保密★启用前
2021—2022学年度第一学期期中考试
高三数学试题(B)
本试卷满分150分,考试时间120分钟。
选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的
若a为第四象限角,则
A. sin2a>0
B. sin2a
C. cosa>o
D, cosa<0
2.已知a,b都是实数,那么“a3>b3”是“2>2”的
A.充分不必要条
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4x+3<0
3.已知不等式组
x2-6x+8<0
的解集是关于x的不等式x2-3x+a<0的解集的子集,则
实数a的取值范围为
A.a≤0
B.a<0
C.a≤-1
4.已知向量ab满足|a=1,b=(,2-),a-b与a垂直,则-b的最小值为
B
5.如图,正方形OABC的边长为a(a>1),函数y=3x2的图像交AB于点Q,函数y=x2的
图像交BC于点P,则当Q+CP最小时,a的值为
B
C.√2
D.3
6.若a∈(,丌),cosa=(2-sina)tan2a,则tana=+=(.)
B.2
D
3
7.已知∫(x)是奇函数,当x20时,f()=2-1(其中e为自然对数的底数,则f(m3=
高三数学试题(B)第1页(共4页
8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到应
用。假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图,将筒车
抽象为一个几何图形(圆),筒车半径为4m,筒车转轮的中心O到水面的距离为2m,筒
车每分钟沿逆时针方向转动4圈规定:盛水筒M对应的点P从水中浮现(即P时的位置)
时开始计算时间,且以水轮的圆心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角
坐标系xOy.设盛水筒M从点P运动到点P时所经过的时间为t(单位:s),且此时点P
距离水面的高度为h(单位:m),则点P第一次到达最高点需要的时间为
A.2
B.3
C.5
D.10
二、多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求的全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分
9.已知集合A={x|x2-2x<0},B={x|2>1},则
A.A∩CUB=
B AUB=A C AcB
D.B∈A
10.下列函数中,最小值为4的是
A. y=e+
3 go
C.y=sinx+(x∈(0,z)
+1
x2+1
11.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D,E分别是AC,AB上的点,且AE=EB,
AD=2DC,BD与CE交于点O,则
A OC+E0=0(3-3te
B.AB·CE=0
C.O+D+0+m=D.ED在BC方向上的投影向量的模为
已知函数f(x)=sin2xsin2x,则
A.函数f(x)在(0,)上单调递增
B.f(x)ma s 3v3
C.函数∫(x)的最小正周期为2丌
D.对n∈N,si2xsm2xsn24x…sm2x
高三数学试题(B)第2页(共4页)高三数学试题（B）参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1－4 BCAC 5－8 DBDC
二、多项选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
9．AC 10．AD 11．BD 12．ABD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
10
13． y = x +1 14．4 + 2 3 15．③ （第一空 2 分，第二空 3 分） 16. 6
3
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.
17．（10 分）
解：由ax2 + (1 a)x 1 < 0(a < 0) 得 (ax +1)(x 1) < 0(a < 0) ，
1 = a +1∵ 1 （a < 0 ）， ……………………3 分
a a
1
当 1 < a <
1
0 ，即 >1时，不等式的解为 x <1或x > . ……………………5 分
a a
1
当 a < 1，即 < 11时，不等式的解为 x < 或x >1， ……………7 分
a a
1
当 a = 1，即 =1时，不等式的解为 x ≠ 1， ……………………………9 分
a
1
所以当 1 < a < 0 时原不等式的解集为 ( ∞,1)∪ ( , +∞) ，
a
当 a < 1时原不等式的解集为 ( ∞,
1
)∪ (1, +∞)，
a
当 a = 1时不等式的解集为 ( ∞,1)∪ (1,+∞) . …………………………10 分
18．（12 分）
x x 2 x 1 π
解：（1）∵ f (x) = m n 1 = 3 sin cos + cos + 1 = sin(x + )，…………3 分
2 2 2 2 6
π 2π π
故函数 f (x) 的对称中心是 (kπ , 0)， k∈Z 单调增区间为[2kπ , 2kπ + ]，
6 3 3
k∈Z . …………………5 分
高三数学答案（B）第 1 页（共 5 页）
= = 3 π π（2）选①，则可得 y g(x) sin(2x + π + ) = cos(2x + )的图象.…………7 分
2 6 6
∈ π π + π ∈ π 2π π 1当 x [ , ]时，2x [ , ]，cos(2x + )∈[ ,1]，则
6 4 6 6 3 6 2
1
g(x) ∈[ 1, ]，…10 分
2
= ∈ 1若方程 g(x) a有解，则a [ 1, ]. ………………………………12 分
2
选②，则可得 y =
π π π
g(x) = sin(2x + ) = sin(2x )的图象，……7 分
2 6 3
∈ π π π 2π π π 1当 x [ , ]时，2x ∈[ , ]，sin(2x )∈[ 1, ]，则
6 4 3 3 6 3 2
∈ 1g(x) [ 1, ]， ………………………10 分
2
1
若方程 g(x) = a有解，则a∈[ 1, ]. …………………………………12 分
2
19.（12 分）
20 1
解：（1）由题意知， y = (4 + )p x 6( p + ) ………………………… 2 分
p p
x + 2
将 P = 代入化简得：
4
= 24 3y 19 x ( 0 ≤ x ≤ a ). …………………………………… 4 分
x + 2 2
= 3 16 16（2） y 22 ( + x + 2) ≤ 22 3 × (x + 2) = 10 ，
2 x + 2 x + 2
16
当且仅当 = x + 2 ，即 x = 2 时，上式取等号. …………………6 分
x + 2
当 a ≥ 2 时, 促销费用投入 2 万元时，厂家的利润最大； ………………… 8 分
= 24 3
24 3
y 19 x， y′ = 2 ，
x + 2 2 (x + 2) 2
当0 ≤ x < 2时， y ′ > 0，此时函数 y在 [0,2]上单调递增，
所以当a < 2 时，函数 y在 [0,a]上单调递增， ……………………… 10 分
所以 x = a时，函数有最大值．
即促销费用投入 a万元时，生产该产品的利润最大. ……………………… 11 分
综上，当a ≥ 2 时, 促销费用投入 2 万元，利润最大；
当 a < 2 时促销费用投入 a万元，利润最大. ………………… 12 分
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20．（12 分）
解：（1）因为函数 f (x) 为奇函数，所以 f ( x) + f (x) = 0，
2 x +b + 2
x +b
即
+ + = 0，………………2 分 2 x 1 + a 2x 1 + a
化简得 (a + 2b)(2x + 2 x ) + 2(2 + ab) = 0 ，
a + 2b = 0 a = 2 a = 2
上式对于任意的实数 x恒成立，则 ，解得 或 ，
2 + ab = 0 b = 1 b =1
因为 f (x) 的定义域为 R，所以a = 2,b = 1，
2x= 1所以函数 f (x) . ……………………5 分
2x+1 + 2
1 1
（2） f (x) = ， x1, x2 ∈R，且 x1 < x2，则
2 2x +1
1 1 1 1 2x1 2x2
f (x1) f (x2 ) = ( ) ( ) = ，
2 2x1 +1 2 2x2 +1 (2x2 +1)(2x1 +1)
因为 x1 < x2，所以 x1 < x2 ， x2 2 2 1 +1 > 0， x2 2 +1 > 0，
所以 f (x1) f (x2) < 0 ，即 f (x1) < f (x2)，
所以 f (x) 是 R上的单调递增函数. ……………………8 分
1
因为 f (log t) f (log ) ≤ 2 f (2) ，所以 f (log t) f ( log t) ≤ 2 f (2)2 2 2 2 ，
t
即 f (log t) + f (log t) ≤ 2 f (2) f (log t) ≤ f (2)2 2 ， 2 ，
log2 t ≤ 2
所以 ，解得0 < t ≤ 4，…………………11 分
t > 0
所以 t的取值范围为(0,4] . ……………………12 分
21．（12 分）
2π π
解：（1）由图知 = 4( +
π
) ，解得 ω=2，………………1 分
ω 12 6
π π
∵ f ( ) = sin(2× + ) =1，
12 12
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π π π
∴2× +φ=2kπ+ ，k∈Z，φ=2kπ+ ，k∈Z，
12 2 3
π π
由于|φ|＜ ，因此 φ= ， …………………………………………3 分
2 3
π
∴ f (x) =sin（2x＋ ），最小正周期为π . ………………………………5 分
3
2 A+ B π
（2）∵2sin =
π
f (C + ) +1，∴1－cos（A+B）=1＋sin（2C+ ），
2 12 2
π
∵cos（A＋B）=－cosC，sin（2C+ ）=cos2C，cosC=cos2C，
2
2
即 cosC=2cos C－1，
1 2π
所以 cosC=－ 或 1（舍），可得：C= ， ………………………………7 分
2 3
c
由正弦定理得 = 2R = 4，解得 c=2 3， ………………………………8 分
sinC
1 a2 +b2 c2
由余弦定理得 cosC＝－ ＝ ，
2 2ab
2 2
∴a +b =12－ab≥2ab，ab≤4，（当且仅当 a=b等号成立），…………………9 分
1 3
∴S△ABC= absinC= ab≤ 3， …………………………………………11 分
2 4
∴△ABC 的面积最大值为 3．………………………………12 分
22．（12 分）
a 2 ax 2
解：（1） f '(x) = = (x > 0)，…………………1 分
x x2 x2
x＝1 是 f (x) 的极值点，则 a－2＝0，即 a＝2． ………………………2 分
2(x 1)
所以 f '(x) = ，当 x∈(0,1)时， f '(x) < 0，函数 f (x) 单调递减；
x2
当 x∈ (1, +∞)时， f '(x) > 0 ，函数 f (x) 单调递增．
所以函数 f (x) 单调减区间为(0，1)，单调增区间为 (1, +∞)． ………………4 分
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2
a(x )= ax 2（2）当 a>0 时， f '(x) = a ， …………………………5 分
x2 x2
2 2 2
①若 0＜a＜2，则 >1，则函数 f (x) 在 (0, )上单调递减，在 ( ,+∞)上单调递
a a a
2
增，所以函数 f (x) 在 x = >1处取得极小值，
a
2 2 2
2 2
因为 f (1) = 0所以 f ( ) < 0 .又因为 f (ea ) = alnea + 2 = 2e a > 0，
2
a
ea
2
2 2
由 ex > x，可得ea > ，所以函数 f (x) 在 ( ,+∞)上也有一个零点，
a a
所以函数 f (x) 在 (0,+∞)上共有两个零点． …………………………7 分
②若 a＝2，由（1）可知，函数 f (x) 在 (0,+∞)上只有一个零点． …………8 分
2 2 2
③若 a＞2，则 <1，则函数 f (x) 在 (0, )上单调递减，在 ( ,+∞)上单调递增，
a a a
2
所以函数 f (x) 在 x = <1处取得极小值，
a
2
因为 f (1) = 0，所以 f ( ) < 0，
a
f (e a又因为 ) = alne a +
2 2 = a2 + 2ea 2(e
a <1)，
e a
记 g(x) = x2 + 2ex 2(x > 2)，则 g(x) = 2x + 2ex = 2(ex x) ，
由 ex > x，可得当 x > 2时， g(x) > 0 ，
所以函数 g(x) 在 (2, +∞) 2 2上单调递增，所以 g(x)＞g(2)＝－4+2e －2=2(e －3)＞0，
2
所以函数 f (x) 在 (0, )上存在一个零点，即函数 f (x) 在 (0,+∞)上共有两个零点．
a
…………………………11 分
综上所述，当 a=2 时，函数 f (x) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 02 时，
函数 f (x) 在 (0,+∞)上共有两个零点． …………………………12 分
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