四川省双流市棠中外语学校2013届高三9月月考数学（理）试题

双流市棠中外语学校2013届高三9月月考
数学（理）试题
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知，为集合的非空真子集，且，不相等，若，则 (　A　)．
A． B． C． D．
2．若展开式各项系数和为256，设 为虚数单位，复数的运算结果为（ B ）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）
A．12 B．11 C． D．
4．如图所示的方格纸中有定点，则（ C ）
A． B． C． D．
5．如图，长方形的四个顶点为，曲线经过点．现将一质点随机投入长方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ C ）
A． B． C． D．
6．已知:命题：“是的充分必要条件”；
命题：“”．则下列命题正确的是（ B ）
A．命题“∧”是真命题 B．命题“（┐）∧”是真命题
C．命题“∧（┐）”是真命题 D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题
7．若数列的前n项和为，则下列命题：
（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；
（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；
（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是
（4）若是等比数列，则的充要条件是
其中，正确命题的个数是（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．两二面角的的两个半平面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是（ D ）
A．一定相等 B．一定互补 C．一定相等或互补 D．以上都不对
9．函数 的图象大致是（ C ）
10．下表为第29届奥运会奖牌榜前10名：
第10题 第13题
设表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项中任取不同两个构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名：首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是 （ D ）
A．15 B．20 C．24 D．27
11．若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（ D ）
A． B． C． D．
12．已知实数x,y满足，，则（ A ）
A．0 B．1 C．-2 D．8
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．图中给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是_______
（答案：i<＝100）
14．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_______（答案：2）
15．已知，，，。
根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；
（答案： ，）
16．设的内角所对的边为；则下列命题正确的是
①若；则 ②若；则 ③若；则
④若；则 ⑤若；则
（答案：①②⑤）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．
18．（本小题满分12分）在今年伦敦奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是．
（Ⅰ）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（Ⅱ）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率。
（Ⅲ）设随机变量为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求的分布列及期望
解：（Ⅰ）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件，则的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人个，，那么，解得，即来自美国的2人，来自英国的4人。 （4分）
（Ⅱ）记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件，那么，
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是． （8分）
（3）的所有可能值为0，1，2，
，，，故有分布列：
0 1 2
P
　　　　　　　
（10分）
从而（人）。 （12分）
19．（本小题满分12分）如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
（Ⅱ）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，
．
而，平面．
平面，
，
为平面与平面所成的
二面角的平面角． ……………………8分
在中，，，
．
由，得．
．
又，
，则． ………………………………11分
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．　 ………………………12分
（法二）（Ⅰ）同法一，得． ………………………3分
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
． ………4分
由，
得， ． ……………6分
（Ⅱ）由（1）知．
设平面的法向量为，
由 得，
令得，， …………………………9分
由已知平面，所以取面的法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则， …………………………11分
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． ……………………12分
20．（本小题满分12分）
（本小题满分12分）已知数列和满足：
, 其中为实数，为正整数．
（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；
（Ⅱ）对于给定的实数，试求数列的前项和；
（Ⅲ）设，是否存在实数，使得对任意正整数，都有成立 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
．解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数，使｛｝是等比数列，
则有,
即矛盾．
所以｛｝不是等比数列． …………………………4分
（Ⅱ）因为
又，所以
当，，此时
当时，， ，
此时，数列｛｝是以为首项，为公比的等比数列．
∴ …………………………8分
21．（本小题满分12分）直线与椭圆交于，两点，已知，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
（Ⅲ）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
解析：
（Ⅰ）∵ …………………2分
∴
∴椭圆的方程为 ………………3分
（Ⅱ）依题意，设的方程为
由
显然
………………5分
由已知得：
解得 ……………………6分
22．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，试比较与1的大小；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）当时，，定义域是，
， 令，得或． …2分
当或时，，当时，，
函数在、上单调递增，在上单调递减． ……………4分
的极大值是，极小值是．
当时，； 当时，，
当仅有一个零点时，的取值范围是或．……………5分
（Ⅲ）（法一）根据（2）的结论，当时，，即．
令，则有， ． ……………12分
， ． ……………14分
（法二）当时，．
，，即时命题成立． ………………………………10分
设当时，命题成立，即 ．
时，．
根据（Ⅱ）的结论，当时，，即．
令，则有，
则有，即时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分
（法三）如图，根据定积分的定义，
得．……11分
，
． ………………………………12分
，
又，，
．
． …………………………………14分
开始
S=0
I=2
S=S+1/I
I=I+2
N
输出S
结束
Y
A
B
C
E
F
M
O
H
G
A
B
C
E
F
M
O
x
y
z
A
B
C
E
F
M
O
1 2 3
4 5 6 n-1 n
…