24.2 点和圆、直线与圆的位置关系 同步分层作业（含解析）

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2021年九年级上册数学分层作业
---点和圆、直线与圆的位置关系
一．选择题（共7小题）
1．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝，P为⊙O上一点，延长PO、PA交⊙O于M、N．当MN取最大值时，PA的长等于（　　）
A． B． C． D．
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
4．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
5．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，过点P作半径为1的⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则PA＝（　　）
A． B．2 C． D．3
7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（　　）
A．60° B．130° C．50° D．65°
二．填空题（共5小题）
8．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是　 　．
10．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A在⊙O　 　．
11．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　 　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
12．锐角△ABC，其外接圆圆心为O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圆周上，则∠BAC＝　 　．
三．解答题（共3小题）
13．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．
（1）求⊙O半径的长．
（2）求证：BC＝BI．
2021年九年级上册数学分层作业---点和圆、直线与圆的位置关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝，P为⊙O上一点，延长PO、PA交⊙O于M、N．当MN取最大值时，PA的长等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当OA⊥PN时，MN的值最大，
在Rt△POA中，由勾股定理得，
PA＝＝＝，
故选：C．
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．4
【解答】解：如图，连接OA，OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CAB＝30°，CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∵∠ACB＝105°，∠ACD＝60°，
∴∠CBA＝45°，
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2＝OA2+OC2，
∵OA＝OC，
∴OA＝AC＝4，
∴⊙O的半径为4，
故选：B．
4．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，
根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，
∵⊙C的半径为1，
∴PQ＝﹣1，
故选：B．
5．如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半径为2，
取OD＝OA＝4，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，
∴BD＝4，
∴CD＝4+2，
∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1；
故选：C．
6．如图，过点P作半径为1的⊙O的切线，切点分别为A，B，若∠APB＝60°，则PA＝（　　）
A． B．2 C． D．3
【解答】解：连接OA，OB，OP，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，∠APO＝∠BPO，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∵OA＝1，
∴PA＝OA＝．
故选：C．
7．如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠B＝60°，∠C＝70°，则∠EDF的度数是（　　）
A．60° B．130° C．50° D．65°
【解答】解：连接IF，IE，
∵∠B＝60°，∠C＝70°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣70°＝50°
∵内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴IF⊥AB，IE⊥AC，
∵∠A＝50°，
∴∠FIE＝130°，
∴∠EDF＝＝＝65°．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
8．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　2或5　．
【解答】解：①当点在圆外时，
∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径为7﹣3＝4，
∴该圆的半径是2；
②当点在圆内时，
∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，
∴圆的直径＝7+3＝10，
∴圆的半径为5，
故答案为2或5．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是　﹣　．
【解答】解：设正方形的中心为O，可证EF经过O点．
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．则MH＝BH＝1，AH＝3，
由勾股定理可得MA＝，MG＝OB＝，
∵AG≥AM﹣MG＝﹣，
当A，M，G三点共线时，AG最小＝﹣，
故答案为：﹣．
10．已知⊙O的半径为5cm，A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，点A在⊙O　内　．
【解答】解：A为线段OB的中点，当OB＝9cm时，得OA＝OB＝4.5（cm），
∵r＝5cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是点A在圆O内，
故答案为：内．
11．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），　不能　确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），A（1，﹣3），
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
12．锐角△ABC，其外接圆圆心为O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圆周上，则∠BAC＝　60°　．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠DHE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEB＝180°，
∵O、H、B、C在同一圆周上，
∴∠BOC＝∠BHC＝∠DHE，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BAC+∠BOC＝3∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝60°，
故答案为：60°．
三．解答题（共3小题）
13．如图，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一点，以BD为直径作⊙O，CD与⊙O交于点E，延长AE与BC交于点F，且CF＝BF．
（1）求证：AF与⊙O相切；
（2）若AB＝8，BC＝12，求⊙O半径．
【解答】解：（1）如图，连接OE，BE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵CF＝FB，
∴EF＝CB＝FB，
∴∠FEB＝∠FBE，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵∠OBE+∠FBE＝∠OBF＝90°，
∴∠OEB+∠FEB＝∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴AF与⊙O相切；
（2）∵AB＝8，BC＝12，
∴EF＝FB＝CB＝6，
∴AF＝＝＝10，
∴AE＝AF﹣EF＝10﹣6＝4，
∵OE＝OB，
∴OA＝AB﹣OB＝8﹣OE，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴42+OE2＝（8﹣OE）2，
解得OE＝3．
∴⊙O半径为3．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，若CD＝1，EH＝3，求BE长．
【解答】解：（1）证明：
连接OE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE
又OB＝OE，∠ABE＝∠BEO，
∴∠CBE＝∠BEO
∴OE∥BC
又∠C＝90°
即AC⊥BC．
∴OE⊥AC，
即AC是⊙O的切线；
（2）连接DE，
∵AE平分∠ABC，AC⊥BC、EH⊥AB
∴CE＝EH，DE＝EF，
∴Rt△CDE≌Rt△HFE（HL），
∴CD＝HF，
∵CD＝1，
∴HF＝1
∵OH＝3，
∵OE2＝OH2+HE2，
∴OE2＝（OE﹣1）2+32
解得：0E＝5，
∴BH＝9
∴．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，I是△ADC的内心，∠ADB＝45°．
（1）求⊙O半径的长．
（2）求证：BC＝BI．
【解答】解：（1）∵AC是⊙的直径，
∴∠ADC＝90°＝∠ABC，
又∠ADB＝45°，
∴∠ADB＝∠BDC＝45°，
∴，
∴AB＝BC
∵AB＝2，
∴
∴⊙O的半径为；
（2）连接AI，
∵I是△ADC的内心．
∴∠DAI＝∠CAI，
∠AIB＝∠DAI+∠ADI，
∠BAI＝∠BAC+∠CAI，
∵∠BAC＝∠ADI，
∴∠BAI＝∠AIB，
∴AB＝BI，
即BC＝BI．
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