24.1.2 垂直于直径的弦 同步练习题（含解析）

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人教版2021年九年级上册：24.1.2 垂直于直径的弦 同步练习题
一、选择题
1．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
2．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
3．如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（　　）
A．50m B．45m C．40m D．60m
4．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．14cm D．16cm
5．如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB=CD=8，则OP的长为（ ）
A． B．
C．4 D．2
6．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm，则球的半径为（ ）
A．10cm B．10cm C．10cm D．8cm
7．如图，OA为⊙O的半径，弦BC⊥OA于点P．若BC=8，AP=2，则⊙O的半径长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．
8．如图，在⊙O中，半径r＝5，弦AB＝8，P是弦AB上的动点（不含端点A，B），若线段OP长为正整数，则点P的个数有（ ）
A．2个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
9．如图，的直径为，弦长为，点在上运动，则的最小值是____．
10．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC交弦AB于点P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，则圆心O 到AB的距离为______cm．
11．如图，以点O为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB是小圆的切线，则________．
12．如图为的弦，，则__________，O点到距离=________．
13．如图，⊙O的弦AB＝8cm，DC＝2cm，直径CE⊥AB于D，半径OC的长为 ___．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，则直径CD＝__________．
15．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点，，连接，再作出的垂直平分线，交于点，交于点，测出，的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出cm，cm，则轮子的半径为__________ cm．
16．已知：如图，与轴交于M、N两点，若A（1，1），N（0，－1），则M点的坐标是___________，的半径是_______．
三、解答题
17．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到）
18．如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？
19．如图，CD为的直径，弦于E，如果，，求半径OC的长
20．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
21．如图，为⊙的直径，弦与交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若，求的长．
22．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，
（1）求⊙O的半径；
（2）求O到弦BC的距离．
参考答案
1．C
【分析】
根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】
解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
2．D
【分析】
根据垂径定理和勾股定理求解．
【详解】
解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10寸，
∴AE=BE=AB=×10=5寸，
∵OA为⊙O的半径，，则OA=x寸，
根据勾股定理得x2=52+（x-1）2，
解得x=13，
CD=2x=2×13=26（寸）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理．正确的作出辅助线是解题的关键．
3．A
【分析】
设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC＝AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．
【详解】
解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示：
则OA＝OD＝250，AC＝BC＝AB＝150，
∴OC＝＝＝200（m），
∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），
即这些钢索中最长的一根为50m，
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
4．D
【分析】
连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB=48cm，
∴BD=AB=×48=24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB=OC=26cm，
在Rt△OBD中，（cm），
∴CD=OC-OD=26-10=16（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．B
【分析】
作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM=AM=4，DN=CN=4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMPN是正方形，即可解决问题．
【详解】
解：如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．
∴AM=BM=4，CN=DN=4，
∵OA=OC=2，
∴OM=，
ON=，
∴OM=ON，
∵AB⊥CD，
∴∠OMP=∠ONP=∠MPN=90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMPN是正方形，
∴OP=OM=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
6．B
【分析】
首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．
【详解】
解：取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，
根据垂径定理知球心O在MN上，连接OF，
设OF=x，则OM=16-x，MF=8，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（16-x）2+82=x2，
解得：x=10．
即球的半径为10cm．
故选：B．
【点睛】
本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
7．A
【分析】
连接OB，根据垂径定理和勾股定理列方程即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
则的半径长为，
故选A．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题．
8．D
【分析】
当P为AB的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在直角三角形AOP中，由OA与AP的长，利用勾股定理求出OP的长；当P与A或B重合时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即可得到OP所有可能的长．
【详解】
解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，
在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，
根据勾股定理得：OP＝＝，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP＝5，
∴3≤OP＜5，
则使线段OP的长度为整数，
∴OP＝3，4
根据对称性可知，满足条件的点P的个数有3个
故选：D．
【点睛】
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，以及勾股定理是解本题的关键．
9．3
【分析】
根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当OP⊥AB时，OP的值最小．连接OA，在直角三角形OAP中由勾股定理即可求得OP的长度．
【详解】
解：当OP⊥AB时，OP的值最小，
则AP′=BP′=AB=4，
如图所示，连接OA，
在Rt△OAP′中，AP′=4，OA=5，
则根据勾股定理知OP′=3，即OP的最小值为3．
【点睛】
本题考查了勾股定理、垂径定理．掌握垂线段最短是解题的关键．
10．
【分析】
过点作于，连接，由垂径定理得，则，设，在和中，由勾股定理得，解得即可，再在中利用勾股定理求出．
【详解】
解：过点作于，连接，如图所示：
则，
，
设，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即半径的长为7，
在中，
，
则圆心O到AB的距离为，
故答案是：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程，再求解．
11．
【分析】
连结OP、OA，如图，根据切线的性质得OP⊥AB，再根据垂径定理得到AP=BP，然后在Rt△AOP中，利用勾股定理可计算出AP=，再利用AB=2AP进行计算即可．
【详解】
解：连接OP、OA，如图，
∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP，
在Rt△AOP中，∵OP=3，OA=6，
∴AP=，
∴AB=2AP=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
12． 1
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系即可求解．
【详解】
解：是的弦，
，
，
在中，，
，
如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C，
又∵∠AOB=90°，OC=AC，
∴OC=AB=1，
即：O点到距离为1，
故答案为：；1．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，本题的解题关键是用勾股定理计算出OA的长，也考查了等腰直角三角形的性质．
13．5cm
【分析】
连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
解：连接OA，
设⊙O的半径为Rcm，则OD=（R-2）cm，
∵OC⊥AB，
∴AD=DB=AB=4，
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，即R2=（R-2）2+42，
解得，R=5，
答：⊙O的半径为5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
14．26
【分析】
连接OA，先根据垂径定理，求出AE的长，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值即可得到答案．
【详解】
解：连接OA，∵DE⊥AB，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOC中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，
解得：x＝13，
所以CD＝26．
故答案为：26．
【点睛】
此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意构建以圆的半径，弦的一半及弦心距的直角三角形是解题关键．
15．
【分析】
连接OB，在Rt△OBC中，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】
垂直平分，
的圆心在上，
设的圆心为，连接，设
，
在中，
解得
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
16．（0，3）
【分析】
过点A作AH⊥MN，得到H点坐标，根据垂径定理得到HM=HN，故可求出M的坐标，再根据勾股定理求出半径即可．
【详解】
过点A作AH⊥MN，
∵A（1，1），N（0，－1），
∴H（0，1），HN=2
∵MN是的一条弦，AH⊥MN，
∴HM=HN=2，
∴M（0，3）
∵AH=1，HN=2
∴的半径AN=
故答案为：（0，3）；．
【点睛】
此题主要考查垂径定理的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线求解．
17．半径约为．
【分析】
设圆的半径为r，由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接 由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，
设圆的半径为r，则CO=r-0.25，AC=0.36，
OC2+AC2=AO2， 即0.362+（r-0.25）2=r2．
解得：r=0.3842≈0.384．
答：这个车轮的半径为0.384m．
【点睛】
本题考查的是垂径定理及其推论的实际应用，勾股定理的应用，解题的关键是由垂径定理的推论得到：∠OCA=90°.
18．．
【分析】
过点作于点，并延长交于点，先计算出，再由，根据垂径定理得，然后根据勾股定理计算出，再利用进行计算即可．
【详解】
解：过点作于点，并延长交于点，如图，
则由题意得，
又，
，
在中，，
．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
19．13
【分析】
连接OA，设OA=r，则OE=r-1，根据垂径定理得AE=5，在中，根据勾股定理即可得．
【详解】
解：如图所示，连接OA，设OA=r，则OE=r-1，
∵弦与E，AB=10，
∴AE=5，
在中，根据勾股定理，
，
解得，
故半径OC的长为13．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．
20．．
【分析】
利用勾股定理和垂径定理解答．
【详解】
解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，注意数形结合思想与方程思想的应用．
21．（1） ；（2）．
【分析】
（1）由为⊙的直径，得出,根据圆角定理即可得到答案；
（2）连接 ，过 作 于 ．构成直角三角形，进而求出，根据 角所对应的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理求得出 的长，然后由垂径定理求出的长．
【详解】
（1）解：∵ A，D在⊙ O上， ，
,
，
∴ 在△ ACE中，．
（2）解：连接OC，过O作OH⊥CD于H．
∵ OA=OC，∠A=45°，
∴ ∠ACO=∠A=45°．
∴ ∠AOC=90°．
∵ Rt△AOC中，，AC=12，
∴ ．
∵ ∠ACD=75°，
∴ ．
∴ ．
∴ Rt△OCH中，．
∵ OH⊥CD于H，
∴ ．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用垂径定理，勾股定理等几何知识点来分析，判断，解答．
22．（1）5；（2）
【分析】
（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，构建方程即可解决问题．
（2）根据S△BCO＝BC OF＝OC BE，求解即可．
【详解】
解：（1）连接OB，设半径为r，则OE＝r﹣2，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4，
在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2＋42＝r2
∴r＝5
（2）∵r＝5，
∴AC＝10，EC＝8，BE＝DE＝4cm，
∴BC＝＝4（cm）
∵OF⊥BC，
∴S△BCO＝BC OF＝OC BE
∴4×OF＝5×4，
∴OF＝．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟记垂径定理和构造△OBE．
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