匀变速直线运动规律讲义

1.2 匀变速直线运动的规律（Ⅰ）
一、知识扫描
1．匀变速直线运动
相等的时间内速度的变化相等的直线运动叫做匀变速直线运动。匀变速直线运动中加速度为一恒量；当速度的方向和加速度的方向相同时，物体速度增大，做匀加速运动；当速度的方向和加速度的方向相反时，物体速度减小，做匀减速运动。
2．匀变速直线运动的规律
三个基本公式 vt=v0+at
两个推论
二、好题精析
例1 升降机从静止开始上升，先做匀加速运动，经过4s速度达到4m/s，然后匀速上升2s，最后3s做匀减速运动直到停止，求升降机上升的总高度。
例2 物体沿某一方向做匀变速直线运动，在时间t内内通过的路程为s，它在处的速度为，在中间时刻的速度为．则和的关系是 ( )
A．当物体做匀加速直线运动时，
B．当物体做匀减速直线运动时，
C．当物体做匀速直线运动时，
D．当物体做匀减速直线运动时，
例3 甲、乙两车从同一地点出发同向运动，其图像如图1-2-1所示．试计算：
(1)从乙车开始运动多少时间后两车相遇
(2)相遇处距出发点多远
(3)相遇前两车的最大距离是多少
图1-2-1
〖解析〗从图像知两车初速，加速度分别为： ，做匀加速运动．
(1)两车相遇位移相等，设乙车运动t秒后两车相遇，则甲、乙两车的位移为
由于，代人数据解题(舍去)，
(2)相遇点离出发点的距离为
(3)由图知甲车行驶t=4 s时两车速度相等．此时两车距离最大，二者距离为：
〖点评〗运动图像能形象、直观地反映物体的运动情况，而且图线的斜率，与t轴所围成的面积等，都有明确的物理意义，因而利用运动图像可以提高解题能力和技巧，甚至可以解决一些用解析法在中学阶段还不能解决的问题．
三、能力突破
1．匀变速直线运动的物体，初速度为10 m／s，方向沿x轴正方向，经过2 s，末速度变为10 m／s，方向沿x轴负方向，则其加速度和2 s内的平均速度分别是( )．
A．10 m／s2；0 B．0；10 m／s
C．-10 m／s2；0 D．-10 m／s2；10 m／s
1．C
2．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，1s后速度大小为10m/s，在这1s内该物体的（ ）
A．位移的大小可能小于4m B．位移的大小可能大于10m
C．加速度的大小可能小于4m/s2 D．加速度的大小可能大于10m/s2
2．AD
3．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5m/s2，那么刹车后2S与刹车后6S汽车通过的位移之比为（ ）
A．1∶1 B．3∶1 C．3∶4 D．4∶3
3．C
4．物体沿光滑斜面匀减速上滑，加速度大小为4 m／s2，6 s后又返回原出发点．那么下述结论正确的是( )．
A．物体开始沿斜面上滑时速度为12 m／s
B．物体开始沿斜面上滑时速度是10 m／s
C．物体沿斜面上滑的最大位移是18 m
D．物体沿斜面上滑的最大位移是15 m
4．AC
5．质点在x轴上运动，t=0，质点位于坐标原点；图1-2-3为该质点的图像，由图线可知，此质点的s－ t关系为_____________，在t =_________s时刻质点与坐标原点的距离最大，从t = 0到t = 20 s过程中质点位移是________，通过的路程是_______．
图1-2-3
5．；10；0；50 m
6．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m/s。已知甲车紧急刹车时加速度a1=3m/s2，乙车紧急刹车时加速度a2=4m/s2，乙车司机的反应时间为0.5s(即乙车司机看到甲车刹车后0.5s才开始刹车)，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？(为保证两车不相撞，行驶时两车前后间距至少为1.5m。)
6．3m
1.3 匀变速直线运动的规律（Ⅱ）
一、知识扫描
1．匀变速直线运动的重要推论：
①某过程中间时刻的瞬时速度大小等于该过程的平均速度大小，即=。
②加速度为a的匀变速直线运动在相邻的等时间T内的位移差都相等，即。
③物体由静止开始做匀加速直线运动的几个推论
t秒末、2t秒末、3t秒末…的速度之比为1∶2∶3∶…∶n
前t秒内、前2t秒内、前3t秒内…的位移之比为1∶4∶9∶…∶n2
第一个t秒内、第二个t秒内、第三个t秒内…的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n-1)
第一个s米、第二个s米、第三个s米…所用时间之比为1∶()∶()∶…∶(
2．运动图象
①位移图象：纵轴表示位移s，横轴表示时间t；图线的斜率表示运动质点的速度。
②速度图象：纵轴表示速度v，横轴表示时间t；图线的斜率表示运动质点的加速度；图线与之对应的时间线所包围的面积表示位移大小；时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移。
3．两物体的追及和相遇问题
①匀减速物体追赶同向匀速运动物体时，恰能追上或恰追不上的临界条件是即将靠近时：追赶者的速度 被追赶者的速度，当追赶者的速度大于被追赶者的速度时， 追上；当追赶者的速度小于被追赶者的速度时， 追上。
②初速度为零的匀加速运动的物体追赶同向匀速运动物体时，追上前者前两者具有最大的间距的条件是追赶者的速度 被追赶者的速度。
二、好题精析
例1 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24m和64m，连续相等的时间为4s，求质点的初速度和加速度大小.
〖解析〗依题意画草图如图1-3-1所示，用推论公式求解
由s２－ｓ１＝aT２得64－24=a·4２
所以a = 2.5 m/s2，再代入s１＝ v1T ＋
可求得 v1＝1m/s.
〖点评〗一般的匀变速直线运动，若出现两个过程的时间相等，又知道它们的位移，用推论做比较方便。
例2 一质点从A点开始运动，沿直线运动到B点停止，在运动过程中，物体能以的加速度加速，也能以的加速度减速，也可以作匀速运动。若AB间的距离为1．6km，质点应该怎样运动，才能使它的运动时间最短，最短时间为多少
〖解析〗根据题意，质点运动方式可能有：
(1)先作一段时间匀加速运动，中间经历一段时间的匀速运动，最后作减速运动至B点速度正好为零。
(2)中间不经历匀速直线运动，先匀加速一段时间，后作匀减速运动停在B点。分别作出两种运动的图像，如图1-3-2所示，考虑到位移相等(两斜线部分的面积应相等)。
图1-3-2
从图1-3-2中容易看出第(2)种运动方式时间最短。
由图可看出，两段时间内的平均速度均为 则
①
又因为 有
，代入①式
〖点评〗判断采用哪种运动方式，所用时间最短，也可以先建立 s与t的函数关系式，再利用极值的知识用代数方法求得。但这种解法较繁。用图线来分析解决问题，是解运动学问题的常用手段。
例3 甲、乙两物体的运动情况如图1-3-3所示，下列结论错误的是：
A．甲、乙两物体的速度大小相等、方向相同
B．经过2.5s的时间，甲、乙两物体相遇，相遇时它们相对
坐标原点的位移相同
C．经过5s的时间，乙物体到达甲物体的出发点
D．经过5s的时间，甲物体到达乙物体的出发点
〖解析〗由图中直线的斜率可求出v甲=2m/s，v乙=-2m/s，即甲、乙两物体的速度大小相等、方向相反，甲的速度方向与位移正方向相同，乙的速度方向与位移正方向相反，A错误；图中的交点表示在相同时刻两物体到达相对原点坐标相同的位置，B正确；结合坐标轴易知C、D正确，故本题应选A。
〖点评〗要身临其境地画出两个物体的实际运动情况，把图线转化为实际运动模型，弄清两个物体的运动情况。
例4 甲、乙两车同时同地同向出发，在同一水平公路上做直线运动，甲以初速度，加速度做减速运动，乙以初速度，加速度做匀加速运动．求：(1)两车再次相遇前二者间的最大距离；
(2)两车再次相遇所需时间．
〖解析〗两车同时同地同向出发。因，尽管甲作匀减速运动，乙作匀加速运动，在开始的一段时间内甲的速度大于乙的速度，两者间的距离越来越大，当甲减速，乙加速到二者速度相等时，二者间距离达到最大，此后，乙的速度大于甲的速度，二者间距离减小，当两者的位移相等时再次相遇．
方法1
(1)设速度相等时运动时间为t，相距最远的条件是
即
最远距离
(2)设再次相遇运动时间为，相遇条件是
即
代人数据整理后得
则，即是出发时刻，舍之)
方法2
用求二次函数的极值法解．两车间的距离
，当t=4 s时，有最大值，故最远距离
(2)当时，两车再次相遇，即
(舍去)
〖点评〗弄清追及物和被追物因速度变化而引起两者间距离变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远(或最近)的临界条件．
利用求二次函数的极值是解追及和相遇问题常用的方法，该方法的关键是找出追及物和被追物间的距离Δs关于时间t的函数关系式．
三、变式迁移
1．A、B两车相距20m，A在前B在后，沿同一方向运动，A车以2m/s的速度作匀速直线运动，B以大小为2.5m/s2的加速度作匀减速直线运动，若要B追上A，则B的初速度应满足什么条件？
1．大于等于12m/s
四、能力突破
1．一辆车由静止开始作匀变速直线运动，在第8 s末开始刹车，经4 s停下来，汽车刹车过程也是匀变速直线运动，那么前后两段加速度的大小之比和位移之比分别是( )
1．C
2．一质点做匀加速直线运动，第三秒内的位移2m，第四秒内的位移是2.5m，那么以下说法中正确的是( )
A．这两秒内平均速度是2.25m/s
B．第三秒末即时速度是2.25m/s
C．质点的加速度是0.125m/s2
D．质点的加速度是0.5m/s2
2．ABD
3．一个物体做匀变速直线运动,若运动的时间之比为t1：t2：t3：…=1：2：3：…,下面说法中正确的是（ ）
A．相应的运动距离之比一定是s1：s2：s3：…=1：4：9： …
B．相邻的相同时间内的位移之比一定是s1：s2：s3：…=1：3：5： …
C．相邻的相同时间内位移之差值一定是△s=aT2,其中T为相同的时间间隔.
D．以上说法正确都是不正确的
3．C
4．一颗子弹沿水平方向射来，恰穿透三块相同的木板，设子弹穿过木板时的加速度恒定，则子弹穿过三块木板所用的时间之比为________。
4．()∶()∶1
5．作匀加速直线运动的质点，连续两个1 s内的平均速度之差是4 m／s，在第5 s内及第6 s内的平均速度之和是56 m／s，则此质点运动的加速度为________m／s2，初速度为_________m／s．
5．=4 m／s2 =8 m／s
6．一辆汽车在十字路口遇红灯，当绿灯亮时汽车以4米/秒2的加速度开始行驶，恰在此时，一辆摩托车以10米/秒的速度匀速驶来与汽车同向行驶，汽车在后追摩托车，求：
(1)汽车从路口开始加速起，在追上摩托车之前两车相距的最大距离是多少？
(2)汽车经过多少时间能追上摩托车 此时汽车的速度是多大
6．12.5m；5s、20m/s
图1-3-1
图1-3-3