2 2
高二数学参考答案（期中） 19、解：（1）因为所求双曲线与 C：x - y = 1 共渐近线，
16 4
x2 2所以设该双曲线方程为 - y = k（k ≠ 0）， ……2分
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分） 16 4
1 — 8 B A C D B D A C 又该双曲线过点（2，3），
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
所以 4 - 9 = k，解得 k = - 2， ……4分
9 — 12 BCD BC ACD CD 16 4
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） y2 2所以所求双曲线方程为： - x = 1. ……6分
8 32
13、12 14、（1，- 3）
（2）不妨设 P在 C的右支上，则
15、y = x + 2 16、3
四、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） PF1 - PF2 = 2a = 8， F1F2 = 2c = 2姨16 + 4 = 4姨 5 ， ……8分
17、解：（1）由 F（1 - 2姨2 ，0），F（2 2姨2 ，0），长轴长为 6， ……1 分
2 2 2
在△F PF PF1 + PF2 - F1F21 2 中，cos150毅 =
2 PF1 PF2
得：c = 2姨 2 ，a = 3，所以 b = 姨a2 - c2 = 1， ……3 分
（ PF1 - PF2 ）
2 + 2 PF1 PF2 - 80
x2 =∴椭圆 C的标准方程为 + y2 = 1； ……5 分 2 PF1 PF2
9
3
（2）由题意得，双曲线的 a = 2姨 2 ，c = 3， ……7 分 = -
姨 ， ……9分
2
所以 b = 姨c2 - a2 = 1， ……9 分
解得 PF1 PF2 = 32 - 16姨 3 ， ……10 分
∴双曲线方程为x
2
- y2 = 1. ……10 分
8
所以△F1PF2 的面积 S =
1 PF1 PF2 sin∠F1PF2
2
18、解：（1）设圆心坐标为 C（a，b），半径为 r.
1 1
由圆 C的圆心在直线 x - 2y = 0 上，知：a = 2b. ……1 分 = ×（32 - 16姨 3 ）×
2 2
又∵圆 C与 y轴相切于点（0，1），
= 8 - 4姨 3 . ……12 分
∴b = 1，a = 2，则 r = a - 0 = 2. ……4 分
∴圆 C的圆心坐标为（2，1），则圆 C的方程为（x - 2）2 +（y - 1）2 = 4；……6 分 20、解：（1）以M为原点，分别以MB，MC为 x，y 轴，如图建立坐标系M-xyz，
（2）如果选择条件①：∠ACB = 120毅，而 CA = CB = 2， ……8 分 则M（0，0，0），C（0，姨 2 ，0），B（姨 2 ，0，0），D（姨 2 ，0，2），E（- 姨 2 ，0，1），
D
∴圆心 C到直线 l的距离 d = 1，则 d = 2 - 1 + m = 1， ……10 分 zME =（- 姨 2 ，0，1），MC =（0，姨 2 ，0），
姨1 + 1
解得 m = 姨 2 - 1 或 - 姨 2 - 1. ……12 分 BD =（0，0，2），BC =（- 姨 2 ，姨 2 ，0），
E ……2分
如果选择条件②：AB = 2姨 3 ，而 CA = CB = 2， ……8 分 设平面 EMC 的一个法向量 m =（x1，y1，z1），
A y
扇
易知圆心 C到直线 l的距离 d = 1，则 d = 2 - 1 + m = 1， ……10 分 设 C设
设- 姨 2 x1 + z1 = 0
姨1 + 1 设则 设缮 ， M设
设
设
设 B
解得 m = 姨 2 - 1 或 - 姨 2 - 1. ……12 分 墒
设姨 2 y1 = 0 x
高二数学（二）参考答案 — 1— 高二数学（二）参考答案 — 2—
取 x1 = 1，则 y1 = 0，z1 = 姨 2 ，所以 m =（1，0，姨 2 ）， ……3 分 （2）由题意知A（- 2姨 3 ，0），B（0，姨 3 ）， AB = 姨15 . ……6分
1 1
设平面 BCD 的一个法向量 n =（x2，y2，z2）， lAB：y = x + 姨 3 ，设与 AB平行的直线 l：y = x + p（p < 0），2 2
扇设
设
设- 姨 2 x2 + 姨 2 y2 = 0 x
2 y2与 + = 1 联立，消 y得 x2 + 2px + 2p2设 - 6 = 0， ……8分
则 设缮设 ， 12 3
设
设
设
墒设2z2 = 0
△ = 4p2 - 4（2p2 - 6）= 0，解得 p = - 姨 6 ，p = 姨 6（舍去）， ……9分
取 x2 = 1，则 y2 = 1，z2 = 0，所以 n =（1，1，0）， ……4分
两平行线 l ，l间的距离 d = 姨 6 + 姨 3AB =
2（姨30 + 姨15）， ……10 分
5
1 + 1
cos< m，n > = m·n = 1 = 姨 6 ， ……5 分 姨 4
m n 姨 3 ×姨 2 6
（S 1△ABM）max = AB ·d = 3（姨 2 + 1）. ……12 分
2
所以平面 EMC与平面 BCD所成的锐二面角的余弦值为 姨 6 . ……6 分
6 22、（1）解：由题意可知，动点M到 l的距离比到点 F的距离大 2， ……1分
（2）在棱 DC上存在一点 N， 则动点M到直线 y = - 1 的距离与到点 F的距离相等， ……2分
所以动点M的轨迹是以 F为焦点，直线 y = - 1 为准线的抛物线， ……3分
设 N（x，y，z）且DN = 姿DC ，0≤姿≤1，
且曲线 C的方程为 x2 = 4y. ……4分
∴（x - 姨 2 ，y，z - 2）= 姿（- 姨 2 ，姨 2 ，- 2），
（2）证明：由题意可知，P（2，1），且 l1 的斜率存在，
x = 姨 2 - 姨 2 姿，y = 姨 2 姿，z = 2 - 2姿， 设 l1 的方程为 y = kx + b，A（x1，y1），B（x2，y2），
2
MN =（姨 2 - 姨 2 姿，姨 2 姿，2 - 2姿）， ……8分 x = 4y
由 嗓 得 x2 - 4kx - 4b = 0， ……5分
y = kx + b
若直线MN与平面 EMC 所成的角为 60毅，
则△ = 16k2 + 16b = 16（k2 + b）> 0，
则 cos< MN ，m > = 姨 2 - 姨 2 姿 + 姨 2（2 - 2姿） = sin 60毅 = 姨 3 .
姨 3 姨2（1 - 姿）2 + 2姿2 + 4（1 - 姿）2 2 且 x1 + x2 = 4k，x1x2 = - 4b， ……6分
显然直线AP，BP的斜率均存在，由∠APB = 90毅，得 k ·k = - 1， ……7分
……10 分 AP BP
x 2 21
1 - 1
x2 - 1
解得：姿 = ，所以符合条件的点N存在，为棱DC 的中点. ……12 分
2 因为 k
y1 - 1 4 x1 + 2 y2 - 1 4 x2 + 2
AP = = = ，kBP = = = ，
x1 - 2 x1 - 2 4 x2 - 2 x2 - 2 4
2 ……8分
21、解：（1）由题意知 PF1 =
b ， PF1 + PF2 = 2a， PF2 = 7 PF1 ， ……1 分
a
所以 x1 + 2 ·x2 + 2 = - 1，整理得 x1x2 + 2（x1 + x2）+ 4 = - 16， ……9分
4 4
则 8 PF1 = 2a， ……2分
所以 - 4b + 8k + 4 = - 16，即 b = 2k + 5，且满足△ > 0， ……10 分
得 a = 2b，又 c = 3，a2 = b2 + c2，解得 a = 2b = 2姨 3 ， ……4 分
所以 l1 的方程为 y - 5 = k（x + 2）， ……11 分
x2 y2所以 E的标准方程是 + = 1. ……5 分
12 3 故直线 l1 恒过定点（- 2，5）. ……12 分
高二数学（二）参考答案 — 3— 高二数学（二）参考答案 — 4—第一学期高中新课程模块期中考试试题(卷)
高二数学
(本试卷满分150分,考试时间120分钟。答案一律写在答题卡上)
、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的,请将正确选项的字母标号在答
题卡相应位置涂黑
1.椭圆2+12=1的焦距等于
长母
A.10
C.6
D.4
2.经过点(1,2)且斜率为3的直线在x轴上的截距为
A
C.-2
D.3
3.已知空间向量d=(1,2,3),b=(3,2,1),则-
A.3√2
B.2
C.2V2
D.8
4.圆x2+y2=3被直线3x+4y+5=0截得的弦长为
都
A
B.2
C V3
D.2V2
5.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则
m
A.2
B.3
C.4
D.5
6.设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k
x
C
3
A
B.1
D.2
2
高二数学(二)
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7.已知点M(ab)在圆O:x2+y2=1内,则直线mx+by=1与圆O的位置关系是
A.相离
,C.相切
B.相交
D.不确定
8.已知双曲线g-b=1(a>0,b>0)的左焦点为F离心率为2.若经过F和PO,4)两点
的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
次,
A
B
4
D
84
答
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
由是8,A
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选
对的得3分
(0共,膜小共族共本),四
9.对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是
A.|d·b≥db
C.(d+b)2=|a+b12
D.(a+b)·(a-b)=a2-b
10.圆x2+y2+2ax+4y=0的半径为√5,则下列选项可以作为此圆的圆心坐标的是
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(-1,-2)
D.(2,1)
11.设F1,F2分别是椭圆x+=1的左右焦点,O点为椭圆的中心,P是椭圆上的一点,且
PF1|:|PF2|=2:1,则下列说法正确的是
则
A.△FPF2的面积是4
B.△FPF2是钝角三角形
C.P点的横坐标为35
5
D 2I POI= FF2
12.已知过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,
N两点,其中P,M位于第一象眼,则PM+10N的值可能为
A.2
B.3
C.4
D.5
高二数学(二)
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