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人教版2021年秋季九年级上册24.1 圆的有关性质 同步练习卷
一、选择题
1.下列说法:①优弧比劣弧长;②三点可以确定一个圆;③长度相等的弧是等弧;④经过圆内的一个定点可以作无数条弦;其中不正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,点A、B、C是⊙O上的三个点,若∠AOB=66°,则∠C的度数为( )
A.76° B.38° C.24° D.33°
3.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=4,OB=8,则AB的长为( )
A.4 B.4 C.6 D.8
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠C=100°,则∠A的度数是( )
A.80° B.100° C.110° D.120°
5.“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”用现在的几何语言表达即:如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为点E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度是( )
A.12寸 B.24寸 C.13寸 D.26寸
6.△ABC的顶点都在⊙O上,若∠BOC=120°,则∠BAC等于( )
A.60° B.90° C.120° D.60°或120°
7.如图所示,在⊙O中,,∠A=30°,则∠B=( )
A.150° B.75° C.60° D.15°
8.如图,在⊙O中,半径r=5,弦AB=8,P是弦AB上的动点(不含端点A,B),若线段OP长为正整数,则点P的个数有( )
A.2个 B.5个 C.4个 D.3个
二、填空题
9.一条弦分圆为7:5两部分,这条弦所对的圆周角的度数_________.
10.AB为⊙O的直径,C为半圆弧AB的中点,点D在⊙O上,且∠BCD=15°,若AB=6,则CD的长为 ___.
11.如图,量角器上的C、D两点所表示的读数分别是50°、80°,则∠DBC的度数为___.
12.数学活动课上,同学们想测出一个残损轮子的半径,小聪的解决方案如下:在轮子圆弧上任取两点,,连接,再作出的垂直平分线,交于点,交于点,测出,的长度,即可计算得出轮子的半径.现测出cm,cm,则轮子的半径为__________ cm.
13.如图,点A、B、C在⊙O上,若,则的度数为________.
三、解答题
14.如图,点A、B、C为⊙O上的点,若∠A=40°,求∠OCB的度数.
15.如图,⊙O中,弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD,BC.求证:.
16.如图,CD为的直径,弦于E,如果,,求半径OC的长
17.如图,已知AB是⊙O的直径,CD是弦,若∠BCD=40°,求∠ABD的度数.
18.已知:如图,是的一条弦,是的一条直径,并且,垂足为M.
求证:.
19.如图,D是等腰三角形ABC底边的中点,过点A、B、D作.
(1)求证:AB是的直径;
(2)延长CB交于点E,连接DE,求证:DC=DE.
20.如图,四边形ABDC内接于⊙O,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接OB,OC,BD,CD.
(1)求证:四边形OBDC是菱形;
(2)若∠ABO=15°,OB=2,求弦AC长.
参考答案
1.C
【分析】
根据等弧的定义,优弧、劣弧的定义,确定圆的条件,弦的定义一一判断即可.
【详解】
解:①优弧不一定比劣弧长,在同圆或等圆中,优弧比劣弧长,故①错误,符合题意;②不在用一直线上的三点可以确定一个圆,故②错误,符合题意;③长度相等的弧不一定是等弧,故③错误,符合题意;④经过圆内的一个定点可以作无数条弦,正确,故④不符合题意,
故不正确的有①②③,
故选:C.
【点睛】
本题考查等弧的定义,优弧、劣弧的定义,确定圆的条件、弦的定义等知识,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.
2.D
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论.
【详解】
解:∵,∠AOB=66°,
∴∠C=∠AOB=33°,
故选:D.
【点睛】
本题考查的是圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.D
【分析】
先根据垂径定理得出AB=2BE,再由CE=4,OB=8得出OE的长,根据勾股定理求出BE的长即可得出结论.
【详解】
解:∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,
∴AB=2BE.
∵CE=4,OB=8,
∴OE=8-4=4,
∴BE=,
∴AB=.
故选:D.
【点睛】
本题考查了垂径定理,熟知平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
4.A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°,再代入求出答案即可.
【详解】
解:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A+∠C=180°,
∵∠C=100°,
∴∠A=80°,
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质,注意:圆内接四边形的对角互补.
5.D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解.
【详解】
解:连接OA,如图所示,
设直径CD的长为2x,则半径OC=x,
∵CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,AB=10寸,
∴AE=BE=AB=×10=5寸,
∵OA为⊙O的半径,,则OA=x寸,
根据勾股定理得x2=52+(x-1)2,
解得x=13,
CD=2x=2×13=26(寸).
故选:D.
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理.正确的作出辅助线是解题的关键.
6.D
【分析】
如图,当点A在优弧BC上时,根据圆周角定理得到∠BAC=60°,当点A1在劣弧BC上时,根据圆内接四边形的性质得到∠A1=120°,由此即可求得答案.
【详解】
解:如图,当点A在优弧BC上时,
∵∠BOC=120°,
∴∠BAC=∠BOC=60°,
当点A1在劣弧BC上时,
∵四边形A1BAC是⊙O上的内接四边形,
∴∠A+∠A1=180°,
∴∠A1=180°﹣∠A=120°,
综上所述:∠BAC=60°或120°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质,熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键.
7.B
【分析】
根据弧、弦的关系定理,等腰三角形的性质计算即可.
【详解】
∵,
∴∠B=∠C,
∵∠A=30°,
∴∠B=∠C=75°,
故选B.
【点睛】
本题考查了弧、弦的关系定理,等腰三角形的性质,熟练掌握圆的基本性质是解题的关键.
8.D
【分析】
当P为AB的中点时OP最短,利用垂径定理得到OP垂直于AB,在直角三角形AOP中,由OA与AP的长,利用勾股定理求出OP的长;当P与A或B重合时,OP最长,求出OP的范围,由OP为整数,即可得到OP所有可能的长.
【详解】
解:当P为AB的中点时,利用垂径定理得到OP⊥AB,此时OP最短,
∵AB=8,∴AP=BP=4,
在直角三角形AOP中,OA=5,AP=4,
根据勾股定理得:OP==,即OP的最小值为3;
当P与A或B重合时,OP最长,此时OP=5,
∴3≤OP<5,
则使线段OP的长度为整数,
∴OP=3,4
根据对称性可知,满足条件的点P的个数有3个
故选:D.
【点睛】
此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理,以及勾股定理是解本题的关键.
9.75°或105°
【分析】
先根据弦把圆分成的两部分求出的度数,再利用圆周角定理即可求得答案.
【详解】
解:如图所示,
弦把分成的两部分,
,
∴,
∴,
∴弦所对的圆周角为75°或105°,
故答案为:75°或105°.
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理,根据题意作出辅助线,构造出圆周角是解答此题的关键.
10.3
【分析】
连接OC、OD,利用垂径定理得到∠BOC=90°,则∠OCB=45°,当D点与C点在AB同侧,如图1,利用∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°可判断△OCD为等边三角形,所以CD=OC=3,当D点与C点在AB异侧,如图2,先计算出∠OCD=30°,再过O点作OH⊥CD,如图2,根据垂径定理得到CH=DH,利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH,从而得到CD的长.
【详解】
解:连接OC、OD,
∵C为半圆弧AB的中点,
∴OC⊥AB,
∴∠BOC=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=45°,
当D点与C点在AB同侧,如图1,
∵∠BCD=15°,
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=45°+15°=60°,
∵OC=OD,
∴△OCD为等边三角形,
∴CD=OC=AB=3,
当D点与C点在AB异侧,如图2,
∵∠BCD=15°,
∴∠OCD=∠OCB-∠BCD=45°-15°=30°,
过O点作OH⊥CD,如图2,则CH=DH,
在Rt△OCH中,OH=OC=,
∴CH=OH=,
∴CD=2CH=,
综上所述,CD的长为3或,
故答案为:3或.
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半;也考查了垂径定理.分类画出几何图形是解决问题的关键.
11.15
【分析】
由量角器的读数得到∠AOC=50°,∠AOD=80°,则∠COD=30°,然后根据圆周角定理求解.
【详解】
解:∵量角器上C、D两点所表示的读数分别是50°、80°,
∴∠AOC=50°,∠AOD=80°,
∴∠COD=80°﹣50°=30°,
∴∠DBC=∠COD=15°.
故答案为:15°.
【点睛】
本题考查了的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
12.
【分析】
连接OB,在Rt△OBC中,根据勾股定理即可求得半径.
【详解】
垂直平分,
的圆心在上,
设的圆心为,连接,设
,
在中,
解得
故答案为:.
【点睛】
本题考查了垂径定理,勾股定理,掌握垂径定理是解题的关键.
13.110°
【分析】
利用圆周角作为桥梁间接求出∠ABC的度数.
【详解】
如图,在圆上取一点D,连接AD、CD
∵∠AOC=140°
∴∠ADC=∠AOC÷2=70°
∵四边形ABCD为圆O内接四边形
∴∠ADC与∠ABC互补
∴∠ABC=180°-70°=110°
故答案为:110°
【点睛】
本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质,掌握这些是本题解题关键.
14.
【分析】
根据圆周角定理和等腰三角形的性质计算即可;
【详解】
解:∵∠A=40°,
∴,
又∵,
∴.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,准确计算是解题的关键.
15.证明见详解
【分析】
由知,得到,即可得出.
【详解】
解:,
,即,
.
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系,理解在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等是解题关键.
16.13
【分析】
连接OA,设OA=r,则OE=r-1,根据垂径定理得AE=5,在中,根据勾股定理即可得.
【详解】
解:如图所示,连接OA,设OA=r,则OE=r-1,
∵弦与E,AB=10,
∴AE=5,
在中,根据勾股定理,
,
解得,
故半径OC的长为13.
【点睛】
本题考查了垂径定理,勾股定理,解题的关键是掌握垂径定理.
17.50°
【分析】
根据圆周角定理可求∠ADB=90°,即可求∠ABD的度数.
【详解】
解:∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠BCD=40°,
∴∠BAD=∠BCD=40°,
∴∠ABD=90°-40°=50°.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,根据圆周角定理可求∠ADB=90°是本题的关键.
18.证明见解析
【分析】
连接,,则,先得到,再利用垂径定理即可求解.
【详解】
证明:连接,,则.
在和中,
∵,
∴.
∴.
∴.
∴,
,
∴
∴.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及垂径定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质及垂径定理是解题关键.
19.(1)证明过程见解析;(2)证明过程见解析
【分析】
(1)连接BD,根据圆周角定理判断即可;
(2)根据圆周角定理证明即可;
【详解】
(1)连接BD,
∵,,
∴,
∴,
∴AB是的直径;
(2)∵,
∴,
由圆周角定理可得:,
∴,
∴.
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质,准确分析证明是解题的关键.
20.(1)见解析;(2).
【分析】
(1)连接OD,证明△BOD和△COD是等边三角形,得到OB=BD=DC=OC,根据菱形的判定定理证明即可;
(2)求出∠AOC=90°,根据勾股定理计算,得到答案.
【详解】
(1)证明:连接OD,
由圆周角定理得,∠BOC=2∠BAC=120°,
∵AD平分∠BAC,
∴,
∴∠BOD=∠COD=60°,
∵OB=OD,OC=OD,
∴△BOD和△COD是等边三角形,
∴OB=BD=DC=OC,
∴四边形OBDC是菱形;
(2)解:连接OA,
∵OB=OA,∠ABO=15°,
∴∠AOB=150°,
∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°,
∴AC=.
【点睛】
本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理,掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键.
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