2021—2022 学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷参考答案及评分细则
评分说明：
1. 本解答给出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过正确解答应给分数的一
半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．C 4．A
5．B 6．C 7．A 8．B
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．AB 10． BC 11． ABD 12．ABC
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． 13 14． 16
15． x 4 2 y2 4（写出 x2 y2 8x 12 0也给满分） 16． 1 2 2,3
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（满分 10分）【答案】（1）3x 4y 12 0；（2）4x 3y 3 0；
x y
【详解】（1）由 A(4,0)，C(0,3)．可得 AC边所在的直线方程是： 1，
4 3
即3x 4y 12 0． ……………………5分
k 3 0 3（2）因为 AC边上的高垂直于 AC，（1）由已知 AC ………6分0 4 4
4高所在的直线方程斜率为 ……………………7分
3
又 AC边上的高过点 B(6,7)，
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4
故所求直线方程为 y 7 (x 6) ……………………9分
3
故 AC边上的高所在的直线方程是4x 3y 3 0 . ……………………10分
18. （满分 12分）【答案】（1） x 4或3x 4y 8 0（2）2 2．
【详解】解: (1)由题意可得C 2,3 ,直线 l与圆C相切
当斜率不存在时，直线 l的方程为 x 4 ,满足题意 ……………………1分
当斜率存在时，设直线 l的方程为 y 1 k(x 4) ,即 kx y 4k 1 0 ……2分
2k 3 4k 1
2 k 3∴ ,解得 …………………4分
1 k 2 4
∴直线的方程为3x 4y 8 0 …………………5分
∴直线 l的方程为 x 4或3x 4y 8 0 …………………6分
(2)当直线 l的倾斜角为135 时，直线 l的方程为 x y 3 0 …………………8分
圆心C 2,3 2+3-3到直线 l的距离为 = 2 …………………10分
2
∴弦长为 2 22 ( 2)2 2 2 …………………12分
19. （满分 12 3分）【答案】（1）证明见详解；（2）
3
【详解】（1）连接 AC交 BD于F ，连接 EF
∵底面 ABCD是正方形，
∴ F 为 AC中点，
又∵在△PAC中， E是PC的中点，
∴ EF // PA …………………2分
又∵ EF 平面 EDB,PA 平面 BDE，
∴在 PA / /平面 BDE …………………4分
（2）以D为坐标原点，DA,DC,DP为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图：
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D 0,0,0 ， E 0,1,1 ，C 0,2,0 ， B 2,2,0 ， A 2,0,0 ………………5分
DE 0,1,1 ，DB 2,2,0 ，DC 0,2,0 ， ………………6分
设平面 BDE的法向量 n x, y, z ，
n DE 0 y z 0
则 ，即 ，
n DB 0 2x 2y 0
令 y 1，则 x 1, z 1，
n 1,1, 1 ， ……………8分
因为 AD PD， AD DC，PD DC D，
AD 平面 PDC ， AD 平面DEC，
所以 AD为平面DEC的一个法向量
AD 2,0,0 ， ……………9分
cos AD,n AD n 2 3
4 3 3 ……………11分AD n
因为平面 BDE与平面 DEC的夹角为锐角，
所以平面 BDE与平面 DEC 3的夹角的余弦值 . ……………12分
3
x2 y2
20. （满分 12分）【答案】（1）椭圆标准方程为 1 （2） x 2y 4 0
16 4
c 3
【详解】解：（1） e ， 2b 4， ……………2分
a 2
所以 a 4，b 2， c 2 3， ……………4分
x2 y2
椭圆标准方程为 1， ……………5分
16 4
（2）设以点 P(2,1)为中点的弦与椭圆交于 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )，
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则 x1 x2 4，则 y1 y2 2， ……………6分
将 A(x1， y1)， B(x2 ， y2 )分别代入椭圆的方程，
两式相减可得 (x1 x2 )(x1 x2 ) 4(y1 y2 )(y1 y2 ) 0，
4(x1 x2 ) 8(y1 y2 ) 0， ……………9分
k y2 y1 1 ， ……………10分
x2 x1 2
P(2,1) 1 点 为中点的弦所在直线方程为 y 1 (x 2)， ……………11分
2
整理，得： x 2y 4 0． ……………12分
21. （满分 12分）【详解】（1）法一：取 AB的中点O连 PO,DO，
∵ PA PB，
∴ PO AB，
又面 PAB 面 ABCD，面 PAB 面 ABCD AB， PO 面 PAB，
∴ PO 面 ABCD， ……………1分
又∵ EC 面 ABCD，则 PO EC， ……………2分
在正方形 ABCD内，O,E分别为 AB, AD的中点，
∴ DAO CDE，则有 ODE ECD，又 ECD DEC 90 ，
∴ DEC ODE 90 ，
∴ EC OD，OD PO O， ……………4分
∴CE 平面 POD，又 PD 平面 POD，
∴CE PD． ……………5分
法二：取 AB的中点O连 PO,DO，
∵ PA PB，
∴ PO AB，
又面 PAB 面 ABCD，面 PAB 面 ABCD AB， PO 面 PAB，
∴PO 面 ABCD， ……………1分
取CD的中点G，连OG，则OB,OP,OG两两垂直，
∴分别以OB，OG，OP所在的直线为 x轴， y轴， z轴
建立如图空间直角坐标系． ……………2分
设 AB 2，则C 1,2,0 ， P 0,0, 3 ， E 1,1,0 ，D 1, 2,0 ，
∴CE 2, 1,0 ， PD 1,2, 3 ， ……………4分
则有CE PD 2 2 0，
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∴CE PD． ……………5分
（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知 PE 1,1, 3 ， AP 1,0, 3 ，
BD 2,2,0 ， BE 2,1,0 ， ……………6分
设 BF BD 0 1 ，则 BF 2 , 2 ,0 ，
EF BF BE 2 2,2 1,0
n PE 0
设面 PEF的法向量为 n x, y, z ，则 ，即
n EF 0
x y 3z 0
，令 y 1 ，则 2 2 x 2 1 y 0
n 2 1
,1,
1
． ……………8分
2 2
3(2 2 )
设直线 AP与平面 PEF所成角的为 ，
sin cos AP n 1 5 AP,n ，……………9分
AP n 2
2 2
5
1 2
1
1
2 2 3 2 2
1
∴整理得：9 2 6 1 0，即 ． ……………11分3
5
∴在 BD上存在点 F ，使得直线 AP与平面 PEF成角的正弦值为 ，此时点 F为靠近点 B
5
BF 1的三等份点，即 BD． ……………12分
3
x2 y2 14
22. 【答案】（1） 1；（2）存在， y x 3 .
4 2 2
2 1
【解析】解：（1）由已知点代入椭圆方程得 2 2 1，a b
由 e 2 c 2 得 可转化为 a2 2b2， ………………2分
2 a 2
由以上两式解得 a2 4,b2 2 ………………3分
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为： 1. ………………4 分
4 2
（2）存在这样的直线.
①当直线 l的斜率不存在时，显然不满足PB 2PA， ………………5分
②当直线 l的斜率存在时，设所求直线方程 l： y kx 3
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y kx 3
联立 x2 y2 整理得： (1 2k 2)x2 12kx 14 0
1 4 2
x x 12k 141 2 ①， x x ②1 2k 2 1 2 1 2k 2
△=(12k)2 2
7
﹣4×14×(1+2k2)>0， k ， ……………….8分
4
设所求直线与椭圆相交两点 A (x1, y1)，B (x2 , y2 )，
x 2x
由已知条件 PB 2PA可得 2 1③， ……………….9 分
2 7 7
综合上述①②③式子可解得 k 符合题意， ……………….11分
2 4
14
所以所求直线 l的方程为： y x 3 . ……………….12分
2
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数学试卷选择题、填空题答案的参考解析
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.【答案】B
【详解】
两直线平行，所以有4 ( 1) ( a) 2 a 2 ,经检验，当 a =2，是符合条件。
故选：B.
2. 【答案】D
x2 y2
【详解】解： 椭圆 1的焦点在 x轴上，
m 2 10 m
m 2 10 m 0，即 6 m 10，且 a2 m 2， b2 10 m，
c a2 b2 m 2 10 m 2m 12，又焦距为 4， 2m 12 2，得m 8．
故选：D．
3.【答案】C
【详解】解：因为直线 l1： a 2 x 1 a y 3 0与 l2： a 1 x 2a 3 y 2 0互相
垂直，所以 (a 2)(a 1) (1 a)(2a 3) 0，得 a2 1，解得 a 1，故选：C
4.【答案】A
【详解】由题，在空间四边形OAB， OA a ， OB b， OC c ．
点M 在OA
1 1
上，且OM 2MA， N 是 BC的中点，则ON c b ．
2 2
所以MN ON MO 2 a 1 b 1 c 故选：A
3 2 2
5．【答案】B
【分析】
由题意知 ABC是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】
由题设知： ABC是直角三角形，则垂心为直角顶点 A(0,0)，外心为斜边BC的中点M (4,3)，
∴“欧拉线”的方程为3x 4 y 0 .故答案为：3x 4 y 0 .选 B
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6.【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出 BM与 NA所成的角的余弦值.
【详解】依题意可知 CA,CB,CC1 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设
BC CA CC1 1，
1
则 A 1,0,0 ,N ,0,1 ,B 0,1,0 ,M
1 , 1 ,1 ，
2 2 2
1 AN ,0,1 ,BM
1
,
1
,1
2 2 2
，
设直线 BM 与NA所成角为 ，
3
cos AN BM 30则 4 .
AN BM 5 6 10
2 2
故选：C
7.【答案】A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为Q x0 , y0 ， PQ中点为M x, y ，根据中点坐标公式得，
x0 2x 4{ ， 因 为 Q x0 , y 2 20 在 圆 x2 y2 4 上 ， 所 以 x0 y0 4 ， 即y0 2y 2
2x 4 2 2y 2 2 4，化为 (x 2)2 (y 1)2 1，故选 A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
8.【答案】B
【详解】直线 l1： kx 2y k 4 0，即 k x 1 2y 4 0，
令 x 1 0，求得 x 1， y 2，可得该直线恒过点M 1,2 .
直线 l2： y x 1上有一动点 P，点 N 的坐标为 4,6 ，
故M 、 N 都在直线 l2： y x 1的上方．
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点M 1,2 关于直线 l2： y x 1的对称点为M ' 3,0 ，
y 0 x 3
则M 'N 直线方程为 ，即 y 6x 18 .
6 0 4 3
x
17
把M 'N 5直线方程和直线 l2： y x 1联立方程组，求得 ，
y 12
5
PM PN 17 12 可得当 取得最小值时，点 P的坐标为 , ．故选：B
5 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.【答案】AB
【详解】因为 a≠0，所以 D错；
当 a＞0 1时， a ＞0，不过第四象限，故 A对；
当 a 0 1＜ 时， a ＜0，不过第一象限，故 C错，B对．故选：AB
10. 【答案】 BC
【详解】解：根据题意，圆C1 : x
2 y2 1，其圆心C1(0,0)，半径 R 1，
圆C2 : x
2 y2 6x 8y 24 0，即 (x 3)2 (y 4)2 1，其圆心C2 (3, 4)，半径 r 1，
圆心距 |C1C2 | 16 9 5，
则 | PO |的最小值为 |C1C2 | R r 3，最大值为 |C1C2 | R r 7，故 A错误，C正确；
对于 B，圆心C1(0,0)，圆心C2 (3,
4 0 4
4)，则两个圆心所在的直线斜率 k ，B正
3 0 3
确，对于D，两圆圆心距 |C1C2 | 5，有 |C1C2 | R r 2，两圆外离，不存在公共弦，D错
误．故选： BC．
11. 【答案】 ABD
【详解】解：根据题意可得 a 2，b 3， c2 a2 b2 1，
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对于 A：△ PF1F2 的周长为 | PF1 | | PF2 | | F1F2 | 2a 2c 6，故 A正确，
1
对于 B：△ PF1F2 的最大面积为 | F1F2 | b bc 3，故 B正确，2
对于C：若要存在点 P使得 PF1 PF2 0，则 PF1 PF2 ，
即点 P在以 F1F2为直径的圆上，且 | F1F2 | 2，所以点 P为以 F1F2为直径的圆与椭圆的交点，
| F F |
而椭圆的短轴一半长为 3 r 1 2 1，所以不存在点 P，故C错误，
2
对于 D :| PM | | PF1 | | PM | 2a | PF2 | 4 | PM | | PF2 | 4 |MF2 | 4 1 5，
所以 | PM | | PF1 |最大值为 5，故 D正确，故选： ABD．
12. 【答案】ABC
【详解】解：以 D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空
间直角坐标系如图所示，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，D1(0，0，2)，P(1，2，0)，Q(0，
2，1)， A1(2，0， 2)， B1(2，2， 2)，
对于选项 A， AD1 ( 2,0,2),PQ ( 1,0,1) ，
则有 AD1 2PQ，所以 AD1 / /PQ，故 AD1 / /PQ，所以选项 A正 确；
对于选项 B， DA1 (2,0,2)，因为 DA1 PQ 2 ( 1) 0 2 0，
所以 DA1 PQ，故 A1D PQ，
所以选项 B正确；
对于选项C，因为 AP ( 1,2,0),B1P ( 1,0, 2)，
设平面 AB P 1 的法向量为 n (x, y, z)，
n AP 0 x 2y 0
则有 ，即 ，
n B P 0 x 2z 01
令 y 1，则 x 2， z 1，所以 n (2,1, 1)，
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Q AB P | PQ | | cos PQ,n | | PQ n | | 2 1| 6故 到平面 1 的距离为 ，| n | 6 2
故选项C正确．
对于选项 D， B1Q ( 2,0, 1),AD1 ( 2,0,2)，
BQ AD | B1Q AD1 || cos , | | 4 0 2 | 10所以 1 1 ，| B1Q || AD1 | 5 2 2 10
B Q AD 10所以直线 1 与 1所成角的余弦值为 ，故选项D错误；故选：ABC．10
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13. 【答案】 13
根据向量模长的计算公式代入求解即可.
2 2
【详解】 a 3b = (a 3b)2 a 6 a b 9 b 1 6 1 1 cos60 9 13 .
14. 【答案】16
【详解】解：由已知椭圆方程可得 a2 16 ，所以 a 4，
又由椭圆的定义可得： | AF1 | | AF2 | 2a 8
且 | BF1 | | BF2 | 2a 8 ， 所 以 三 角 形 ABF2 的 周 长 为
| AF1 | | AF2 | | BF1 | | BF2 | 8 8 16，故答案为：16．
2
15. 【答案】 x 4 y2 4（写出 x2 y2 8x 12 0也给满分）
5 3
【解析】 因为切线的倾斜角为 ，切线的斜率为
6 3
直线与圆 C相切于点 N 3, 3 且圆心 C a,0 ，且直线 CN 与切线垂直，所以直线 CN 的
斜率与切线的斜率乘积为 1，所以直线 CN 3的斜率为 3即 kCN 3，解得 a 4，a 3
由题意得，圆的半径 r (a 3)2 ( 3)2 (a 3)2 3 =2，
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2 2
所以圆 C的方程为 x 4 y2 4 .故答案为： x 4 y2 4
（写出 x2 y2 8x 12 0也给满分）
16.【答案】 1 2 2,3
【解析】【分析】曲线 y 3 4x x2 表示圆心为 (2,3)，半径为 2的半圆，画出图象，
结合点到直线的距离公式，得出b的取值范围.
【详解】由 4x x2 0，解得0 x 4
根据二次函数的性质得出 0 4x x2 2，即1 y 3
曲线 y 3 4x x2 可化为 (x 2)2 (y 3)2 4 ，
0 x 4,1 y 3
所以该曲线表示圆心为 (2,3)，半径为 2的半圆
因为直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，所以它位于 l1, l2之间，如下图所示
当直线 y x b运动到 l1时，过 (0,3)，代入 y x b得：b 3
当直线 y x b运动到 l2时，此时 y x b与曲线相切
| 2 1 3 1 b | | b 1|
则 2，解得b 1 2 2或1 2 2（舍）
12 12 2
要使得直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则b [1 2 2,3]
故答案为： 1 2 2,3
高二数学 第 12页（共 12页）2021—2022 学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷
（满分：150分 完卷时间：120 分钟）
班级 姓名 准考证号 座号
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．直线 4x ay 2 0与直线 2x y 7 0平行，则 a等于
A．1 B．2 C．3 D．4
x2 y2
2．已知椭圆 1的焦点在 x轴上，焦距为 4，则m等于
m 2 10 m
A．5 B．6 C．7 D．8
3. 若直线 l1： a 2 x 1 a y 3 0与 l2： a 1 x 2a 3 y 2 0互相垂直，则 a的
值为
3
A. 1 B. 1 C. D.
2
4．如图，在空间四边形 OABC中，OA a ，OB b ，OC c ，点M在 OA上，且
OM=2MA ， N是 BC的中点，则MN
2 1 1 2 2 1
A． a b c B． a b c
3 2 2 3 3 2
1 2 1 1 1 2
C． a b c D． a b c
2 3 2 2 2 3
5．瑞士著名数学家欧拉在 1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线
上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中， ABC 各顶点的坐标
分别为 A 0,0 ， B 8,0 ，C 0,6 ，则 ABC 的欧拉线方程为
A． 3x 4y 3 0 B．3x 4y 0
C．3x 4y 3 0 D． 3x 4y 0
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6. 直三棱柱 ABC A1B1C1中， BCA 90 ，M，N分别是 A1B1， A1C1的中点，
BC CA CC1，则 BM与 NA所成的角的余弦值为
A. 30 B. 30 C. 30 D. 30
10 6 10 6
7. 点 P(4, 2)，点 Q是圆 x2 y2 4上的一个动点，则线段 PQ的中点M的轨迹方程是
A. (x 2)2 (y 1)2 1 B. (x 4)2 (y 2)2 4
C. (x 2)2 (y 1)2 1 D. (x 2)2 (y 1)2 4
8. 已知直线 l1 : kx 2y k 4 0恒过点M，点 N的坐标为 (4,6)，直线 l2 : y x 1上
有一动点 P，当 | PM | | PN |取得最小值时，点 P的坐标为
2 7 17 12 12 7 2 3
A. , B.5 5
, C. , D. ,
5 5 5 5 5 5
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
1
9．直线 y ax 可能是
a
A． B． C． D．
10．点 P在圆C1 : x
2 y2 1上，点Q在圆C2 : x
2 y2 6x 8y 24 0上，则
A． | PQ |的最小值为 0 B 4．两个圆心所在的直线斜率为
3
C． | PQ |的最大值为 7 D．两个圆相交弦所在直线的方程为 6x 8y 25 0
2 2
11 x y．已知椭圆C : 1的左、右两个焦点分别为 F1，F2 ，P为椭圆上一动点，M (1,1)，4 3
则下列结论正确的有
A．△ PF1F2 的周长为 6 B．△ PF1F2 的最大面积为 3
C．存在点 P使得 PF1 PF2 0 D． | PM | | PF1 |的最大值为 5
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12．如图，在棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P，Q分别为棱 BC，CC1的中点，
则以下四个结论正确的是
A． AD1 / /PQ
B． A1D PQ
C．Q到平面 AB P 61 的距离为 2
D 3 10．直线 B1Q与 AD1所成角的余弦值为 10
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13. 已知 a， b均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么 a 3b 等于____．
14 x
2 y2
．已知椭圆 1的左、右焦点分别为 F1，F2，AB是椭圆过焦点 F16 12 1
的弦，则 ABF2
的周长是 ．
5
15．已知圆心坐标为 a,0 的圆 C与倾斜角为 的直线 l相切于点 N 3, 3 ，则圆 C的6
方程为
16. 若直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （满分 10分）三角形的三个顶点分别是 A(4,0)， B(6,7)，C(0,3)．
（1）求 AC边所在的直线方程；
（2）求 AC边上的高所在的直线方程；
18. （满分 12分）已知圆C : (x 2)2 (y 3)2 4外有一点 P 4, 1 ，过点 P作直线 l．
(1)当直线 l与圆C相切时，求直线 l的方程；
(2)当直线 l的倾斜角为135 时，求直线 l被圆C所截得的弦长．
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19. （满分 12分）
如图，四棱锥 P ABCD中，四边形 ABCD为正方形，
PD 平面 ABCD， PD DC 2，E是 PC的中点．
（1）证明： PA//平面 BDE；
（2）求平面 BDE与平面 DEC的夹角的余弦值．
20 x
2 y2 3
．（满分 12分）已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，短轴长为 4．a b 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点 P(2,1)作弦且弦被点 P平分，则此弦所在的直线方程．
21．（满分 12分）
如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，△ PAB为等边三角形，
平面 PAB 底面 ABCD， E为 AD的中点．
（1）求证：CE PD；
（2）在线段 BD（不包括端点）上是否存在点 F，
5
使直线 AP与平面 PEF所成角的正弦值为 ，
5
若存在，确定点 F 的位置；若不存在，请说明理由．
22．（满分 12 分）
x2 y2 2
已知椭圆C :
a2
1(a b 0)过点 M ( 2,1)，且离心率为 .
b2 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）是否存在过点 P(0，3)的直线 l与椭圆 C 相交于 A，B两点，且满足 PB 2PA，若存
在，求出直线 l的方程；若不存在，请说明理由.
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