2021-2022学年安徽省滁州市定远县朱湾中学九年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年安徽省滁州市定远县朱湾中学九年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（每题4分，共40分）
1．已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
4．如图，点B是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
5．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
6．如图所示，CD为Rt△ABC斜边上的高，AC：BC＝3：2，如果S△ADC＝9，那么S△BDC等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
8．梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC等于（　　）
A． B． C． D．
9．正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（每题5分，共20分）
11．已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是　 　．
12．设＝＝，则＝　 　，＝　 　．
13．如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则铁塔的高DE＝　 　m．
14．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似．
三．解答题（90分）
15．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
16．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB＝6，AE：EC＝2：1．求四边形AFEG的面积．
17．李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y＝ax2+bx﹣3的解析式．
19．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
20．如图，一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m）、B（4，n）两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．
参考答案
一．选择题（每题4分，共40分）
1．已知点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（　　）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
【分析】先根据关于x轴对称的点的坐标特征确定A'的坐标为（1，3），然后把A′的坐标代入y＝中即可得到k的值．
解：点A（1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），
把A′（1，3）代入y＝得k＝1×3＝3．
故选：A．
2．抛物线y＝3（x﹣2）2+1的对称轴是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
解：∵y＝3（x﹣2）2+5，
∴此函数的对称轴就是x＝2．
故选：A．
3．把抛物线y＝x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y＝（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
4．如图，点B是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内图象上的一点，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，矩形AOCB的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【分析】可根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到k的值．
解：因为矩形AOCB的面积为6，
所以k的值为6，
故选：B．
5．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
【分析】由k＝2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．
解：∵k＝2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
故选：C．
6．如图所示，CD为Rt△ABC斜边上的高，AC：BC＝3：2，如果S△ADC＝9，那么S△BDC等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由题可知：△ACD∽△CBD，则可知相似比，然后根据相似比求解．
解：∵CD为Rt△ABC斜边上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∵AC：BC＝3：2，
∴面积的比是9：4，
即S△ADC：S△CBD＝9：4，
∴S△BDC＝4．
故选：C．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（　　）
A．a＜0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0
【分析】由于开口向下可以判断a＜0，由与y轴交于正半轴得到c＞0，又由于对称轴x＝﹣＜0，可以得到b＜0，所以可以找到结果．
解：根据二次函数图象的性质，
∵开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
又∵对称轴x＝﹣＜0，
∴b＜0，
所以A正确．
故选：A．
8．梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD：S△ACD＝1：3，则S△AOD：S△BOC等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】由S△AOD：S△ACD＝1：3，得，进而得，再由AD∥BC，可知△AOD∽△BOC，即可得出结果．
解：如图，
∵S△AOD：S△ACD＝1：3，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴＝，
故选：C．
9．正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D（如图），则四边形ABCD的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|，得出S△AOB＝S△ODC＝，再根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，得出S△AOB＝S△ODA，S△ODC＝S△OBC，最后根据四边形ABCD的面积＝S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC，得出结果．
解：根据反比例函数的对称性可知：OB＝OD，AB＝CD，
∴四边形ABCD的面积＝S△AOB+S△ODA+S△ODC+S△OBC＝1×2＝2．
故选：C．
10．在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y＝和y＝kx+3的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
解：A、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＞0一致，故A选项正确；
B、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故B选项错误；
C、因为y＝kx+3的图象交y轴于正半轴，故C选项错误；
D、由函数y＝的图象可知k＞0与y＝kx+3的图象k＜0矛盾，故D选项错误．
故选：A．
二．填空题（每题5分，共20分）
11．已知抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围是　m＜1　．
【分析】抛物线与x轴有两个交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0，从而求出m的取值范围．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+m与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即4﹣4m＞0，
解得m＜1，
故答案为m＜1．
12．设＝＝，则＝　　，＝　26　．
【分析】根据比例的基本性质，用一个未知量k分别表示出x、y和z，代入原式中即可得出结果．
解：根据题意，设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝5k，z＝7k，
则＝＝.＝＝26，
故填；26．
13．如图，某测量工作人员的眼睛A与标杆顶端F，铁塔顶端E在一条直线上，已知此人眼睛距离地面的高为1.6m，标杆高为3.2m，且BC＝1m，CD＝5m，则铁塔的高DE＝　11.2　m．
【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH＝BD，AG＝BC，
∵AB＝1.6m，FC＝3.2m，BC＝1m，CD＝5m，
∴FG＝3.2﹣1.6＝1.6（m），BD＝6m，
∵FG∥EH，
∴，
∴
解得：EH＝9.6，
∴ED＝EH+DH＝9.6+1.6＝11.2（m），
∴铁塔的高ED是11.2m．
故答案为11.2．
14．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝，当AB的长为　3或3　时，△ACB与△ADC相似．
【分析】首先利用勾股定理求出AC的长，再根据如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论即可．
解：∵AD＝2，CD＝，
∴AC＝＝．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．
即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
故答案为：3或3．
三．解答题（90分）
15．已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．
【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即Δ＞0即可；
（2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值．
【解答】（1）证明：令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0，
∵△＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1
＝（4m2﹣4 m+1）﹣（4m2﹣4m）
＝1＞0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：令x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+3，
解得m＝﹣3或1．
16．正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB，EG⊥AD，AB＝6，AE：EC＝2：1．求四边形AFEG的面积．
【分析】先证明四边形AFEG是正方形，再由相似的定义得出正方形AFEG∽正方形ABCD，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解．
解：正方形ABCD中，∠DAB＝90°，∠DAC＝45°，
又∵∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG是矩形，∠AEG＝90°﹣∠DAC＝45°，
∴∠GAE＝∠AEG＝45°，
∴GE＝AG，
∴矩形AFEG是正方形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形AFEG∽正方形ABCD，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S正方形AFEG＝S正方形ABCD＝×62＝16．
17．李大叔想用篱笆围成一个周长为80米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．
（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
【分析】（1）有题目分析可知，矩形的另一边长应为＝40﹣x，由矩形的面积公式可以得出S与x之间的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质，以及x的取值范围，求出二次函数的最大值．
解：（1）有分析可得：
S＝x×（40﹣x）＝﹣x2+40x，且有0＜x＜40，
所以S与x之间的函数关系式为：S＝x×（40﹣x）＝﹣x2+40x，并写出自变量x的取值范围为：0＜x＜40；
（2）求S＝﹣x2+40x的最大值，
S＝﹣x2+40x＝﹣（x﹣20）2+400，
所以当x＝20时，有S的最大值S＝400，
答：当x是20时，矩形场地面积S最大，最大面积是400．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为（3，0）．
（1）直接写出A点的坐标；
（2）求二次函数y＝ax2+bx﹣3的解析式．
【分析】（1）根据抛物线的对称性直接写出点A的坐标；
（2）把点A、B的坐标分别代入函数解析式列出关于a、b的方程组，通过解方程组来求它们的值．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），
∴A点横坐标为：＝﹣1，
∴A点的坐标为：（﹣1，0）；
（2）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得：．
故抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．
19．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
【分析】根据题意可得到函数关系式，并得到x的取值范围．再得到总利润的函数式，两个式子结合起来，可得到定价．
解：（1）由题意，y＝150﹣10x，0≤x≤5且x为非负整数；
（2）设每星期的利润为w元，
则w＝（40+x﹣30）y
＝（x+10）（150﹣10x）
＝﹣10（x﹣2.5）2+1562.5
∵x为非负整数，
∴当x＝2或3时，利润最大为1560元，
又∵销量较大，
∴x＝2，即当售价为42元时，每周的利润最大且销量较大，最大利润为1560元．
答：当售价为42元时，每星期的利润最大且每星期销量较大，每星期的最大利润为1560元．
20．如图，一次函数y1＝﹣x+5与反比例函数y2＝的图象交于A（1，m）、B（4，n）两点．
（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征得到m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，这样得到A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），然后利用待定系数求反比例函数的解析式；
（2）观察函数图象找出一次函数图象都在反比例函数图象上方时x的取值范围；
（3）先确定一次函数图象与x轴交点D，与y轴交点C的坐标，然后利用S△AOB＝S△COD﹣S△COA﹣S△BOD进行计算．
解：（1）分别把A（1，m）、B（4，n）代入y1＝﹣x+5，
得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，
所以A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），
把A（1，4）代入y2＝，得k＝1×4＝4，
所以反比例函数解析式为y2＝；
（2）根据图象可知，当y1＞y2时x的取值范围是x＜0或1＜x＜4时；
（3）如图，设一次函数图象与x轴交于点D，与y轴交于点C．
当x＝0时，y＝﹣x+5＝5，则C点坐标为（0，5），
当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则D点坐标为（5，0），
所以S△AOB＝S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
＝×5×5﹣×5×1﹣×5×1
＝7.5．
21．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？
【分析】分别利用当△ABC∽△PBQ时以及当△ABC∽△QBP时，分别得出符合题意的答案．
解：设t秒时，则BP＝8﹣2t，BQ＝4t，
当△ABC∽△PBQ时，
则＝，
即＝，
解得：t＝2，
当△ABC∽△QBP时，
则＝，
即＝，
解得：t＝0.8，
综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似．
22．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠B＝∠C，再由外角关系得出∠ADB＝∠DEC，即可得出结论；
（2）先由勾股定理得出BC的长，再根据△ABD∽△DCE，得出CE的长，即可推出函数关系式．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝∠DAC+45°，
∠DEC＝∠DAC+∠ADE＝∠DAC+45°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，
∴DC＝BC﹣BD＝﹣x，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴CE＝x﹣x2，
∴AE＝AC﹣CE＝1﹣（）＝x2﹣x+1，
即y＝x2﹣x+1（0＜x）．