广东省深圳市九校2022届高三上学期11月联考数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市九校2022届高三上学期11月联考数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 843.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-13 11:27:47 | ||
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文档简介
深圳市2022届高三·十一月·九校联考
数学试题
命题人：深圳市高级中学审题人：深圳市高级中学
（满分150分.考试时间150分钟.）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图1，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则（ ）
A.11 B.12 C.9 D.16
5.已知函数的部分图象如图2所示，且经过点，则（ ）
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.为偶函数 D.为奇函数
6.已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A.-64 B.-32 C.-16 D.-8
7.已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（图3）：（ ）
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元
C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
10.设正实数x，y满足，则（ ）
A. B.xy的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为4
11.如图4，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为2
B.平面
C.异面直线EF与AG所成的角的余弦值为
D.过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
12.已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A. B.函数为周期函数
C.函数的最大值为2 D.函数的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分..
13.已知多项式，则________.
14.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则的概率为________.
15.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________.
16.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：.现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次.（本题第一空2分，第二空3分.）（参考数值：，）
四、解答题：本题共66小题，共070分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..
17.（10分）
已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前15项和.
18.（212分）
某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图5所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.
19.（12分）
在平面四边形ABCD中，，，.
（1）若的面积为，求AC；
（2）若，，求.
20.（12分）
如图7，在直三棱柱中，，，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点.
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点Q，使得平面 若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由.
21.（212分）
已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2.
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点.
22.（212分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个零点.证明：
（ⅰ）；（ⅱ）.
22022届高三·十一月·九校联考
数学答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共40分.
1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D
二、选择题：每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABC 10.AC 11.BD 12.ABD
三、填空题：每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.64；6（本题第一空2分，第二空3分.）
四、解答题：共70分.
17.（10分）
解：（1）设等差数列的公差为d，由条件得，解得.
故.
（2）由（1）可知，其中
故的前15项和
.
18.（12分）
解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为，.
方案二中的日收费y与x的函数关系式为.
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
210 220 230 240 250
0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
所以（元）.
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
200 220 240
0.6 0.2 0.2
（元）.
所以从节约成本的角度考虑，选择方案二.
19.（12分）
解：（1）在中，，，
∴，可得，
在中，由余弦定理得，
∴.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在中，，
由正弦定理得，即，
∴，可得，即.
20.（12分）
解：（1）解法一：连结，在直三棱柱中，有面
因为面，所以，
中，，即，
因为，所以面
因为面，所以
在四边形中，，，所以四边形为正方形，所以
因为，所以面
因为面，所以.
解法二：在直三棱柱中，因为，以点A为坐标原点，AB、CA、方向分别为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，，，
所以，
所以.
（2）解法一：存在线段上靠近N的三等分点Q，满足平面.
证明如下：在直三棱柱中，因为，以点A为坐标原点，AB、CA、方向分别为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
因为，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点，所以
、、、、、
设，所以
所以，，，
设为平面的法向量，则即.
取得，可得平面的一个法向量为.
若平面，则，所以，即
解得，所以存在线段上靠近N的三等分点Q，使得平面.
解法二：存在线段上靠近N的三等分点Q，满足平面.
证明如下：取中点H，连结BH、、.
在正方形中，M为AB的中点，所以.
因为平面，平面
所以平面
在正方形中，M为AB的中点，H为中点，所以.
因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面
因为，平面，平面
所以平面平面，
记，则Q为的重心，即Q为线段上靠近N的三等分点，且平面，
所以平面，所以存在线段上靠近N的三等分点Q，使得平面.
21.（12分）
解：（1）抛物线的焦点，准线为，因为点到其焦点的距离为2，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，解得，所以，
综上，P点坐标为，抛物线的方程为.
（2）证明：设直线MN的方程为，，，
联立，得，所以，，
所以，同理可得，
因，
所以，所以，
所以，即（满足），
直线MN的方程为，
所以直线MN过定点.
22.（12分）
解：（1）定义域，，
则当时，在为增函数；
当时，令，解得，当时，，在为增函数；
当时，，在为减函数，
综上，时，在为增函数；
时，在为增函数，在为减函数.
（2）：解法一：（i）由（1）可知，要使函数有两个零点，需，且，
则，又，故，则，
令，，则
，
所以在上单减，所以，又，所以
，
又，所以即；
（ii）要证，由（i）可知，只需证，即证，注意到，只需证
由，只需证，
即证，
令，则，因为，所以，所以上述不等式等价于，即，亦即，对恒成立.
令，则，
所以在上单调递减，即，即得证.
解法二：证明：（i）原不等式等价于，
因为①，②，
由②-①得，，则，
则等价于，
因为，所以，
即证，等价于，③，
设，，设，，
③等价于，∵，
所以在上为增函数.
所以，即；
（ii）设，则，令，解得，
所以在上递增，在上递减，
因为有两个不相等的实根，则且，
易知对恒成立，则对恒成立，
所以，因为，所以，
又因为，，所以或，
因为且，所以，，
因为，所以，即.
数学试题
命题人：深圳市高级中学审题人：深圳市高级中学
（满分150分.考试时间150分钟.）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知（其中为虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图1，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则（ ）
A.11 B.12 C.9 D.16
5.已知函数的部分图象如图2所示，且经过点，则（ ）
A.关于点对称 B.关于直线对称
C.为偶函数 D.为奇函数
6.已知为数列的前项和，，，那么（ ）
A.-64 B.-32 C.-16 D.-8
7.已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（图3）：（ ）
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元
C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
10.设正实数x，y满足，则（ ）
A. B.xy的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为4
11.如图4，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（ ）
A.三棱锥的体积为2
B.平面
C.异面直线EF与AG所成的角的余弦值为
D.过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是
12.已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A. B.函数为周期函数
C.函数的最大值为2 D.函数的图象既有对称轴又有对称中心
三、填空题：本题共44小题，每小题55分，共020分..
13.已知多项式，则________.
14.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则的概率为________.
15.已知为奇函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是________.
16.某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数与纸的长边和厚度有关系：.现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为________；该矩形纸最多能对折________次.（本题第一空2分，第二空3分.）（参考数值：，）
四、解答题：本题共66小题，共070分..解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..
17.（10分）
已知是等差数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前15项和.
18.（212分）
某工厂购买软件服务，有如下两种方案：
方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；
方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；
（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图5所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.
19.（12分）
在平面四边形ABCD中，，，.
（1）若的面积为，求AC；
（2）若，，求.
20.（12分）
如图7，在直三棱柱中，，，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点.
（1）证明：；
（2）在线段上是否存在点Q，使得平面 若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由.
21.（212分）
已知抛物线：上的点到其焦点的距离为2.
（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；
（2）若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点.
22.（212分）
已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个零点.证明：
（ⅰ）；（ⅱ）.
22022届高三·十一月·九校联考
数学答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共40分.
1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D
二、选择题：每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABC 10.AC 11.BD 12.ABD
三、填空题：每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.64；6（本题第一空2分，第二空3分.）
四、解答题：共70分.
17.（10分）
解：（1）设等差数列的公差为d，由条件得，解得.
故.
（2）由（1）可知，其中
故的前15项和
.
18.（12分）
解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为，.
方案二中的日收费y与x的函数关系式为.
（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为
210 220 230 240 250
0.1 0.4 0.1 0.2 0.2
所以（元）.
方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为
200 220 240
0.6 0.2 0.2
（元）.
所以从节约成本的角度考虑，选择方案二.
19.（12分）
解：（1）在中，，，
∴，可得，
在中，由余弦定理得，
∴.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在中，，
由正弦定理得，即，
∴，可得，即.
20.（12分）
解：（1）解法一：连结，在直三棱柱中，有面
因为面，所以，
中，，即，
因为，所以面
因为面，所以
在四边形中，，，所以四边形为正方形，所以
因为，所以面
因为面，所以.
解法二：在直三棱柱中，因为，以点A为坐标原点，AB、CA、方向分别为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
因为，所以，，，
所以，
所以.
（2）解法一：存在线段上靠近N的三等分点Q，满足平面.
证明如下：在直三棱柱中，因为，以点A为坐标原点，AB、CA、方向分别为、、轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.
因为，M为AB的中点，N为的中点，P是与的交点，所以
、、、、、
设，所以
所以，，，
设为平面的法向量，则即.
取得，可得平面的一个法向量为.
若平面，则，所以，即
解得，所以存在线段上靠近N的三等分点Q，使得平面.
解法二：存在线段上靠近N的三等分点Q，满足平面.
证明如下：取中点H，连结BH、、.
在正方形中，M为AB的中点，所以.
因为平面，平面
所以平面
在正方形中，M为AB的中点，H为中点，所以.
因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面
因为，平面，平面
所以平面平面，
记，则Q为的重心，即Q为线段上靠近N的三等分点，且平面，
所以平面，所以存在线段上靠近N的三等分点Q，使得平面.
21.（12分）
解：（1）抛物线的焦点，准线为，因为点到其焦点的距离为2，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，解得，所以，
综上，P点坐标为，抛物线的方程为.
（2）证明：设直线MN的方程为，，，
联立，得，所以，，
所以，同理可得，
因，
所以，所以，
所以，即（满足），
直线MN的方程为，
所以直线MN过定点.
22.（12分）
解：（1）定义域，，
则当时，在为增函数；
当时，令，解得，当时，，在为增函数；
当时，，在为减函数，
综上，时，在为增函数；
时，在为增函数，在为减函数.
（2）：解法一：（i）由（1）可知，要使函数有两个零点，需，且，
则，又，故，则，
令，，则
，
所以在上单减，所以，又，所以
，
又，所以即；
（ii）要证，由（i）可知，只需证，即证，注意到，只需证
由，只需证，
即证，
令，则，因为，所以，所以上述不等式等价于，即，亦即，对恒成立.
令，则，
所以在上单调递减，即，即得证.
解法二：证明：（i）原不等式等价于，
因为①，②，
由②-①得，，则，
则等价于，
因为，所以，
即证，等价于，③，
设，，设，，
③等价于，∵，
所以在上为增函数.
所以，即；
（ii）设，则，令，解得，
所以在上递增，在上递减，
因为有两个不相等的实根，则且，
易知对恒成立，则对恒成立，
所以，因为，所以，
又因为，，所以或，
因为且，所以，，
因为，所以，即.
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