2021-2022学年湘教版九年级数学上册4.4解直角三角形的应用 解答专题训练（word版含答案）

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《4.4解直角三角形的应用》解答专题训练（附答案）
1．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼AB的高度，如图，小明同学站在点D处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的倾斜边刚好落在视线CA上，沿教学楼向前走8米到达点F处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线EA上，已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼AB的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果保留根号）
2．如图，小明在笔直的河岸MN上的点A处，以正对岸明显的标志点O为参照点，设计出测量河宽OA的方案，绘制了相应的示意图，并用测角仪、卷尺及标杆测得一些数据如下：
（1）请你结合示意图，简述选择标志点O为参照点之后的测量过程；
（2）按照方案，求河宽OA．（参考数据：tan75°≈，tan56°≈）
3．水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（≈1.732）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
4．如图，平地上两栋建筑物AB和CD相距30m，在建筑物AB的顶部测得建筑物CD底部的俯角为26.6°，测得建筑物CD顶部的仰角为45°．求建筑物CD的高度．（参考数据：sin16.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
5．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为 　 　．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
6．小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号）
7．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
8．北京时间2020年11月24日04时30分，在海南文昌发射中心，嫦娥五号搭载长征五号遥五运载火箭发射升空，为我国探月工程中“绕、落、回”三步战略画上完美句号．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°（所有结果取小数点后两位）．
（1）求地面雷达站R到发射处L的水平距离；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，sin45.54°≈0.71，cos45.54°≈0.70，tan45.54°≈1.02）
9．如图，甲乙两名同学在万达广场上观测商场墙上的大屏幕CD，点A是甲同学的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，继续向前行走到墙壁的下端，乙同学负责测量，测得BE＝21米，请你计算出该屏幕的高度CD．（结果保留根号）
10．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路．现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD＝31°，∠ABD＝45°，BC＝60m．请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度？（精确到0.1m；参考数据tan31°≈0.60，sin31°≈0.51，cos31°≈0.86）．
11．钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
12．如图所示是自动卸货汽车卸货的状态图和其示意图，汽车的车厢采用液压机构，车厢的支撑顶杆AB的底部支撑点B在水平线OP的下方，OB与水平线OP夹角是15°，卸货时车厢与水平线OP成40°，此时OB与支持顶杆AB的夹角为45°，若OA＝3米，求AB的长度．（精确到十分位，sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6712）
13．“新冠疫情”期间学校在校门口搭建如图1所示的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m，AB＝2.4m．
（1）若移动滑块使∠AFE＝90°，求棚宽BC的长（精确到0.01）．
（2）在遮阳棚内安装如图4所示的红外线测温门（门高1.8m），门的顶端应与E点持平或低于E点，试问此时∠AFE最大为多少度？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，sin17.5°≈0.30，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32）
14．2020年11月24日4时30分，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，火箭飞行约2200秒后，顺利将探测器送入预定轨道，开启我国首次地外天体采样返回之旅．如图，火箭从地面O处发射，当火箭达到A点时，从位于地面C处雷达站测得AC的距离是6km，仰角为42.4°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为45.5°．求这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果精确到0.01）（参考数据：sin42.4°≈0.67，cos42.4°≈0.74，tan42.4°≈0905，sin45.5°≈0.71，cos45.5°0.70，tan45.5°≈1.02）
15．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
16．2020年6月23日，北斗卫星最后一颗全球组网卫星发射成功．运载火箭从地面A处（忽略发射塔高度）竖直向上发射，当运载火箭到达点B处时，地面D处的雷达站测得B处仰角为37°，BD＝50km．10秒后，运载火箭直线上升到达点C处，此时地面E处一观测点测得C处的仰角为56°，已知点A，D，E在同一条直线上，并且D，E两处相距15km，求运载火箭从B处到C处时的平均速度（单位：km/s）．
（参考数值：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin56°≈，cos56°≈，tan56°≈）
17．2021年3月1日，我国第一部流域保护法﹣﹣《中华人民共和国长江保护法》正式实施．作为我国经济发展的重要引擎，长期以来，生态保护为发展让路一直是长江流域生态环境保护工作的痛点，长江保护法最大的特点就是“生态优先、绿色发展”的国家战略被写入法律．已知渔政执法船某一时刻在长江流域巡航时，从A出发以30千米/时的速度向正南方向行驶，在A处观测到码头C位于船的南偏东37°，2小时候到达B处，这时观察到码头C位于船的北偏东45°方向，若此时渔政执法船返回码头C，需要多少时间？（结果精确到0.1，≈1.41，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A、B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在东北方向上，则船C到海岸线L的距离是多少km？
19．随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志者我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）
（1）若设AC＝xm，用含x的代数式表示BC与CD的长度．
（2）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．
20．某校数学兴趣小组实地测量两岸互相平行的一段河道的宽度．在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向东走150米到达C点，测得点B在点C的北偏西60°方向，如图．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求这段河道的宽度．
参考答案
1．解：如图，延长CE交AB于点M，
由题意得，∠ACM＝45°，∠AEM＝60°，DF＝CE＝8米，CD＝EF＝BM＝1.6米，
设AM＝x米．
在Rt△ACM中，∠ACM＝45°，
∴AM＝CM＝x，
在Rt△AEM中，∠AEM＝60°，
∵tan∠AEM＝，即tan60°＝，
∴EM＝，
又∵CM﹣EM＝CE，
∴x﹣＝8，
解得x＝（4+4）米，
即AM＝（4+4）米，
∴AB＝AM+BM＝（4+5.6）米，
答：教学楼AB的高度为（4+5.6）米．
2．解：（1）方案1：在河岸MN上的取点B，C，测量得到∠OBM＝75°，∠OCM＝56°，BC＝31.2m．
如图，设AB＝xm，
在Rt△OAB中，AB＝，
在Rt△OAC中，AC＝，
∵AC﹣AB＝BC，
∴，
∴x≈78，
∴河宽OA为78m．
（2）方案2：在河岸MN上的取点B，C，在B处立标杆，在过点C且垂直于MN的直线上，确定点E，使得E，B，O共线，CL测量得到AB＝48m，BC＝16m，EC＝26m．
如图，
∵∠OAB＝∠ECB＝90°，∠ABO＝∠EBC，
∴△ABO∽△CBE，
∴，
∴，
∴OA＝78，
∴河宽OA为78m．
3．解：（1）如图，过C作CF⊥AB于F，过D作DH⊥AB于H，
则四边形CDHF是矩形，
∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，坡度i＝1：1＝DH：AH，
∴AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，
∵tanB＝，
∴BF＝＝＝（m），
∴AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；
即坝底AB的长约为8.7m；
（2）此加固工程对古树没有影响，理由如下：
由题意得，DH：EH＝1：，
∴EH＝DH＝3（m），
∴AE＝EH﹣AH＝（3﹣3）m，
∵（3）2＝27，（3+2.5）2＝30.25，
∴3﹣3＜2.5，
∴此加固工程对古树没有影响．
4．解：过A点作AE⊥CD于E点，
由题意得，四边形ABDE为矩形，
∵∠DAE＝26.6°，BD＝30m，
∴AE＝BD＝30m，tan26.6°＝，
∴DE＝tan26.6° AE＝0.50×30＝15m，
∵∠CAE＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴AE＝EC，
∴CE＝30m，
∴CD＝CE+ED＝30+15＝45（m），
∴建筑物CD的高度是45m．
5．解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD sin60°＝70×＝35（mm）．
②由图可知，点A到直线DE的距离为：AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm），
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
6．解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m，
设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，
∵∠AOE＝45°，
∴OE＝AE＝xm，
∵∠A′OE＝60°，
∴tan60°＝＝，
即＝，
解得x＝3+3，
∴AB＝3+3+3＝（6+3）m．
7．解：过点 PD作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
8．解：（1）在Rt△ARL中，RL＝AR cos43°≈4.38（km），
（2）在Rt△ARL中，AL＝AR sin43°≈4.08（km），
在Rt△BRL中，BL＝RL tan45.54°≈4.468（km），
∴AB＝BL﹣AL＝0.388≈0.39（km），
∴速度为0.39km/s，
答：雷达站到发射处的水平距离为4.38km，这枚火箭从A到B的平均速度为0.39km/s．
9．解：在Rt△BCE中，BE＝21，∠EBC＝45°，
∴CE＝BE＝21米，
在Rt△ADE中，AE＝BE+AB＝21+6＝27米，
∵∠EAD＝30°，
∴DE＝AE tan30°＝9米，
∴CD＝CE﹣DE＝21﹣9（米）．
答：该屏幕的高度CD为（21﹣9）米．
10．解：设AD＝xm，
∵∠ABD＝45°，
∴BD＝AD＝xm，
∵∠ACD＝31°，BC＝60m，
∴tan31°＝＝＝0.60，
解得x＝90.0，
∴他家到公路l的距离AD的长度约90.0m．
11．解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD＝，
∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
12．解：由题意得，∠ABO＝45°，∠AOP＝40°，∠BOP＝15°，OA＝3米，
过点O作OM⊥AB于M，
在△AOB中，由内角和定理可得，
∠A＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB
＝180°﹣45°﹣40°﹣15°
＝80°，
在Rt△AOM中，∠A＝80°，OA＝3米，
∴OM＝OA sin80°≈3×0.9848≈2.95（米），
∴AM＝OA cos80°≈3×0.1736≈0.52（米），
在Rt△BOM中，∠ABO＝845°，
∴BM＝OM＝2.95米，
∴AB＝AM+BM＝2.95+0.52≈3.5（米），
答：AB的长度约为3.5米．
13．解：（1）过点F作FM⊥AB于M，
∵AF＝EF＝1m，∠AFE＝90°，
∴∠MEF＝45°，
∴MF＝1×sin45°＝m，
∴BC＝×2+×3＝4≈5.46m，
答：棚宽BC的长约为5.46m；
（2）当BE＝1.8m时，AE＝2.4﹣1.8＝0.6m，如图，
∴ME＝＝0.3m，EF＝1m，
∴sin∠MFE＝＝0.3，
∴∠MFE＝17.5°，∠AFE＝2∠MFE＝35°，
答：∠AFE最大为35度．
14．解：在Rt△ACO中，AC＝6km，∠ACO＝42.4°，
∵cos∠ACO＝，
∴OC＝AC cos∠ACO＝6×cos42.4°≈4.44（km），
在Rt△BCO中，OC＝4.44km，∠BCO＝45.5°，
∵tan∠BCO＝，
∴BO＝OC tan∠BCO＝4.44×tan45.5°≈4.44×1.02＝4.5288（km），
∵sin∠ACO＝，
∴AO＝ACsin∠ACO＝6×sin42.4°≈4.02（km），
∴AB＝BO﹣AO＝4.5288﹣4.02＝0.5088≈0.51（km）．
∵时间为1秒，
∴这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s，
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．
15．解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG tan30°，即CD﹣GD＝AG tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
16．解：由题意得，BD＝50km，∠ADB＝37°，DE＝15km，∠AEC＝56°，
在Rt△ABD中，
∵BD＝50km，∠ADB＝37°，
∴AB＝sin37°×BD≈×50＝30（km），AD＝cos37°×BD≈×50＝40（km），
∴AE＝AD﹣DE＝40﹣15＝25（km），
在Rt△AEC中，∠AEC＝56°，
∴AC＝tan56°×AE≈×25＝37（km），
∴BC＝AC﹣AB＝37﹣20≈17（km），
∴火箭的速度为17÷10≈1.7（km/s），
答：运载火箭从B处到C处时的平均速度约为1.7km/s．
17．解：过C作CD⊥AB于D，
由题意得，AB＝30×2＝60（千米/时），∠A＝37°，∠B＝45°，
设CD＝BD＝x，
在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，∠BDC＝90°，
∴CD＝BD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝37°，∠ADC＝90°，
∴AD＝≈＝，
∵AD+BD＝AB，
∴x+x＝60，
解得：x≈25.7，
∴BC＝BD＝25.7×≈37.1（千米），
∵37.1÷30≈1.2（小时），
答：渔政执法船返回码头C，需要1.2小时．
18．解：过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：
则∠CDA＝90°，
设CD＝xkm，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝xkm，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2x（km），
∴AD＝CD＝x（km），
∵AD﹣BD＝AB，
∴x﹣x＝2，
解得：x＝+1，
即CD＝（+1）km，
答：船C到海岸线l的距离是（+1）km．
19．解：（1）作EH⊥AC于H，
则四边形EHCD是矩形，
在Rt△ABC中，
∵tan∠BAC＝，
∴BC＝AC tan71.6°＝3.01xm，
在Rt△AHE中，
∵tan∠EAC＝，
∴CD＝EH＝AH tan80.6°＝6.04（x﹣6）＝（6.04x﹣36.24）m；
（2）设AC＝xm，
∵四边形EHCD是矩形，
∴DE＝CH＝6m，
∵BD＝BC+CD＝315m，BC＝3.01xm，CD＝（6.04x﹣36.24）m，
∴3.01x+6.04x﹣36.24＝315，
解得：x＝39，
∴舰岛AC的高度为：39m．
20．解：（1）由题意得，∠BAC＝45°，∠BCA＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠BCA＝105°；
（2）如图，作BD⊥CA交CA的延长线于D，
设BD＝x米，
∵∠BCA＝30°，
∴CD＝x（米），
∵∠BAD＝45°，
∴AD＝BD＝x米，
∴x+x＝150，
解得x＝75（﹣1）≈54.8，
答：这段河的宽约为54.8米．