江西省吉安市四校2021-2022学年高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

安福二中、泰和二中、井大附中、吉安县三中、四校联考
高二数学（理）试题（11月1日、2日）
一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）
1.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
3.已知m，，若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）
A.0 B.1 C.-2 D.-1
4.点关于直线的对称点为（ ）
A. B. C. D.
5.已知长方体全部棱长的和为36，表面积为5，则其体对角线的长为（ ）
A.4 B. C. D.
6.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ ）
A. B. C. D.
9.平面内与点距离为3，且与点距离为2的直线的条数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
10.已知两点，，若直线上至少存在三个点P，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.如图，在四棱锥中，底面为正方形，且，其中E，M，N分别是，，的中点，动点P在线段上运动时，下列四个结论：
①；②；③面；④面；
其中恒成立的为（ ）
A.①③ B.③④ C.①④ D.②③
12.在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）
13.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是________.
14.设是空间直角坐标系中的一点，则点关于坐标平面的对称点的坐标是________.
15.已知直线与圆，则圆C上各点到l的距离的最小值为________.
16.已知三棱锥中，棱，，的中点分别是M，N，O，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为________.
三、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分）
17.已知直线和直线.
（1）当时，若，求实数a的值；
（2）若，求的最小值.
18.已知的顶点，直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.
（1）求顶点A和B的坐标；
（2）求的外接圆的一般方程.
19.如图所示，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱上的动点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）如果E是的中点，求证：平面；
（3）不论点E在侧棱的任何位置，是否都有 证明你的结论.
20.在如图所示的几何体中，，平面，，，，.
（1）证明：平面；
（2）过点D作一平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积.
21.已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点.
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求.
22.如图1是由正方形，直角梯形，三角形组成的一个平面图形，其中，，将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.
（1）证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面；
（2）求图2中点A到平面的距离.
理科数学试题答案及评分标准
一、选择题（每题5分，12个小题，共60分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C B D A C A B D C B
二、填空题（每题5分，4个小题，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分）
17：（1）因为直线和直线，，
所以，且，即，且.
若，则，整理，得，解得.
（2）若，当任一直线斜率不存在时，显然不成立，
所以，所以，所以
又因为，所以，当且仅当，即时等号成立
所以，则的最小值为2.
18.（1）由解得所以顶点.
因为，，所以设直线的方程为，
将代入，得.联立解得
所以顶点，所以顶点A和B的坐标分别为和.
（2）设的外接圆方程为，
将，和三点的坐标分别代入，
得解得
所以的外接圆的一般方程为.
19.（1）因为平面，
所以，
即四棱锥的体积为
（2）证明：如图所示，连接交于点O，连接.
因为四边形是正方形，所以O是的中点，
又E是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（3）不论点E在侧棱的任何位置，都有.证明如下：
因为四边形是正方形，所以，
因为底面，且平面，所以，
又，所以平面.
因为不论点E在侧棱的任何位置，都有平面，
所以不论点E在侧棱的任何位置，都有.
20.解析：（1）在中，由余弦定理得，
所以，所以为直角三角形，.
因为平面，所以.
而，所以平面.
（2）如图，取的中点，的中点，连接，，，则平面即所求.
理由如下：因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，从而平面，
易证平面.
因为，所以平面平面.
由（1）可知，平面，平面.
，
，
所以所求几何体的体积.
21.（1）由题设，可知直线的方程为.
因为直线l与圆C交于两点，所以.
解得.
所以k的取值范围为.
（2）设，.
将代入圆的方程，整理得
.
所以，.
.
由题设可得，解得，所以l的方程为
故圆C的圆心在l上，所以.
22.解析：（1）证明：因为正方形中，，梯形中，，
所以，所以D，E，C，G四点共面.
因为，所以.因为，，
所以平面.
因为平面，所以.
在直角梯形中，，，，可求得，
同理在直角梯形中，可求得，又，
所以，由勾股定理的逆定理可知
因为，，所以平面.
因为平面，故平面平面，即平面平面.
（2）在等腰直角三角形中，边上的高为1，所以点D到平面的距离等于1.
因为与平面平行，所以点E到平面的距离，
连接，，三角形的面积，
中，边上的高为高为，
的面积.
设点A到平面的距离为，由三棱锥的体积，
得，故点A到平面的距离为.