广东省八校2021-2022学年高二上学期期中调研考试数学试题（Word版含答案）

广东省八校高二级2021~2022学年度第一学期期中调研考试
数学
2021.11
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：新人教版选择性必修一第一章~第三章3.1节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，且，则等于（ ）
A. B.1 C. D.2
2.已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
3.已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（ ）
A. B. C. D.
4.圆：和圆：的公切线的条数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知直线：过定点，直线过点且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知点是椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，则（ ）
A.2 B.3 C. D.4
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线：，，，则下列结论正确的是（ ）
A.直线恒过定点 B.当时，直线的倾斜角为
C.当时，直线的斜率不存在 D.当时，直线与直线垂直
10.以下四个命题中错误的是（ ）
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C.对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
11.已知点，均在圆：外，则下列表述正确的有（ ）
A.实数的取值范围是
B.
C.直线与圆不可能相切
D.若圆上存在唯一点满足，则的值是
12.已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A.的周长为
B.当时，的边
C.当时，的面积为
D.椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______.
14.已知直线和互相平行，则它们之间的距离是______.
15.已知，方程表示圆，则圆心坐标是______.
16.如图，在正方体中，点为的重心，若，，，，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
若点与点到直线的距离相等，求的值.
18.（本小题满分12分）
已知空间三点，，.
（1）求以、为边的平行四边形的面积；
（2）若，且分别与、垂直，求向量的坐标.
19.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，，，点是平面上一点，使的周长为16.
（1）求点的轨迹方程；
（2）求的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知圆的圆心在坐标原点，直线的方程为.
（1）若圆与直线相切，求圆的标准方程；
（2）若圆上恰有两个点到直线的距离是1，求圆的半径的取值范围.
21.（本小题满分12分）
在如图所示的四棱锥中，四边形为矩形，平面，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面的夹角的余弦值.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆：经过点，且离心率.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为且不过点的直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且，求直线的斜率.
高二级2021~2022学年度第一学期期中调研考试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A
2.C 因为，故动点的轨迹是线段.
3.A 由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，故答案选A项.
4.C 由题知圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，所以，，所以两圆外切，所以两圆共有3条公切线.
5.A 由题得，直线：，所以过定点，所以直线过定点，且与直线垂直，所以直线的方程为.故选A.
6.B 由，得，当时，，∴的取值范围为.
7.D 由条件易得，，，由得，，即，又，整理得，.
8.D 由得，代入圆的方程，整理得，解得，，所以，，所以，又直线的倾斜角为30°，由平面几何知识在梯形中，.
9.BD 直线：，故时，，故直线恒过定点，选项A错误；当时，直线：，斜率，故倾斜角为，选项B正确；当时，直线：，斜率，故选项C错误；当时，直线：，斜率，，故，故直线与直线垂直，选项D正确.故选BD.
10.ACD 空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A
错误；
若为空间向量的一组基底，则、、互不共面，且、、均为非零向量，假设、、共面，可设，所以，该方程组无解，故、、不共面，因此，可构成空间向量的一组基底，故B正确；
由于，∵，此时，、、、四点不共面，C错误；
任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误.故选ACD.
11.ABD ∵点，均在圆：外，解得，故A正确；，故B正确；∵，且圆心坐标为，∴当时，直线与圆相切，故C错误；∵，∴点在以线段为直径的圆上，又，，∴点在圆上，又∵点在圆：上，点，均在圆外，圆与圆外切，且点为切点，∴，即，故D正确.故选ABD.
12.AD 根据椭圆方程可得，，.对于A，的周长为，故A正确；对于B，当时，的边，故B错误；对于C，当时，的面积，故C错误；对于D，设，，当时，则有解得，此时点为上下顶点，当时，有两个点，当时，有两个点，故D正确.故选AD.
13. 由，得且.
14. 易知，两平行直线间的距离为：.
15. 由题意得，解得或2.
当时，方程为，即，圆心为；
当时，方程为，即，不表示圆.
16.1 易知为正三角形，连接、相交于点，连，显然点在线段上，且满足，有，得：
有，
可得：.
17.解：（1）当直线过中点时，，到直线距离相等，中点为，
∴，∴.
（2）当与直线平行时，，到直线距离相等，
，∴，经检验或.
18.解：（1），，
，，，
，
∴，
∴平行四边形面积为.
（2）设，则，①
∵，，
∴，②
，③
由①②③解得，，或，，.
∴或.
19.解：（1）由题知，，∴，
点的轨迹为椭圆（去掉左右端点），，，
∴，，，点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，∴.
当且仅当时等号成立，故的最大值为25.
20.解：（1）设圆的半径为，圆心到直线距离为，则，依题意，
所以圆的方程为.
（2）由（1）知，圆心到直线距离为，又圆上恰有两个点到直线的距离是1，所以，
即，所以，即圆的半径的取值范围是.
21.（1）证明：连接，交于点，连接，
∵为中点，为中点，∴.
∵平面，平面，
（2）解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，
则，，
∵平面，∴平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，∴.
∴，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
22.解：（1）因为在椭圆上，所以，
又，，
由，上述方程联立可得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线的方程为，
设，，
消得：
，
所以，，
因为，所以，
同理可得，
因为，，
所以
.