5.1.2 弧度制-同步练习 -2021-2022学年【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册（Word含解析）

5.1.2 弧度制-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）
一、单选题
化为弧度是
A. B. C. D.
经过一小时，时针转过了
A. B. C. D.
在圆中的圆心角所对的
A. 弦长相等 B. 弧长相等
C. 弦长等于所在圆的半径 D. 弧长等于所在圆的半径
化为角度是
A. B. C. D.
角的终边所在的象限是
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
集合中的角所表示的范围阴影部分是
A. B.
C. D.
下列各对角中，终边相同的角是
A. ， B. ， C. ， D. ，
若是第二象限角，则是
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
下列各组角终边相同的是
A. 与， B. 与，
C. 与， D. 与，
九章算术是我国古代的数学名著，其中卷一方田记载：“今有宛田，下周八步，径四步．问为田几何？”译成现代汉语：有一块扇形的田，弧长8步，其所在圆的直径是4步，则这块田的面积是
A. 8平方步 B. 6平方步 C. 4平方步 D. 16平方步
二、多选题
下列各组角中，终边相同的角是
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
三、填空题
半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．
如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且，，则劣弧的长为________．
若三角形三内角之比为，则三内角的弧度分别是 ．
终边在坐标轴上的角的集合为________．
已知集合Z，，则________．
已知两角和为1弧度，且两角差为，则这两个角的弧度分别是________．
四、解答题
扇形AOB的周长为．
若这个扇形的面积为，求扇形圆心角的弧度数；
求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形实线所示，正方形的顶点A与点P重合沿圆周按逆时针方向滚动，点A第一次回到点P的位置时．求点A走过的路径的长度．
某公司拟设计一个扇环形状的花坛如图，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．设弧AB，弧CD所在圆的半径分别为，，圆心角为．
若，，，求花坛的面积．
根据要求，扇环形状的花坛面积为，已知扇环花坛的直线部分的装饰费用为45元，弧线部分的装饰费用为90元，求当装饰费用最低时线段AD的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了角度制与弧度制之间的互换，属于基础题．
利用进行求解．
【解答】
解：．
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了任意角的概念，考查了角度与弧度的换算关系，是基础题．
由时针按顺时针旋转，可知旋转角为负角，再由12小时旋转求得经过1小时转过的弧度数．
【解答】
解：时针按顺时针方向旋转，12小时转，
经过1小时，时针转过了．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查弧度制的概念及其应用，根据弧度制的定义进行求解即可．
【解答】
解：由弧度制的定义，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，
所以的圆心角所对的弧长等于所在圆的半径．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了弧度制与角度制的互化，属于基础题．
利用进行求解．
【解答】
解：．
故选C．
5.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了象限角、轴线角的相关知识，试题难度容易
【解答】解：，
的终边位于第四象限．
6.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查终边相同的角，象限角，属于基础题．
分k为奇数和偶数两种情况，再结合终边相同的角的表示，即可得出结论．
【解答】解：当， 时，集合，
即为，
此时集合对应的区域为第一象限内直线左上部分包含边界；
当， 时，集合，
即为，
此时集合对应的区域为第三象限内直线的右下部分包含边界．
故选C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了终边相同的角，属于基础题利用终边相同的角相差进行求解．
【解答】
解：A错，，，终边不相同；
B错，，其终边与的终边不同；
C错，的终边在y轴的负半轴上，而的终边在y轴的正半轴上，所以终边不相同；
D正确，因为，所以和的终边相同．

8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了象限角的概念，属于基础题．
根据的象限角与的象限角关于x轴对称，表示在角终边的基础上再逆时针旋转后所在的象限即可求解．
【解答】
解：为第二象限角，，
，，
所以是第一象限角 ，
故选A．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了终边相同的角的概念与表示，属于中档题．
分别指出每对角的终边是否相同解答．
【解答】
解：因为是，Z表示终边在y轴上的角，，Z表示终边在坐标轴上的角，故A错误；
因为，Z表示终边在所在直线上的角，，Z表示终边在所在直线上的角以及x轴上的角，故B错误；
，Z表示终边在所在直线上的角，，Z表示终边与相同的角，故C错误；，Z表示终边在x轴负半轴上的角，，Z表示与终边相同的角，故D正确．
故选D．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了扇形的面积计算，涉及弧长公式，属于基础题．
根据弧长与直径求得扇形中心角，再根据扇形面积公式即可求解．
【解答】
解：因为弧长8步，其所在圆的直径是4步，
所以扇形的中心角弧度，所以由题意可得：平方步
故选A．
11.【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查终边相同的角的概念，属于基础题．
利用终边相同的角的概念对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于A，的终边在y轴非负半轴上，的终边在y轴的非正半轴上，故选项A不是；
对于B，与终边相同在第三象限，的终边在第四象限，故选项B不是；
对于C，，和是终边相同的角，故选项C是；
对于D，终边在第一象限，终边在第一象限，故选项D是．
故选CD．
12.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积公式的相关知识，试题难度容易
【解答】解：由扇形的面积公式得到．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式与扇形面积公式的相关知识，试题难度较易
【解答】
解：如图，连接AO，OB，
因为，
所以．
又，
所以为等边三角形，
故圆O的半径，劣弧的长为．

14.【答案】，，
【解析】
【分析】
本题考查弧度制，三角形的内角和，是基础题．
由三角形内角和定理求出三个角的弧度数．
【解答】
解：设三角形的三个内角的弧度分别为4x，5x，6x，则有，解得．
所以三内角的弧度分别为，，．
故答案为，，

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查终边相同的角的表示方法，属于基础题．
分别写出终边在x轴上的角的集合、终边在y轴上的角的集合，进而可得到终边在坐标轴上的角的集合．
【解答】
解：终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，
故合在一起即为
故答案为
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，是基础题．
对k的值分类讨论，求出交集，然后取并集即可．
【解答】
解：因为集合Z，，
当时，，；
当时，，
当或时，，
所以．
故答案为．

17.【答案】，
【解析】
【分析】
本题考查了弧度数的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设这两个角的弧度数分别是x，则解出即可．
【解答】
解：设两个角的弧度分别为x，y，又，
可得解得
故答案为，．

18.【答案】解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为l，半径为r，面积为S．
依题意有
由，得，
代入，得，
解得，．
当时，，此时，，舍去；
当时，，此时，．
由，得，
．
当时，S取得最大值，这时，
．
【解析】本题考查了弧长公式与扇形面积公式的相关知识，试题难度一般
19.【答案】解：由图可知：因为圆O的半径，正方形ABCD的边长，以正方形的边为弦时所对的圆心角为．
正方形在圆上滚动时与圆的交点的顺序如图所示，所以当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次．
设第i次滚动，点A的路程为，则，，，，
所以点A所走过的路径的长度为．
【解析】本题考查了正方形与圆的性质、旋转的性质、弧长的计算公式，考查了数形结合、分类讨论的思想方法，考查了分析问题与解决问题的能力，属于难题．
由图可知：圆O的半径，正方形ABCD的边长，以正方形的边为弦时所对的圆心角为，
正方形在圆上滚动时点的顺序依次为如图所示，当点A首次回到点P的位置时，正方形滚动了3圈共12次，
分别算出转4次的长度，即可得出．
20.【答案】解：设花坛的面积为S，则．
所以花坛的面积为
的长为，的长为，线段AD的长为，
由题意知，则．
记，则，装饰总费用为y，
则．
当且仅当即时，y有最小值，最小值为1440，
故当线段AD的长为时，花坛的装饰费用最小．
【解析】本题考查扇形的面积公式，利用基本不等式求最值，是中档题．
利用大扇形面积减小扇形面积即可．
将装饰费用求出，然后利用基本不等式求最小值．
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