5.5三角恒等变换课时练习-2021-2022学年高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

5.5三角恒等变换
一、单选题（共16题）
1．若，均是锐角，且，已知，，则
A． B． C．或 D．或
2．若，，，，则的值为
A． B． C． D．
3．设向量，向量，且，则等于
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．
A． B． C．1 D．
6．若，则实数λ的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．4
7．已知则
A． B． C． D．
8．若，则等于
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，则下列判断错误的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．的图象关于直线对称
C．的值域为 D．的图象关于点对称
11．下列命题中错误的是（ ）
A．存在定义在上的函数使得对任意实数有等式成立;
B．存在定义在上的函数使得对任意实数有等式成立;
C．存在定义在上的函数使得对任意实数有等式成立;
D．存在定义在上的函数使得对任意实数有等式成立;
12．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
13．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
14．（ ）
A． B．2 C． D．4
15．设函数，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递增
16．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4题）
17．若，为第二象限角，则的值为_________．
18．已知，则__________.
19．计算：___________.
20．若，则 .
三、解答题（共5题）
21．观察以下各等式：
，
，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
22．（1）已知，求的值；
（2）已知，，且，，求.
23．如图,点A B分别是角 的终边与单位圆的交点,.
(1)若,求的值;
(2)证明:.
24．函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形.
（1）求的值及函数的值域；
（2）若，且，求的值.
25．已知，，是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.
（1）如图1，如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形ABC的边长.
（2）如图2，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，如果能放，求BC和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.
（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在，，上，设与间的距离为，与间的距离为，求的取值范围.
参考答案
1．A
【详解】
，均是锐角，且
，
， ，
，，
故选：A.
2．C
【详解】
，，
，.
又，，
，
，
故选：C.
3．A
【详解】
由得，所以，所以，故选A.
4．D
【详解】
由得，
所以，所以或，
故或.
故选:D.
5．D
【详解】
，故选D.
6．D
【详解】
由可得
即
所以，所以
故选：D
7．C
【详解】
本题考查正切的差角公式．
，选C．
8．C
【详解】
.
又，所以所以，
所以上式.
，，所以上式.
故选C.
9．C
【详解】
解：因为，所以，即，解得或（舍去）
所以
故选：C
10．A
【详解】
解：由题意，，
对于选项A，，其最小正周期为，故A错误；
对于选项B，令，得，当时，得，所以B正确；
对于选项C，，由，得，所以C正确；
对于选项D，令，得，当时，，所以D正确．
故选：A．
11．B
【详解】
因为，
所以存在定义在上的函数，对任意实数有等式成立;
存在定义在上的函数，对任意实数有等式成立;
存在定义在上的函数，对任意实数有等式成立;
因为,所以对任意实数，不总是一一对应，所以不存在定义在上的函数使得对任意实数有等式成立;
故选：B
12．D
【详解】
由,知,所以.又,所以,即,所以.
故选：D
13．C
【详解】
因为是顶角为的等腰三角形，所以，，
则，，
而，所以，.
故选：C.
14．C
【详解】
，
故选：C．
15．B
【详解】
因为函数，
又因为，所以为奇函数，
故有，则，
而，所以，
所以.
令，得
所以函数的单调递减区间为
当时，的单调递减区间为，
所以不正确，正确.
故选：B.
16．D
【详解】
因为，所以，，由得，
，
故选：D.
17．
【详解】
解：因为，为第二象限角，
所以，
所以，
故答案为：.
18．
【详解】
因为，所以，即，
所以.
19．8
【详解】
解：
故答案为：8
20．
【详解】
∵∴，由，
得到，
由，得到，
则.
故答案为.
21．
【详解】
本试题主要是考查了合情推理的运用，根据已知的关系式观察发现了角的关系，然后将特殊问题一般化 思想，是一种归纳推理的运用．并运用二倍角公式加以证明猜想的正确性．
证明：
22．（1）；（2）.
【详解】
（1），
；
（2），
又，
，
又，
.
23．(1)(2)见解析
【详解】
(1)由,可得,
.
(2)由题意可得,,且与的夹角为,,
成立.
24．（2），函数的值域为;（2）.
【详解】
(1)由已知可得，
又正三角形的高为，则，
所以函数的最小正周期，即，得，
函数的值域为．
(2)因为，由(1)得
，
即，
由，得，
即＝，
故
.
25．（1） ；（2）能放，边长为；（3）
【详解】
（1）到直线的距离相等，
过的中点，
，
边长
（2）假设能放，设边长为，BC与的夹角，
由对称性，不妨设，
，，
两式相比可得：，
即，
，，，
故边长，
综上可得，能放.
（3）
.
，，，
所以，
又，，所以.