人教版九年级数学上册《21-2-1 配方法（第2课时）》教学课件PPT初三优秀公开课(共32张PPT)

(共32张PPT)
21.2.1 配方法（第2课时）
人教版 数学 九年级 上册
x(x+6)=16
化为一般式，得
x2+6x-16=0
导入新知
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面 积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？
解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据 长方形面积为16m2，列方程得
怎样解这个方
程？能不能用 直接开平方法？
素养目标
2.探索直接开平方法和配方法之间的区 别和联系.
1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元 二次方程及解决有关问题.
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗 把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开 平方来解.
探究新知
配方法的定义
知识点
你还记得吗？ 填一填下列完全平 方公式.
(1) a2+2ab+b2=( a+b )2；
(2) a2-2ab+b2=( a-b )2.
探究新知
2
b
2
2
2
2
2
2
2
(4)

x ___
(x __)
(3) x
(x __)
x
(x __)
(5) x
配方时, 等式两边 同时加上的是一次 项系数一半的平方.
2 x 5
(1) x 10 x _5__2 (x _5_)2
2
2
2 x 6
5 x __
2 x 5
3 1
2 x
3
2
2 x b
(2) x 12 x _6_2_ (x _6_)2
2
5
2
5
(
) 2
2__
2
1
( )
3
1
3
(
) 2
bx __2 _
b
你）发现了什 么规律？
二次项系 数都为1.
探究新知
填一填（根据 a 2 2ab b 2 (a b)2
【思考】 怎样解方程: x2+6x+4=0（1）
（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完 全平方式：常数项 等于一次项系数一 半的平方.
探究新知
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？
提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数 一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2 的形式.
探究新知
配方法的定义
像上面那样，通过配成完全平方形式来解 一元二次方程的方法叫做配方法.
配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转 化成两个一元一次方程来解.
探究新知
例1 解方程： x 2
8 x 1 0；
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得 x 4 １5 ,
x1 4 1 5 , x 2 4 1 5 .
探究新知
素养考点 1 解二次项系数是1的一元二次方程
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4
配方，得 x2+8x+4 =4+4 ，
(x+4)2=20，
整理，得 由此可得
， x2＝
.
x+4= 2 5 ，
x1＝ -4 2 5
4 2 5
巩固练习
配方，得
3
1
2
2
x 2
3 2
3 2
x

,
4
4
3 2 1
x 4 16 ,


x 3 1 ,
4 4
由此可得
2
1
2
x 1, x 1 .
二次项系数化为1，得
x 2
3 x 1 , 2 2
解二次项系数不是1的一元二次方程
素养考点 2
探究新知
例2 解方程（1）2 x 2 1 3 x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
移项和二次项系数 化为1这两个步骤能 不能交换一下呢
3
配方，得 x 2
2 x 12 4 12 ,
3
x 1 2 1 .
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都 不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得 3 x 2
6 x 4 ,
3
二次项系数化为1，得 x 2 2 x 4 ,
为什么方程 两边都加12？
即
探究新知
（2）3 x 2 6 x 4 0 .
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
探究新知
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
p
①当p>0时,则 x n ,方程的两个根为
x 1 n p , x 2 n p
方法点拨
探究新知
解下列方程：
6 x 4 0;
巩固练习
由此可得
配方，得 整理，得
解: 移项，得 3x2+6x=4
二次项系数化为1，得 x2+2x=
4
3
x2+2x+12= 4 +12
(x+1)2=
7
3
3
即 x+1=±
.
21 3
x1=
， x2= -
21 - 1 .
3
21 - 1
3
（1）3 x 2
巩固练习
配方，得
二次项系数化为1，得
整理，得 由此可得
4
( x 3 ) 2
4
1 6
2 1 ，
x 3
4
x1=
3 21 ， x2=
4
3 21
4
x2- 3x= 3
4
（2） 4x2 6x 3 0
解: 移项，得 4x2-6x=3
2
4
2 1 ,
4 4
x 2
2
3 x ( 3 )2 3 ( 3 )2
巩固练习
解：移项，得
∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
∴ x取任何实数，上式都不成立， 即原方程无实数根．
配方，得 x2+2x+1=-2+1.
整理，得
x2+2x=-2.
(x+1)2=-1.
（3）x2 + 4x - 9 = 2x - 11
巩固练习
由此可得
整理，得
x1=6 , x2=-2
8 x 1 2
x2+4x=8x+12
x2-4x=12
x2-4x+2 =12+2
(x-2)2=16
x-2=±4
因此
（4）x( x 4 )
解：去括号，得 移项，得 配方，得
探究新知
素养考点 3 利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－
4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值必定大于零.
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化 成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
例4
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a 3 2
根据非负数的性质得
b 4 2
c 5 0 ,
c 5 0 ,
a 3 2 0 , b 4 2 0 ,
a 3， b 4， c 5 ,
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0,
a 2
b 2 3 2 4 2 5 2 c 2 ,
探究新知
由此可得
即
巩固练习
C.1或2 D.1或-2
A. 1 B.1
应用配方法求最大值或最小值. (1)求 2x2 - 4x+5的最小值
(2) -3x2 + 12x -16的最大值.
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ C ）
解：原式 = 2(x - 1)2 +3
因为 2(x - 1)2 ≥0， 所以 2(x - 1)2 +3 ≥3
因此当x =1时，原式有最小值3.
解：原式= -3(x - 2)2 - 4
因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0，
所以 -3(x - 2)2 -4≤-4
因此当x =2时，原式有最大值-4.
类 别 解 题 策 略
1.求最值或证明代 数式的值恒为正 （或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后， 由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当
a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值.
2.完全平方 式中的配方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数 一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题
3.利用配方构成 突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据
非负数和的形式 非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,
则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
配方法的应用
探究新知
y2
1. 一元二次方程 ﹣ ﹣
4
A. (y+ 1 )2=1
2
4
y 3 =0配方后可化为（
4
D. (y- 1 )2= 3
2
C. (y+ 1 )2= 3
2
B. (y- 1 )2=1
2
B ）
连接中考
课堂检测
基 础 巩 固 题
1. 解方程：4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4，
二次项系数化为1，得 x2-2x=1，
配方，得
整理，得
x2-2x+1=1+1,
（x-1）2=2,
1 2 .
x 1 1 2 ， x 2
课堂检测
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的 值总是负数，并求出它的最大值.
所 以 - ( x + 1 ) 2 - 3 ≤ - 3 ,
2
2 4 4
因 此 当 x= 1 时 ，
－ x 2－ x－1有 最 大 值 - 3 .
4
2 2
1 1
2
2
因为(x+ ) ≥ 0，即 (x+ ) ≤ 0
证明：
原式= x2+x 1
2
2 4
= x2+x+ 1 + 1 1
1 2
3
= x+ 2 4
课堂检测
z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
4 x y 2 6 y
3.若 x 2
解：对原式配方，得
x 2 2 y 3 2
z 2 0 ,
z 2 0 .
由非负数的性质可知
x 2 2 0 , y 3 2 0 ,
由 此 可 得 x 2 , y 3 , z 2 .
因 此 xy z 2 3 2 6 2 3 6 .
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样 宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩
余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
课堂检测
a 2
b 2 c 2 a b a c b c 0 ,
已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
1 a b 2 a c 2 b c 2 0,
2
由代数式的性质可知
a b c ,
a b 2 0, a c 2 0, b c 2 0,
所以，△ABC为等边三角形.
课堂检测
能 力 提 升 题
配方法
定 义
通过配成完全平方形式解一元 二次方程的方法.
步 骤
一移常数项； 二配方[配上
]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
二 次 项 系 数 ）2
2
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应 用
求代数式的最值或证明.
课堂小结
课后作业
作业 内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习
谢谢观看
Thank You