高2011级数学初高中衔接
专题四 一元二次方程
形如的议程称为关于x的一元二次方程，由知，即，
当时，方程有两个不等实根x1、2。
当时，方程有两个相等实根
当时，方程无实根。
若，则，。称之为韦达定理。
若，则。
4.1 求一元二次方程的根
1．解关于x的一元二次方程
(1) (2)
2．解关于x的方程
3．解关于x的方程
(1) (2)
4．设是方程的两根，求下列各式的值：
(1) (2) (3)
4.2 根与系数关系的应用
5．设关于x的方程有两个不等实根为且。求a。
6．设，求
7．设两根之比为2:3。方程两根相等。。求a、b。
4.3※ 一元二次方程应用(提高)
8．设三个实数a、b、c满足，求b的范围。
9．设，若关于x的方程。
练习
1．解下列方程
(1) (2)
2．解下列关于x的方程
(1) (2)
(3)
3．设，求
4．设关于x的方程两根之比为1:2，求a。
※5．设△ABC三边分别是a、b、c，且，求△ABC的面积。高2011级数学初高中衔接
专题三 整式·分式
3.1 整式
称为x的3次单项式，2xy称为x、y的二次单项式，一般地，将(a为常数，a≠0)称为x、y的n+m次单项式。
称为x的二次多项式（或关于x的二次三项式），一般地，称为x的n次多项式。
称为x，y的二元二次多项式，一般地，
称为x、y的二元二次多项式，特别地，
称为x、y的二元二次齐次式。
对多项式变形，一般常用乘法公式（或因式分解公式）以及配方。
1．高，求的值。
2．设，且，求
3．证明：无论x为何值，的值总是正数。
※4．设，求a、b的值。
3.2 分式
①
②
我们称①②的左边是部分分式，一般地，若
其中为常数或多项式，且的次数小于的次数，称的右边是部分分式。
5．把化成部分分式。
6．把化成部分分式。
7．化简下列各式：
(1) (2)
8．设，求
3.3 分式应用(提高)
※9．若，判定的符号。
※10．设，求证：
练习
1．化简下列各式：
(1) (2)
2．将下列分式化成部分分式：
(1) (2) (3)
3．已知
4．化简下列各式：
(1) (2)
※5．已知，求
※6．设，求高2011级数学初高中衔接
专题六 不等式基础
主要内容——两个实数的大小比较，不等式的基本性质，一元一次不等式求解。初高中衔接——不等式相关知识与方法是整个高中数学的重要基础。
两个实数a、b的大小比较，有如下法则：
若则a、b大小比较，还可用如下法则
不等式有如下性质：
①
②
③
④
证：∵
∴
⑤
证：∵ ∴
6.1 解一元一次不等式(组)
1．解不等式
2．解不等式组
3．解不等式组
4．解关于x的不等式
5．解不等式：
6.2 解含参一元一次不等式（组）
6．解关于x的不等式组
※7．设a为常数，且满足不等式组的整数x的值恰有3个，求a的范围。
6.3 两个数的大小比较
8．设比较A、B的大小。
9．设，证：。
10．设，比较M、N的大小。
练习
1．解下列不等式组
(1) (2)
2．解不等式
(1) (2)
3．解关于x的不等式组
※4．若对满足的一切实数x，恒有成立，求k的范围。
5．设，比较A、B大小。
6．设，求证。高2011级数学初高中衔接
专题十 一元二次方程的区间根
主要内容——用二次函数的图像和性质研究二次方程根的范围。初高中衔接——高中数学中函数（包括导数）必然要涉及方程根的范围，二次方程区间根及其研究方法（函数化）有重要的奠基功能。
10.1 二次方程两根在同一区间
设二次函数在区间上递增（或递减），且与异号，则在内有唯一实根（如图）。
1．用二次函数说明方程两个根均在内。
2．设在区间有两个不等实数根，求m的范围。
3．若关于x的方程两个不等根均在区间内，求a的范围。
4．若关于x的方程两个不等实根均大于1，求a的范围。
10.2 二次方程两根在不同区间
如图，设二次函数
与异号。
则在区间有唯一实根。
5．说明方程在区间内各有一个实根。
6．若关于x的方程两个实根分别在内，求a的范围。
7．若关于x的方程两实根满足，求a的范围。
10.3※ 二次方程区间根
8．设关于x的方程的两个不等实数根均在区间，求a的范围。
9．若关于x的方程在区间有唯一实数根，求a的范围。
练习
1．关于x的方程
(1)在有两个不等实根，求m范围。
(2)在内有两个不等实根，求m范围。
2．关于x的方程，两个实根
(1)满足，求a的范围。
(2) 满足，求a的范围。
3．设与交于且，求a范围。
※4．关于x的方程，在有两个不等实根，求a的范围。
※5．关于x的方程在内至少有一个实根，求a的范围。高2011级数学初高中衔接
1.1 余数
如7=2×3+1，称7除以2的余数为1，（也可称7除以3的余数为1），又如10=2×5，称10被2整除（也可称10被5整除），一般地：
设a、b均为自然数，且a=kb+r，
其中k、r为整数，；则称a除以b的余数为r，
特别地：当r=时，a=kb，称a被b整除。
任何一个自然数除以2，其余数为0或1，这样就把自然数分成了奇数和偶数两类。
1．求100除以32的余数。
2．若三位数被3整除，求a。
1.2 绝对值
设a为实数，则a的绝对值
在数轴上如图，表示a对应的点A到原点O的距离。
绝对值具有以下性质：
(1) (2)
(3) (4)
3．求证：。
4．化简下列各式
(1) (2)
※5．设，求x的取值范围。
1.3 二次根式
若则称x为a的平方根，记为，由此看到：二次根式要有意义，必须。特别地：当，将称为a的算术根。
关于二次根式，有以下性质：
(1) (2)
(3)
这里，将与称之为互为有理化因式。
6．设a、b均为有理数，，求。
7．化简。
8．设，比较A、B大小。
※9．设，求。
10．化简
练习
1．设被3整除，求a。
2．化简。
3．设a、b、c为实数，且
化简
4．设，求的值。
※5．设，且，判断x与y的符号关系。
6．设n为正实数，比较与的大小。
·
·
A
O
a
0高2011级数学初高中衔接
专题二 因式分解
2.1 多项式公式
对二次多项式，有以下简单公式：
(1)
(2)
(3)
对三次多项式，由多项式乘法法则，易证下列公式：
(4)
(5)
1．证明下列恒等式。
(1) (2)
2.2 公式法
将多项式进行因式分解，首先应考虑变形为基本公式。
2．将因式分解。
3．将下列多项式因式分解。
(1) (2)
2.3 分组分解法
先将一个多项式适当分组，再借助于提公因式或公式完成因式分解，称为分组分解。
4．将下列多项式因式分解。
(1) (2)
5．将因式分解。
2.4 十字相乘法
关于x的二次三项式因式分解为。其分解过程可由下图表示，这种方法被形象地称为“十字相乘法”，且该法可推广到的系数不为1的情形。
6．将下列多项式因式分解。
(1) (2)
7．将下列各式因式分解。
(1) (2)
2.5 添项与拆项
对于多项式，将其中某一项拆成两项之和，或将多项式加上并减去同一个项，往往能顺利地因式分解；前者称为拆项法，后者称为添项法。
8．将下列多项式因式分解。
2.6 因式分解应用
9．△ABC三边满足，判定△ABC的形状。
10．已知a、b、c满足
求的值。
11．若多项式含有因式和，求m，n的值。
练习
1．将下列各式因式分解。
(1) (2)
(3) (4)
2．将下列各式因式分解。
(1) (2)
(3) (4)
※3．设n为正整数，求证：是8的倍数。
※4．设△ABC三边满足，判定△ABC形状。
1
1
a
b高2011级数学初高中衔接
专题八 一元二次不等式求解
主要知识——用二次函数和二次方程求二次不等式的解。初高中衔接——二次不等式是高中有理不等式的基础，二次不等式求解所涉及的观点和方法（数形结合法，函数、方程、不等式联系与转化）是高中的基本研究方式。
对于一个二次函数。总可以作出其图像，根据图像找出为正数（或负数）的x的范围。
如，图像如右图。
显然，当且仅当时，，
当且仅当或时，
一般地，一元二次不等式与二次方程、二次函数联系如下表
8.1 求二次不等式的解
1．解下列不等式
(1) (2)
(3)
2．解关于x的不等式：。
3．解关于x的不等式，。
8.2 二次不等式的逆向探索
4．设关于x的不等式的解为。求b、c的值。
5．设对一切实数x，不等式恒成立，求b的范围。
6．设的解为求的解。
8.3 简单有理不等式
借助二次不等式，可以求解一些简单有理数不等式，依据是：，
7．解不等式
(1) (2)
8．解不等式
(1) (2)
9．解不等式组：
练习
1．解不等式
(1) (2)
2．解关于x的不等式
(1) (2)
※3．解关于x的不等式
(1) (2)
4．设的解为一切实数，求a的范围。
5．的解为，求的解。高2011级数学初高中衔接
专题九 二次函数的区间最值
主要内容——研究二次函数在指定区间上的最大值（或最小值）。初高中衔接——高中数学中研究函数最值是重点也是难点，其中将一个复杂函数最值转化为二次函数的区间最值是一种基本技能。
我们知道：二次函数，若，则当时，有最小值；若，则当时，有最大值，如果x的取值是一个区间，则根据二次函数图像及性质仍可以研究其最值。
9.1 数字系数的二次函数区间最值
1．求的最大值和最小值。
2．求的最大值和最小值。
3．求下列函数的最小值：
(1)
(2)
(3)
4．关于x的方程有两个不等实根，求的最大值。
9.2 字母系数的二次函数区间最值
5．设，，求的最大值。
6．设，求的最小、最大值。
7．设，求的最小值。
9.3※ 二次函数区间最值(提高)
※8．设，求的最小值。
※9．设，求的最大值。
练习
1．求下列函数的最小值和最大值。
(1)
(2)
2．求下列函数的最大值和最小值
(1)
(2)
3．设，求最小值。
4．设，求最大值。
5．如右图所示，设ABCD是边长为2的正方形，E、F分别是AB、AD中点，P、M、N分别是线段EF、BC、CD上的点，且PMCN为矩形，求矩形PMCN面积的最大、最小值。
N
A高2011级数学初高中衔接
专题五 方程组
含有未知数的等式称为方程，含未知数的多个等式叫方程组。解方程组即是寻找适合方程组的未知数的值。
5.1 求解二元一次方程组
1．解方程组
2．解关于x、y的方程组
5.2 解二元二次方程组
3．解方程组
4．解方程组
5．解方程组
5.3 解方程组应用
6．设，解方程组
7．解方程组
8．若关于x、y的方程组有两组不同的解，求k的范围。
9．设。
练习
1．解下列方程组
(1) (2)
(3)
2．解下列方程组
(1) (2)
(3)
3．关于x、y的方程组
有两组不同的解，求k的范围。
①
②
①
②
①
②
①
②
①
②
①
②
①
②高2011级数学初高中衔接
专题七 二次函数基础
主要内容——二次函数概念，图像及性质（单调性、最值等）初高中衔接——二次函数相关知识及研究方法是高中函数的主要内容之一，既是高中数学的基础知识，又是高中数学的基本工具。
形如的函数叫二次函数。也称为二次函数的一般式，通过配方可化成，即，称为二次函数的顶点式。当时,与x轴有两个交点，这时，二次函数可表为，称为交点式。
对于二次函数。有如下性质：
(1)当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
(2)二次函数的图像关于直线对称。
(3)二次函数图像的顶点是。
(4)当a>0时，二次函数在左侧单调递减；在右侧单调递增。
当a<0时，二次函数在左侧单调递增；在右侧单调递减。
(5)若a>0时，则时，；若a<0，则时，。
(6)如图所示，当时，二次函数图像与x轴无交点。
如图所示，当时，二次函数图像与x轴有唯一交点。
如图所示，当时，二次函数图像与x轴有两个不同交点。且。
7.1 二次函数图像
1．作下列二次函数简图。
(1) (2) (3)
2．作下列函数图像
(1) (2)
3．如图是二次函数图像，判断下列各式的符号。
(1)b (2) (3) (4)
7.2 二次函数解析式
4．如图，设抛物线与x轴交于A、B与y轴负半轴交于C点。且∠ACB=900，,求p、q的值。
5．设二次函数图像经过三点，求二次函数解析式。
7.3 二次函数性质的代数推断
6．求证：抛物线与x轴必有两个不同的交点。
7．设，求证：在区间单调递增。
练习
1．作下列函数的图像：
(1) (2)
2．抛物线经过点，且最高点的纵坐标为6，求抛物线解析式。
3．如图，二次函数图像与x轴的负半轴交于A点，与x正半轴交于B点，与y轴负半轴交于C点，且。
(1)求b、c的值。
(2)设二次函数顶点为M，求S△MAB。
4．设抛物线
(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点。
(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值。
※5．设，求证：在区间单调递减。
