人教版九年级上册数学二十四章24.1.2垂径定理的应用训练（word版含答案）

人教版九年级上册数学二十四章垂径定理的应用训练
如图：水平放置的圆柱形排水管道内，水面的宽度 ，水面的最大深度为 ，求排水管道截面圆形的半径．
如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度 为 ，拱高 为 ，当洪水泛滥到跨度只有 时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有 ，即 时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．
中国的拱桥始建于东汉中后期，已有一千八百余年的历史，如图，一座拱桥在水面上方部分是 ，拱桥在水面上的跨度 为 米，拱桥 与水面的最大距离为 米．
(1) 用直尺和圆规作出 所在圆的圆心 ；
(2) 求拱桥 所在圆的半径．
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图， 为 的直径，弦 于点 ， 寸， 寸，求直径 的长．
请你解答这个问题．
如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 ，弓高 ．现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧 所在圆 的半径 ．
一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为 ．求这个孔道的直径 ．
将如图中的车轮复原，已知弧上三点 ，，．
(1) 画出该车轮的圆心．
(2) 连接 ，若 是等腰三角形，底边 ，腰 ，求该车轮的半径．
如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现测得污水水面宽度 为 ，水面到管道顶部距离 为 ，求修理工应准备的管道的半径．
如图，一座跨河大桥的桥拱是圆弧形，跨度 为 米，拱高 为 米，一场大雨过后，桥下水面由 位置上涨到 位置， 与 交于点 ．若测得 为 米，则水面上涨了多少米？（结果保留根号）
如图，两条公路 和 在点 处交汇，．在点 处有一栋居民楼，，如果公路上的汽车行驶时，周围 以内会受噪音影响，那么一汽车在公路 上沿 的方向行驶时，居民楼是否会受到影响？如果这辆汽车的速度是每小时 ，居民楼受影响的时间约为多少？（，精确到 ）
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图①，点 表示筒车的一个盛水桶．如图②，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 为圆心， 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦 长为 ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
一件轮廓为圆形的文物出土后只留下了一块残片，文物学家希望能把此文物进行复原，因此把残片抽象成了一个弓形，如图，经过测量得到弓形高 米，，请你帮助文物学家完成下面两项工作：
(1) 作出此文物轮廓圆心 的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 求出弓形所在圆的半径．
如图，小丽荡秋千，秋千链子的长 为 米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的最大水平距离 为 米．请帮小丽求出秋千摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差（即 ）．
一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为 的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为 ，求这个孔道的直径 ．
如图是一跨河桥的示意图，桥拱是圆弧形，跨度 为 米，拱高 为 米，求：
(1) 桥拱的半径；
(2) 若大雨过后，桥下河面宽度 为 米，求水面涨高了多少？
“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图， 为 的直径，弦 于点 ， 寸， 寸，求直径 的长．
如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 ，直径 是河底线，弦 是水位线，，且 于点 ．已测得 ．
(1) 求半径 ；
(2) 根据需要，水面要以每小时 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
如图， 城气象台测得台风中心在 城正西方向 的 处，以 的速度向北偏东 的 方向移动，距台风中心 的范围内将受到台风影响．
(1) 城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2) 若 城受到台风影响，那么 城遭受这次台风影响的时间有多长？
如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为 ，拱顶高出水面 ．现有一艘宽 、船舱顶部为长方形并高出水面 的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽 ，水深 ．若水面上升 ，则此时水面宽 为多少？
答案
一、解答题
1. 【答案】 ．
2. 【答案】设圆弧所在圆的圆心为 ，连接 ，．
设半径为 米，则 ，
由垂径定理可知 ，，
米，
米，且 米，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，解得 ，
（米），
在 中，
由勾股定理可得 （米），
米 米，
不需要采取紧急措施．
3. 【答案】
(1) 如图所示，点 即为所求；
(2) 如图，取 的中点 ，连接 交 于点 ，连接 ，
则 ，且 ，
由题意得，，
设圆的半径为 ，
在 中，，
即 ，
解得 ．
即拱桥 所在圆的半径为 ．
4. 【答案】如图所示，连接 ．
弦 ， 为圆 的直径，
为 的中点，
又 寸，
寸，
设 寸，则 寸， 寸，
由勾股定理得：，
即 ，解得：，
寸，即直径 的长为 寸．
5. 【答案】 弓形的跨度 ，
，
，
所在圆 的半径为 ，弓形的高 ，
，，
在 中，，
即 ，解得 ．
答： 所在圆 的半径为 ．
6. 【答案】如图，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．
由题意可知，，．
．
．
．
答：这个孔道的直径为 ．
7. 【答案】
(1) 如图 ，分别作弦 和 的垂直平分线，它们交于点 ，则交点 即为所求作的圆心．
(2) 如图 ，连接 ，， 与 交于点 ，
由题意知 ，
，则 垂直平分 ．
，
．
在 中，，
．
设该车轮的半径为 ，在 中，，
，解得 ，
该车轮的半径为 ．
8. 【答案】如答图，连接 ．
由题意得 ，，，，
．
设 ，
则 ．
在 中，，
即 ．
解得 ．
修理工应准备的管道的半径为 ．
9. 【答案】如图，延长 至点 ，使得 ，则点 即为圆心，连接 ．
由题意，得 ，
．
同理可得 ．
设圆弧形拱桥所在圆的半径为 米，
则 米．
在 中，，
即 ．
解得 ．
在 中，，
．
．
答：水面上涨了 米．
10. 【答案】过点 作 于点 ．
，
，即居民楼受影响．
以 为圆心， 为半径的 与 交于点 ，，
则线段 为居民楼受影响的路段．
在 中，
．
于点 ，
．
汽车速度为 ，即 ，
．
居民楼受噪音影响的时间约为 ．
11. 【答案】如图，作 于 ，交 于点 ，
则 ．
，
．
在 中，，
．
．
筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 ．
12. 【答案】
(1) 如图所示，点 即为所求作的点．
(2) 如图，连接 ．
在 中，，
米，，
米．
答：此弓形所在圆的半径为 米
13. 【答案】 ，
米．
由勾股定理得 米．
米．
秋千摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差为 米．
14. 【答案】连接 ，过点 作 于点 ，则 ．
因为钢珠的直径是 ，
所以钢珠的半径是 ．
因为钢珠顶端离零件表面的距离为 ，
所以 ．
在 中，
因为 ，
所以 ．
则这个孔道的直径 为 ．
15. 【答案】
(1) 已知桥拱的跨度 （米），拱高 （米），
（米）．
利用勾股定理可得 ，
解得 （米）．
故桥拱的半径为 米．
(2) 如图，当河水上涨到 位置时，
（米），，
，
（米）．
连接 ，
则 （米），
（米）．
又 （米），
（米），即水面涨高了 米．
16. 【答案】连接 ，如图所示．
设直径 的长为 ，则半径 ，
为 的直径，弦 于 ， 寸，
寸，
连接 ，则 寸，
根据勾股定理得 ，
解得 ，
直径 的长为 （寸）．
17. 【答案】
(1) 于点 ，，
．
在 中，
，
，
故半径 为 ．
(2) ，
（小时）．
故经过 小时才能将水排干．
18. 【答案】
(1) 城会受到这次台风的影响．
理由：过点 作 ，垂足为 ，
在 中，因为 ，
所以 ．
又因为台风影响范围半径为 ，
所以 市会受到这次台风的影响．
(2) ．
19. 【答案】用 表示桥拱， 所在圆的圆心为 ，半径为 ，经过圆心 作弦 的垂线 ，点 为垂足，与 相交于点 ．根据垂径定理， 是 的中点， 是 的中点， 就是拱高．
由题设得 ，，，
，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
即 ，解得 ．
在 中，由勾股定理，得 ，
，
此货船能顺利通过这座拱桥．
20. 【答案】连接 ，，
因为由题意知：，，，，
所以 ，
在 中，由勾股定理得：，
，
解得：，
则 ，
因为在 中，由勾股定理得：，
所以 ，
所以 ，
因为 ， 过圆心 ，
所以 ．