24.1 圆的有关性质 同步练习题（含解析）

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人教版2021年秋季九年级上册24.1 圆的有关性质 同步练习卷
一、选择题
1．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；其中不正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝66°，则∠C的度数为（　　）
A．76° B．38° C．24° D．33°
3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝4，OB＝8，则AB的长为（　　）
A．4 B．4 C．6 D．8
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝100°，则∠A的度数是（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
5．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
6．△ABC的顶点都在⊙O上，若∠BOC＝120°，则∠BAC等于（ ）
A．60° B．90° C．120° D．60°或120°
7．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（　　）
A．150° B．75° C．60° D．15°
8．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
9．一条弦分圆为7：5两部分，这条弦所对的圆周角的度数_________．
10．AB为⊙O的直径，C为半圆弧AB的中点，点D在⊙O上，且∠BCD＝15°，若AB＝6，则CD的长为 ___．
11．如图，量角器上的C、D两点所表示的读数分别是50°、80°，则∠DBC的度数为___．
12．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．
13．如图，点A、B、C在⊙O上，若，则的度数为________．
三、解答题
14．如图，点A、B、C为⊙O上的点，若∠A＝40°，求∠OCB的度数．
15．如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：．
16．如图，CD为的直径，弦于E，如果，，求半径OC的长
17．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝40°，求∠ABD的度数．
18．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M．
求证：．
19．如图，D是等腰三角形ABC底边的中点，过点A、B、D作．
（1）求证：AB是的直径；
（2）延长CB交于点E，连接DE，求证：DC=DE．
20．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．
参考答案
1．C
【分析】
根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义一一判断即可．
【详解】
解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；③长度相等的弧不一定是等弧，故③错误，符合题意；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意，
故不正确的有①②③，
故选：Ｃ．
【点睛】
本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．D
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：∵，∠AOB＝66°，
∴∠C＝∠AOB＝33°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．D
【分析】
先根据垂径定理得出AB=2BE，再由CE=4，OB=8得出OE的长，根据勾股定理求出BE的长即可得出结论．
【详解】
解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，
∴AB=2BE．
∵CE=4，OB=8，
∴OE=8-4=4，
∴BE=，
∴AB=．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
4．A
【分析】
根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠C＝180°，再代入求出答案即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＋∠C＝180°，
∵∠C＝100°，
∴∠A＝80°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．
5．D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
6．D
【分析】
如图，当点A在优弧BC上时，根据圆周角定理得到∠BAC＝60°，当点A1在劣弧BC上时，根据圆内接四边形的性质得到∠A1＝120°，由此即可求得答案．
【详解】
解：如图，当点A在优弧BC上时，
∵∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOC＝60°，
当点A1在劣弧BC上时，
∵四边形A1BAC是⊙O上的内接四边形，
∴∠A+∠A1＝180°，
∴∠A1＝180°﹣∠A＝120°，
综上所述：∠BAC＝60°或120°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
7．B
【分析】
根据弧、弦的关系定理，等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
∵，
∴∠B=∠C，
∵∠A＝30°，
∴∠B=∠C=75°，
故选B．
【点睛】
本题考查了弧、弦的关系定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
8．D
【分析】
当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【详解】
解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝＝，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个
故选：D．
【点睛】
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，以及勾股定理是解本题的关键．
9．75°或105°
【分析】
先根据弦把圆分成的两部分求出的度数，再利用圆周角定理即可求得答案．
【详解】
解：如图所示，
弦把分成的两部分，
，
∴，
∴，
∴弦所对的圆周角为75°或105°，
故答案为：75°或105°．
【点睛】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
10．3
【分析】
连接OC、OD，利用垂径定理得到∠BOC=90°，则∠OCB=45°，当D点与C点在AB同侧，如图1，利用∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°可判断△OCD为等边三角形，所以CD=OC=3，当D点与C点在AB异侧，如图2，先计算出∠OCD=30°，再过O点作OH⊥CD，如图2，根据垂径定理得到CH=DH，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CH，从而得到CD的长．
【详解】
解：连接OC、OD，
∵C为半圆弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=45°，
当D点与C点在AB同侧，如图1，
∵∠BCD=15°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=45°+15°=60°，
∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD=OC=AB=3，
当D点与C点在AB异侧，如图2，
∵∠BCD=15°，
∴∠OCD=∠OCB-∠BCD=45°-15°=30°，
过O点作OH⊥CD，如图2，则CH=DH，
在Rt△OCH中，OH=OC=，
∴CH=OH=，
∴CD=2CH=，
综上所述，CD的长为3或，
故答案为：3或．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；也考查了垂径定理．分类画出几何图形是解决问题的关键．
11．15
【分析】
由量角器的读数得到∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，则∠COD＝30°，然后根据圆周角定理求解．
【详解】
解：∵量角器上C、D两点所表示的读数分别是50°、80°，
∴∠AOC＝50°，∠AOD＝80°，
∴∠COD＝80°﹣50°＝30°，
∴∠DBC＝∠COD＝15°．
故答案为：15°．
【点睛】
本题考查了的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
12．
【分析】
连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】
垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
13．110°
【分析】
利用圆周角作为桥梁间接求出∠ABC的度数．
【详解】
如图，在圆上取一点D，连接AD、CD
∵∠AOC=140°
∴∠ADC=∠AOC÷2=70°
∵四边形ABCD为圆O内接四边形
∴∠ADC与∠ABC互补
∴∠ABC=180°-70°=110°
故答案为：110°
【点睛】
本题考查圆周角与圆心角的关系、圆内接四边形性质，掌握这些是本题解题关键．
14．
【分析】
根据圆周角定理和等腰三角形的性质计算即可；
【详解】
解：∵∠A＝40°，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
15．证明见详解
【分析】
由知，得到，即可得出．
【详解】
解：，
，即，
．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键．
16．13
【分析】
连接OA，设OA=r，则OE=r-1，根据垂径定理得AE=5，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】
解：如图所示，连接OA，设OA=r，则OE=r-1，
∵弦与E，AB=10，
∴AE=5，
在中，根据勾股定理，
，
解得，
故半径OC的长为13．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
17．50°
【分析】
根据圆周角定理可求∠ADB＝90°，即可求∠ABD的度数．
【详解】
解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BCD＝40°，
∴∠BAD＝∠BCD＝40°，
∴∠ABD＝90°-40°=50°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可求∠ADB＝90°是本题的关键．
18．证明见解析
【分析】
连接，，则，先得到，再利用垂径定理即可求解．
【详解】
证明：连接，，则．
在和中，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
，
∴
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及垂径定理是解题关键．
19．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析
【分析】
（1）连接BD，根据圆周角定理判断即可；
（2）根据圆周角定理证明即可；
【详解】
（1）连接BD，
∵，，
∴，
∴，
∴AB是的直径；
（2）∵，
∴，
由圆周角定理可得：，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，准确分析证明是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）连接OD，证明△BOD和△COD是等边三角形，得到OB=BD=DC=OC，根据菱形的判定定理证明即可；
（2）求出∠AOC=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∵OB=OD，OC=OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB=BD=DC=OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解:连接OA，
∵OB=OA，∠ABO=15°，
∴∠AOB=150°，
∴∠AOC=360°-150°-60°-60°=90°，
∴AC=．
【点睛】
本题考查的是菱形的判定、圆周角定理、勾股定理，掌握圆周角定理、菱形的判定定理是解题的关键．
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