姓名
准考证号
在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2021~2022学年第一学期高二年级期中考试
理科数学
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟
注意事项
1.答题前,考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷
上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.已知集合A={x∈N|x<4},B={x|x(x-4)<0},则AUB=
B.{x|0D.{x|x<4}
2.设a=201,b=1og52,c=1og25,则
Da>ceb
平行于直线l:x+2y-3=0,且与l的距离为2√的直线的方程为
A.x+2y+7=0
B.x+2y+13=0或x+2y-7=0
C.x+2y+13=0
或x+2y+7
4.已知点A(3,2),B(4,-3),直线l过点P(0,1)且与线段AB相交,则直线l的倾斜角的取值范
用是
A.[0,]U
C.[0,2]UL。,x)
D.[匹,5
5.已知单位向量a,b满足|b-2a=5,则下列结论正确的是
B.a⊥b
C.|a+b|=2
D.a与b的夹角为60
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
D.20π
已知l,m,n为三条不同直线,a,,y为三个不同平面,则下列命题正确的是
A.若m∥a,n∥a,则m∥n
B.若a∩=l,m∥a,m∥,则m∥l
C.若m⊥a,n∥,a⊥p,则
D.若
⊥m,l⊥n,则l⊥
【高二理科数学试题·第1页(共4页)】
如图,三棱锥OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G为线段MN上一点,且MG=2GN,记
OA=a,D=b,OC=c,则
A
C
B.1a+1b+1c
C.a+eb+
C
D.1a+1b+1c
已知菱形ABCD中,AB=BD=2,把△ABD沿BD折起,使点A到达点P处,且PC=2.若E
为线段PD中点则异面直线BE与PC所成角的余弦值为
D
10.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边
长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的
高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h=
D
11.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P,则
PA|·|PB|的最大值是
12.如图正方体 ABCD.A1B1C1D1,棱长为1,P为BC中点,Q为线段CC1上的动点,过A、P、Q的
平面截该正方体所得的截面记为a.若Q-λCC1,则下列结论错误的是
A.当∈(,2)时,2为四边形
B.当λ=时,为等腰梯形
C.当λ∈(,1)时,n为六边形
D.当A=1时,2的面积为
、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
x+2y≤1
13设x,y满足约束条件2x+y≥-1,则x=2x-3y的最大值为
14.我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古
算经》5部专著是产生于魏晋南北刨时期的重要数学文献某中学拟将这5部专著分成两组(
组2部,一组3部)作为“数学文化”课外阅读教材,则《九章算术》与《孙子算经》不在同一组的概
率为
15.光线从点A(-3,4)出发,到x轴上的点B后,被x轴反射到y轴上的点C,又被y轴反射,这
时反射光线恰好过点D(-1,6),则直线BC的方程为
16在正三棱椎SABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM.若侧棱SA=23,则正
三棱雉SABC外接球的表面积为
【高二理科数学试题·第2页(共4页)】理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A B C B D A B B C
1.C 解析：∵A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，B＝{x|x(x－4)<0}＝{x|02.C 解析：易知 a 1,b 1,2 c 3，故选 C.
|m＋3|
3.D 解析：由题意设直线 l的方程为 x＋2y＋m＝0，则 ＝2 5，解得 m＝－13或 7，故选 D.
12＋22
1－2 3 1－（－3）4.A 解析：如图，斜率 kPA＝ ＝ ，kPB＝ ＝－1，结合图像可知当直线 l与
0－ 3 3 0－4
π 3π
线段 AB相交时，其倾斜角的取值范围是[0， ]∪[ ，π)．
6 4
2 2 2 5.B 解析：∵ b 2a 5 ，∴ b 2a b 4 a 4a b 5，∴ a b 0，∴a b .
6.C 1解析：该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，故体积 V＝π·22·6－2· ·π·22·3＝16π.
3
7.B 解析：根据线面间的位置关系可知选 B.
8.D O→G O→M M→G M→G 2M→N M→ →解析： ＝ ＋ ， ＝ ， N＝ON－O→M，O→M 1→ 1 →＝ OA＝ a，ON＝
3 2 2
1(O→B O→C) 1＋ ＝ (b → 1 1 1＋c)，∴OG＝ a＋ b＋ c.
2 2 6 3 3
9.A 解析：取CD中点 F ,连接 BE,EF ,则 BEF 是异面直线 BE与 PC所成角.
1
如图,由题意可得 BE BF 3,EF 1 EF ,∴ cos BEF 2 3 ,故选 A.
BE 6
10.B 解析：如图，设正三棱锥 P﹣ABE的各棱长为 a，则四棱锥 P﹣ABCD的各棱长也为 a，
DO＝ ，h1＝PO，∴ ， ，
∴ ．故选 B．
11.B 解析：由题意可知 A(0,0) , B(1,3) ,注意到动直线 x my 0和动直线mx y m 3 0垂直,∴
| PA |2 | PB |2PA PB, | PA |2 | PB |2 | AB |2 10，故 | PA | | PB | 5( 当且仅当 | PA | | PB | 5时取
2
“ ") ,故选 B.
1
12.C 解析：当 0＜ ＜ 时，如下图， 是四边形，故 A 正确；当 ＝ 时，如下图， 为等腰梯形，B 正
3
确：当 1时，如下图， 是五边形，C 错误；当 1时, Q与C1重合,取 A1D1的中点F ,连接 AF ,4
如下图，易得 PC1 / /AF ,且PC1 AF ,
1 6
截面 为 APC1F为菱形,其面积为 AC1 PF ,D 正确.2 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
1 3
13. 14. 15. 5x﹣2y+7＝0 16. 36π
3 5
1
13. 解析：作出可行域知 z
1 1
2x 3y , 1 1 1在点 处取得最大值， zmax 2
3 3 3 3
3 3
.
3
3
14. 解析：将这 5 部专著分成两组（一组 2部，一组 3 部）的基本事件总数 n＝10，《九章
5
4 3
算术》《孙子算经》恰好在同一组包含的基本事件个数 m＝4，故所求概率为1 .
10 5
15.5x﹣2y+7＝0 解析：如图，由题设点 B在原点 O的左侧，直线 BC一定过 A（﹣3，4）关
于 x轴的对称点（﹣3，﹣4），且一定过（﹣1，6）关于 y轴的对称点（1，6），∴BC的方程为
y 4 6 4 x 3 ，即 5x﹣2y+7＝0．
1 3
16.36π 解析：∵三棱锥 S ABC是正三棱锥,∴ SB AC(对棱互相
垂直）， MN AC .∵MN AM ， AM AC A, MN 平面
SAC， SB 平面 SAC∴ ASB BSC ASC 90 ,将此三棱锥
补成正方体,则它们有相同的外接球，∴ 2R 2 3 3=6, R 3,
S 4 R2 4 (3)2 36 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.解析：（1）∵ ABC的三个顶点坐标分别为 A(0, 2),B(4,0),C(m, 0) ,
∴线段 AB的中点M 的坐标为 (2,1) ,
2
0 2 1
∵线段 AB的斜率为 ,
4 0 2
设 AB边的垂直平分线所在的直线 l的斜率为 k ,则 k 2 ,
∴边 AB的垂直平分线所在的直线 l的方程为 y 1 2(x 2)，即 2x y 3 0 .（5 分）
(2 ) AB 1边所在的直线方程为 y 2 (x 0), x 2y 4 0 , | AB | (0 4)2 (2 0)2 2 5，
2
|m 4 | |m 4 |
设 AB边上的高为 d ,则点C到直线 AB的距离为 d ,
1 4 5
1
∵ ABC的面积为5 | AB | d 5d ，解得
2 d 5
,
5 |m 4 |∴ , m 9或m 1,故点C的坐标为 (9,0)或 ( 1,0) .（10 分）
5
18.解析：（1）f（x）＝ ＝2cos2x+ sin2x＝cos2x+ sin2x+1＝2sin（2x+ ）+1，
∴最小正周期 T＝ ＝π．（4分）
（2）由 f（A）＝2sin（2A+ ）+1＝2得 sin（2A+ ）＝ ．
∵A∈（0，π），∴2A+ ∈（ ， ），∴2A+ ＝ ，∴A＝ ．
∵S△ABC＝ bcsinA＝ ，b＝1，∴c＝2，由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4﹣2×1×2× ＝3，
∴a＝ 3 ,∴△ABC的周长为 a b c 3 3．（12分）
19．解析：(1)由 an＋1＝4an－3n＋1得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，
∵a1－1＝1，∴数列{an－n}是首项为 1，公比为 4的等比数列．(5分)
(2)由(1)可知 an－n＝4n－1，∴an＝4n－1＋n，
n
∴Sn＝40＋41＋…＋4n－1＋1＋2 n
4 －1 n（n＋1）
＋…＋ ＝ ＋ .(12分)
3 2
20.解析: (1)如图,延长C1M 交CB的延长线于点G ,连接 AG .
∵M 是BB1的中点,∴M 为C1G的中点.
∵ N 是 AC1的中点,∴MN / /AG ,
∵MN 平面 ABCD, AG 平面 ABCD, MN / /平面 ABCD .(5 分)（或证
MN / /BD）
(2)如图,过D作DE AB ,垂足为 E .
∵ AA1 平面 ABCD, AA1 平面 AA1B1B ,
∴平面 AA1B1B 平面 ABCD .
3
∵平面 AA1B1B 平面 ABCD AB,DE AB, DE 平面 AA1B1B .
易知DE 3 ,即平面 ABB1A1与平面CDD1C1的距离为 3 .
连接 AC,BC1 ,设点 B到平面 AMC1的距离为 d .
由题可知 AM MC1 2 2, AC 2 3, AC1 2 7 ,
在 AMC1中,可知MN (2 2)2 ( 7)2 1 .
1 1 2 7 1 1∴ 1 d 2 2 3 , 2 21解得 d .(12 分)
3 2 3 2 7
21.解析： (1)连接 BD，设 AC交 BD于O ,由题意知 SO 平面 ABCD .以 O为坐标原点,OB,OC,OS 分别为 x
6
轴 、 y 轴 、 z 轴 正 方 向 ， 建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz . 设 底 面 边 长 为 a , 则 SO a ，
2
S 0,0,
6 a 2 ,D a,0,0 C
2 2 2 6
,
2
0, a,0 ,OC 0, a,0 ， SD a, 0, a ,，
2 2 2 2 2
OC SD 0，∴OC SD，∴ AC SD .（6分）
DS 2 a,0, 6
(2)由题设知，平面PAC的一个法向量 a ,平面
2 2
DAC的一个法向量OS 0,0,
6 a .
2
cos O S DS 3设所求二面角为 ,则 ,
|OS‖DS | 2
故所求二面角的大小为30 .（12分）
22.解析：（1）取 AD中点为O ,连接 PO .
∵ PAD是等边三角形,∴PO AD .
∵平面 PAD 平面 ABCD且相交于 AD ,∴ PO 平面 ABCD ,∴PO DC .
∵ AB / /CD, AB PA ,∴CD PA .
∵PO PA P ,∴CD 平面 PAD .
∵CD 平面PCD，∴平面PCD 平面PAD .（5 分）
(2)以O为原点,过O作 AB的平行线OF ,分别以
OA,OF ,OP为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系.
设 AB AD 2 ,则 A(1,0,0),B(1, 2,0),C( 1,4,0),P(0,0, 3)，
4
则 BC ( 2,2,0),PC ( 1,4, 3)
设平面PBC的法向量为 n (x, y, z) ,
2x 2y 0
则 ，令 x 1得 n (1,1, 3) .
x 4y 3z 0
∵M 在棱PC上,∴设 PM tPC t( 1,4, 3) ( t, 4t, 3t), t [0,1] ,
∴ AM AP PM ( t 1,4t, 3(1 t))，
AM n 1
设直线 AM 与平面PBC所成角为 ,则sin | cos AM ,n | | AM || n | 5 ，5t2 t 1
t 1 2 19∴当 时, sin 取最大值 .（12 分）
10 19
5
