高一期末）已知向量,且，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
（6）．（2021·江门市第二中学高二月考）已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
（7）．（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高二月考）（多选题）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2020·河北高二期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，________，试问是否存在点E，F满足若存在，求的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例6．（2021·全国高二专题练习）如图，已知棱长为2的正方体中，点是的中点，点分别为的中点，平面平面，平面与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
例7．（2020·全国高三专题练习）（多选题）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为
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突破1.3 空间向量及其坐标表示
一、考情分析
1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示
2.掌握空间向量运算的坐标表示
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用
4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题
二、经验分享
（一）、回顾平面向量坐标表示及其运算
已知=(,)，=(,)，写出下列向量的坐标表示
+=(+，+) ；-=(-，-)；=(，)；=
//=0；⊥=0
设，则或
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，
那么； cos =（）
（二）、学习空间向量
一、空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底,以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面.
（1）.画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
（2）.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
2.点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作a=(x,y,z).
二、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b
减法 a-b
数乘 λa
数量积 a·b
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b a=λb (λ∈R);
(2)a⊥b .
4.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|== ;
(2)cos== ;
(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为||= .
用坐标表示空间向量的步骤如下:
三、题型分析
重难点题型突破1 空间直角坐标系
例1．（2021·合肥市第六中学高二期末（理））笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由图写出点的坐标，然后再利用关于轴对称的点的性质写出对称点的坐标.
【详解】
由图可知，点，所以点关于轴对称的点的坐标为.
故选：A.
例2．（2020·浙江高一期末）如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点在线段上，点在线段上.
（1）当，且点关于轴的对称点为点时，求的长度；
（2）当点是面对角线的中点，点在面对角线上运动时，探究的最小值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，推导出，，由此能求出．
（2）当点是面对角线中点时，点，点在面对角线上运动，设点，，则，由此能求出当时，取得最小值为，此时点．
【详解】
（1）以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
点在线段上，点在线段上．
由题意知点，
当时，，，
．
（2）当点是面对角线中点时，点，
点在面对角线上运动，设点，，
则，
当时，取得最小值为，此时点．
【点睛】
本题考查线段长的求法，考查空间直角坐标系的性质、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
例3．（1）（2020·山东高二月考）点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.
【详解】
解：因为点关于平面对称的点的坐标是，
所以点关于平面对称的点的坐标是，
故选：B.
【点睛】
本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.
（2）．（2020·福建高二期中）已知，，那么向量___________.
【答案】
【分析】
由空间向量的线性坐标运算可得答案.
【详解】
因为，，所以，
故答案为：.
（3）．（2020·天津市第五十五中学高二月考）已知空间向量，0，，，1，，则___________.
【答案】，，.
【分析】
根据空间向量的坐标运算计算即可.
【详解】
解：，0，，，1，，
，0，，1，
，，，
（4）．（2021·全国高二单元测试）已知，，则（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】B
【分析】
利用空间向量的运算的坐标表示求解即可.
【详解】
解：.
故选：B
（5）．（2021·浙江高一期末）在空间直角坐标系中，向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由空间向量加法的坐标表示计算．
【详解】
由题意．
故选：A．
（6）．（2021·海原县第一中学（理））已知，，则等于（ ）
A．(2，-4，2) B．(-2，4，-2) C．(-2，0，-2) D．(2，1，-3)
【答案】B
【分析】
利用空间向量坐标运算求得结果.
【详解】
依题意.
故选：B
重难点题型突破2空间向量运算的坐标表示
例4．（1）（2021·江西新钢中学高二月考（理））已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用空间向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】
由已知可得.
故选：A.
（2）．（2020·伊宁市第三中学高二期末（理））若，,则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由空间向量坐标运算可计算求得，由可得结果.
【详解】
，，
，，即的最小值为.
故选：C.
（3）．（2021·铁岭市清河高级中学高一期末）已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用空间向量数量积的运算律得，由已知求，即可得，进而求与的夹角.
【详解】
由题意，，而，，
∴，则，又，
∴.
故选：A
（4）．（2021·上海曹杨二中高二期末）设空间向量，，若，则______．
【答案】9
【分析】
先利用空间向量共线定理，得到，由此求出和的值，得到的坐标，求出的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．
【详解】
解：因为空间向量，，且，
所以，
即，
可得，解得，，
所以，，
则，
所以．
故答案为：9．
（5）．（2021·天津高一期末）已知向量,且，则（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得的值，进而得解.
【详解】
∵向量,且，
∴,解得.
∴,
故选：.
（6）．（2021·江门市第二中学高二月考）已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由向量垂直得，结合向量的点坐标求出，即可求k的值.
【详解】
依题意得：，即，而，
∴4k＋k－2－5＝0，解得.
故选：D
（7）．（2020·江苏扬州市·仪征市第二中学高二月考）（多选题）设向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用空间向量夹角公式即可求解.
【详解】
因为向量，，
所以，
，，
所以，
整理可得：，所以，
解得：或，
故选：AC.
例5．（2020·河北高二期中）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.
问题：如图，在正方体中，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz.已知点的坐标为，E为棱上的动点，F为棱上的动点，________，试问是否存在点E，F满足若存在，求的值；若不存在，请说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【分析】
选择一个条件，利用空间向量数量积的坐标表示公式、空间向量垂直的性质、空间向量模的坐标表示公式以及空间向量夹角的性质进行求解即可.
【详解】
解：由题意，正方体棱长为2.
则，，，，
设，，
则，，，，
所以.
选择①，因为，所以，
即，
，.
因为，所以，
故存在点，，
满足，且.
选择②，，即，，
因为，所以，
故存在点，，
满足，且.
选择③，，，
因为，所以与不共线，
所以，即，
则，
故不存在点E，F满足.
例6．（2021·全国高二专题练习）如图，已知棱长为2的正方体中，点是的中点，点分别为的中点，平面平面，平面与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题意得到是两个平面的一个交点，分析另一个交点的位置，可能在或上，设其交点坐标用向量计算可得答案.
【详解】
如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
因为平面，所以平面，因为，所以平面，
所以是两个平面的一个交点，
如果另一个交点在上，设为且设，
所以，因为平面，平面，所以，
即，解得不合题意，所以另一个交点在上，不妨设为，
所以平面平面，即求的长度，且，，
因为平面，平面，所以，，
即，解得，所以，
所以.
故选：C.
【点睛】
本题考查了用向量解决线面垂直、线线垂直的问题，关键点是建立空间直角坐标系和分析两个平面的交线的位置，考查了学生的空间想象力、推理能力和计算能力.
例7．（2020·全国高三专题练习）（多选题）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为
【答案】AB
【分析】
应用空间向量的基本定理，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则.
因为，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以，
，
所以，所以D不正确.
故选: A B.
【点睛】
本题考查利用空间向量求长度、夹角、判断垂直等应用，考查空间向量的基本定理，属于中档题.
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