福州市八县（市）协作校2021-2022学年第一学期期中联考
高二 数学试卷
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A．y＝－2 B．x＝－1 C．y＝－ D．x＝－
2.圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3.已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）
A．4和3 B．－4和3 C．－4和－3 D．4和－3
4.椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则n=（ ）
A. 2 B.1 C. D.
5.设点A（1，3），B（3，2），若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6.已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴。若AB的斜率为3，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤1，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
8．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其左焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．[，1] B．[，] C． [，1） D．[，]
二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当k＝4时，曲线C为圆
B．当k>2时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线
C．若曲线C为椭圆，且焦距为，则k＝5
D．不存在实数k，使得曲线C为抛物线
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线QP与A1C1所成的角为45°
B．A1D⊥平面AQP
C．平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形
D．点M在线段BC1上运动，则三棱锥A﹣MPQ的体积不变
12．数学中的很多符号具有简洁 对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”。在平面直角坐标系中，把到定点，距离之积等于的点的轨迹称为“曲线”C。已知点是“曲线”C上一点，下列说法中正确的有（ ）
A．“曲线”C关于原点O中心对称 B．
C．“曲线”C上满足的点P有两个 D．的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.已知＝（1，1，0），＝（﹣1，3，2），且k+与2﹣垂直，则k的值为 。
14．已知抛物线经过点为抛物线的焦点，且，则的值为 。
15.1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若△ABC的顶点都在圆x2+y2＝4上，边AB所在直线方程为x+3y＝1，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为 。
16.如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成的角正切值为 。
四、解答题（本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（10分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，。
（1）设，，，用向量，，表示，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值。
18.（12分）已知圆经过点P(5，0)和点Q(1，4),且圆心在直线上。
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆相交于A，B两点，且∠ACB=120O，求直线的方程。
19.（12分）已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，离心率e＝2，虚轴长为2。
（1）求E的方程；
（2）过右焦点F，倾斜角为30O的直线交双曲线于A、B两点，求｜AB|。
20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°。
（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；
（2）若PD＝2,AD＝AB＝1，∠APD＝30°，求平面ABP与平面DBP所成角的余弦值。
21．（12分）设圆的圆心为P，点Q，点H为圆上动点，线段HQ的垂直平分线与线段HP交于点E，设点E的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于点A，B，与圆切于点M，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由。
22．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为 内的动点（含边界）。
（1）求点到平面的距离；
（2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围。
高二数学 第 3 页，共4 页福州市八县（市）协作校2021-2022学年第一学期期中联考
高二 数学参考答案
单选题（本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1 2 3 4 5 6 7 8
C C B D A A D B
二、多选题（本题共4小题,每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9 10 11 12
BCD AD CD ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
5 14. 15. 16.2
四、解答题（本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10分） ………………………………2分
……………4分
因为，同理可得， ……………7分
……………8分
所以． ……………9分
所以异面直线与所成角的余弦值为． ……………10分
18.（12分）[解析]（1）方法1：设圆心C的坐标为（a,b)
∵圆心C在直线上，∴a+b-1=0 ① ……………1分
∵P，Q是圆上两点，∴｜CP｜=｜CQ|
∴,即a-b-1=0 ② ……………3分
……………4分
又由，即圆的半径为， ……………5分
所以圆的标准方程为. ……………6分
又由，所以的垂直平分线的斜率为，
.……………2分
联立方程组，解得，即圆心坐标， ……………4分
又由，即圆的半径为， ……………5分
所以圆的标准方程为. ……………6分
方法3：设圆C的方程为：，
根据题意得 ,解得
故所求圆C的方程为：； ……………6分
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，
所以圆心到直线的距离为， ……………7分
①当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，则圆心到直线的距离为，符合题意； ……………8分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，解得， …………10分
此时直线的方程为， ……………11分
综上可得，直线的方程为或. ……………12分
19.（12分）【解析】（1）∵，又离心率e＝2，∴, ……3分
∴a＝1． ∴E的方程为：． …………5分
可求焦点为F (2,0), …………6分
设直线的方程为，, …………7分
由 得 ， …………9分
………12分
20.（12分）【解析】(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故CD⊥AP，AP∩PD＝P，
CD⊥平面PAD. …………3分
又CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD. …………4分
（2）在 PAD中，PD=2，AD=1，∠APD=30，由余弦定理得PA=
∴AD2+PA2=PD2，∴PA⊥AD
由(1)可知，CD⊥平面PAD，故AB⊥平面PAD. …………6分
以A为坐标原点，的方向分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
由(1)及已知可得A（0，0,0），P（0,0，），B（1，0,0），D（0，1,0），………7分
所以＝（1，0，－），＝(-1，1,0)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)是平面PBD的一个法向量，则
………9分
平面PAB的一个法向量为m＝(0,1,0)， …………10分
则
所以平面APB与平面BPD所成角的余弦. …………12分
（其他解法酌情得分）
【注：】如第(1)问中一定要写出判断CD⊥平面PAD的三个条件，写不全则不能得全分，如AP∩PD＝P一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos〈m，n〉＝这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分。
21.（12分）【解析】解：（1）由题意可得，半径， …………1分
又线段的垂直平分线与线段交于点，所以，
则有， …………3分
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， …………4分
故轨迹方程为； …………5分
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由椭圆的方程可知当时，A,B两点坐标分别为，
当时，A，B两点坐标分别为
则； …………6分
②当直线的斜率存在时，设的方程为，，，，，
因为直线与圆相切，所以，即， …………7分
联立直线和椭圆的方程可得，
则△，
， …………8分
则
，
所以， …………10分
∴中，，∴为定值2． …………12分
22.（12分）【解析】（1）法一：在三棱锥中，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，∴，，两两垂直．…2分
在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，，， …………3分
设平面的一个法向量为则，令z1=4,
则，，
∴ 到平面的距离为 …………5分
（1）法二：在三棱锥中，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，又平面，
∴，∴，，两两垂直． …………2分
∴，
又，
∴，
∴点到平面的距离为． …………5分
（2）法一：坐标法，由（1）建立的坐标系中
设，则，，
，，， …………6分
设平面的一个法向量为，则，
由（1）知平面的一个法向量， …………7分
因为平面，平面，
∴，即，即，∴，
又，∴，∴， …………9分
又平面，∴是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则
，
令，，，
，
令，则，∴在上单调递增，
∴，∴，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为…………12分
（2）法二：几何法
取BC中点D，连接OD
因为O,D分别是AC，BC的中点，所以OD//AB
…………6分
…………7分
…………8分
…………9分
所以与平面所成角的正弦值的取值范围为．…………12分
