姓名
准考证号
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
2021~2022学年第一学期高二年级期中考试
文科数学
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟
注意事项
1.答题前,考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷
上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.已知集合A={x∈Nx<4},B={x|x(x-4)<0},则A∪B
A.{1,2,3}
B.{x|0C.{x10≤x<4}
D.{x|x<4}
2.设a=20,b=logs2,c=log25,则
B. b
3若直线l将圆(x+2)2+(y-1)2=9平分,且在两坐标轴上的截距相等则直线L的方程为
B.x+y+1=0
C.x-2y=0或x+y-1=0
D.x+2y=0或x+y+1=0
4.已知点A(3,2),B(,-3),直线l过点P(0,1)且与线段AB相交,则直线l的斜率的取值范
围是
B.[-1,3]
3,+∞
D.(-∞,-1]U[√3,+∞)
5.已知单位向量a,b满足|b-2a|=√5,则下列结论正确的是
A.a∥l
D.a与b的夹角为60
正视图
6.某几何体的三视图如图所示,则该儿何体的体积为
B.12
C.16
【高二文科数学试题·第1页(共4页)】
7.已知l,m,n为三条不同直线,a,B,y为三个不同平面,则下列命题正确的是
A.若m∥a,n∥a,则m∥n
B.若a∩=1,mn∥a,m∥,则m∥l
若m⊥a,n∥B,a⊥R,则
D若a∩B=m,a∩y=n,4⊥m,⊥n,则⊥a
8.直线x+y+3=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-3)2+y2=2上,则△ABP面
积的最小值为
6
B.6√2
2√2
已知菱形ABCD中,AB=BD=2,把△ABD沿BD折起,使点A到达点P处,且PC=2.若E
为线段PD中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为
10.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度为2√2,则圆M与圆
N:x2+y2-6x-12y+36=0的位置关系是
A.内切
B.外切
C.相交
D.相离
11.个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且底面边
长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的
高分别为h1,h2,h,则h1:h2:h=
12.已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B,使得MA⊥MB,则实
数t的取值范围是
C.L-2,6
D.[2,6]
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
x+2y≤1
13设x,y满足约束条件2x+y≥-1,则z=2x-3y的最大值为
x-y≤0
14.我国古代有着辉煌的数学硏究成果,《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古
算经》5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献.某中学拟将这5部专著分成两组(一
组2部,一组3部)作为“数学文化”课外阅读教材,则《九章算术》与《孙子算经》不在同一组的概
率为
15.若直线l:mx-y+m+1=0与圆C:x2-2x+y2-8=0相交于A,B两点,则弦长|AB|的最小
值为
16.在正三棱椎SABC中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且MN⊥AM.若侧棱SA=2√3,则正
棱雉SABC外接球的表面积为
高二文科数学试题·第2页(共4页)】文科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D A B C B A A B B D
1.C 解析：∵A＝{x∈N|x<4}＝{0，1，2，3}，B＝{x|x(x－4)<0}＝{x|02.C 解析：易知 a 1,b 1,2 c 3，故选 C.
3.D 解析：由题意可得直线 l过圆心(－2，1)，当 l过原点时，其方程为 x＋2y＝0；当 l不过原点时，设 l：x＋y
＝a，则 a＝－2＋1＝－1，此时方程为 x＋y＋1＝0.
1－2 3 1－（－3）4.A 解析：如图，斜率 kPA＝ ＝ ，kPB＝ ＝－1，结合图像可知当直线 l与
0－ 3 3 0－4
线段 AB 3相交时，其斜率的取值范围是[ 1, ]．
3
2 2 2 5.B 解析：∵ b 2a 5 ，∴ b 2a b 4 a 4a b 5，∴ a b 0，∴a b .
6.C 解析：该几何体是圆柱挖去两个全等的圆锥，故体积 V＝π·22·6 2·1－ ·π·22·3＝16π.
3
7.B 解析：根据线面间的位置关系可知选 B.
8.A 解析： A( 3,0),B(0, 3), AB 32 32 3 2 ,圆 (x 3)2 y 2 2的圆心到直线 x y 3 0的
d | 3 3 | 1距离 3 2 ,∴P到 AB距离的最小值为2 2 ,∴ ABP面积的最小值为 3 2 2 2 6 .2 2
9.A 解析：取CD中点 F ,连接 BE,EF ,则 BEF 是异面直线 BE与PC所成角.如图,
1
由题意可得 BE BF 3,EF 1 EF ,∴ cos BEF 3 2 ,故选 A.
BE 6
|0＋a|
10.B 解析：由已知可得圆心 M(0，a)到直线 x＋y＝0的距离 d＝ ＝ a2－2，解得 a
2
＝2，∴圆心 M(0，2)，半径 r＝2.∵N(3，6)，半径 R＝3，∴|MN|＝ （3－0）2＋（6－2）2
＝5＝R＋r，∴圆 M与圆 N外切．
11.B 解析：如图，设正三棱锥 P﹣ABE的各棱长为 a，则四棱锥 P﹣ABCD的各棱长也为 a，
DO＝ ，h1＝PO，∴ ， ，
∴ ．故选 B．
1
12.D 解析：过 M作圆 C的两条切线 MA、MB，若圆 C上存在两点 A，B，使得 MA⊥MB，则需满足∠AMB≥90°，
AC 10 2
即∠AMC≥45°，∴sin∠AMC＝ ＝ ≥ ，解得 2≤t≤6.
CM （5－1）2＋（t－4）2 2
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） [
1 3
13. 14. 15. 4 16. 36π
3 5
1 1 1 1 1 1
13. 解析：作出可行域知 z 2x 3y在点 , 处取得最大值， z3 3 3 max
2 3 .
3 3 3
3
14. 解析：将这 5部专著分成两组（一组 2部，一组 3部）的基本事件总数 n＝10，《九章算术》《孙子算经》
5
4 3
恰好在同一组包含的基本事件个数 m＝4，故所求概率为1 .
10 5
15.4 解析：直线 l :m(x 1) y 1 0过定点 P( 1,1) ,圆 C： (x 1)2 y2 9 ,圆心C(1,0) ,半径 r 3 .
∵ |CP | ( 1 1)2 (1 0)2 5 3，∴ P在圆C内部,∴当直线 l与CP垂直时, | AB |最小为
2 r 2 |CP |2 2 9 5 4 .
16.36π 解析：∵三棱锥 S ABC是正三棱锥,∴ SB AC(对棱互相垂直）， MN AC .
∵MN AM ，AM AC A, MN 平面 SAC， SB 平
面 SAC∴ ASB BSC ASC 90 ,将此将三棱锥补成
正方体,则它们有相同的外接球，∴ 2R 2 3 3=6, R 3,
S 4 R2 4 (3)2 36
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17．证明：(1)取 PC的中点 G，连接 BG，FG，
∵F是 PD的中点，∴FG∥CD，FG 1＝ CD，
2
1
∵底面 ABCD是菱形，E是 AB中点，∴BE∥CD，BE＝ CD，
2
∴BE∥FG，且 BE＝FG，∴四边形 BEFG是平行四边形，∴EF∥BG，
∵EF 平面 PBC，BG 平面 PBC，∴EF∥平面 PBC.(5分)
(2)设 AC∩BD＝O，则 O是 BD中点，
∵底面 ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PB＝PD，O是 BD中点，∴BD⊥PO，
∵AC∩PO＝O，AC 平面 PAC，PO 平面 PAC，∴BD⊥平面 PAC，
∵BD 平面 PBD，∴平面 PBD⊥平面 PAC.(10分)
2
18.解析：（1）f（x）＝cos2x+ sin2x+1＝2sin（2x+ ）+1，
∴最小正周期 T＝ ＝π．（4分）
（2）由 f（A）＝2sin（2A+ ）+1＝2得 sin（2A+ ）＝ ．
∵A∈（0，π），∴2A+ ∈（ ， ），∴2A+ ＝ ，∴A＝ ．
∵S△ABC＝ bcsinA＝ ，b＝1，∴c＝2，由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1+4﹣2×1×2× ＝3，
∴a＝ 3 ,∴△ABC的周长为 a b c 3 3．（12分）
19．解析：(1)由 an＋1＝4an－3得 an＋1－1＝4(an－1)，
∵a1－1＝1，∴数列{an－1}是首项为 1，公比为 4的等比数列．(5分)
(2)由(1) －可知 an－1＝4n 1，∴an＝4n－1＋1，
n
∴Sn＝40＋41＋…＋4n－1 n
4 －1
＋ ＝ ＋n＝.(12分)
3
20.解析：（1）由题意可设圆的圆心C(a,a) ,半径为 r ,
AC BC r , (a 2)2 (a 5)2 (a 5)2 (a 4)2 ,解得 a 1 ,∴圆心C(1,1) ,半径 r 5,
圆C的方程为 (x 1)2 (y 1)2 25 .（5分）
（2）过点D向圆C作切线DM ,如图，
则DM 2 DC 2 MC 2 DC 2 r 2 ,要使得切线长最短,即使得DC最
短,DC的最小值为点C到直线 y x 10的距离.
|1 1 10 |
点C到直线 y x 10的距离为 d 5 22 2 .1 ( 1)
DM DC 2 MC 2
(5 2)2 52 5， 切线长的最小值为 5.（12 分）
21.解析：(1)∵BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，∴BC⊥平面 ACC1A1，
∵DC1 平面 ACC1A1，∴DC1⊥BC，
由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，∴∠CDC1＝90°，即 DC1⊥DC，
∵DC∩BC＝C，∴DC1⊥平面 BDC，∵DC1 平面 BDC1，∴平面 BDC⊥平面 BDC1.(6分)
(2)设棱锥 B DACC1的体积为 V1，BC＝1，则 V 1
1＋2
1＝ × ×1×1 1＝ ，
3 2 2
∵三棱柱 ABC A1B1C1的体积 V＝1，
∴(V－V1)∶V1＝1∶1，∴平面 BDC1分此棱柱为两部分体积之比为 1∶1.(12分)
3
22.解析：(1)由已知得直线 l的方程为 y＝kx＋1.
|2k－3＋1|
l 4－ 7 4＋ 7∵ 与 C交于两点，∴ <1，解得 1＋k2 3 3
k 4－ 7 4＋ 7∴ 的取值范围是( ， )．(4分)
3 3
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将 y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(k＋1)x＋7＝0，
∴x x 4（k＋1）1＋ 2＝ ，x x
7
＝ .
1＋k2
1 2
1＋k2
O→M →·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x ) 1
4k（1＋k）
2 ＋ ＝ ＋8＝12，解得 k＝1，
1＋k2
∴l的方程为 y＝x＋1.
∵圆心在直线 l上，∴|MN|＝2.(12分)
4
