5.5.2简单的三角恒等变换　同步练习——2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

简单的三角恒等变换
一、单选题
1．
A． B． C． D．
2．的值等于（ ）
A． B．
C． D．
3．化简的结果可以是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C．-3 D．3
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知则（ ）
A． B． C． D．
8．若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值不可能为（ ）
A． B． C． D．0
二、多选题
9．下列三角式中，值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．为偶函数 B．在区间单调递减
C．最大值为2 D．为奇函数
11．下列各式中与相等的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是（ ）
A．图1菱形面积的最大值为100
B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为
C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12
D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为20
三、填空题
13．化简求值：_______.
14．若，则的值为________
15．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则＝____．（用数字作答）
16．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为___________.
四、解答题
17．求值：
（1）若，求的值.
（2）求的值.
18．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的值域．
19．已知，求证：．
20．如图，A，B是单位圆上的两个质点，B点坐标为（1，0），∠BOA＝60°，质点A以1弧度/秒的角速度按逆时针方向在单位圆上运动；质点B以1弧度/秒的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，过点A作AA1⊥y轴于A1，过点B作BB1⊥y轴于B1.
（1）求经过1秒后，∠BOA的弧度数；
（2）求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间；
（3）记A1B1的距离为y，请写出y与时间t的函数关系式，并求出y的最大值.
参考答案
1．C
2．A
3．B
4．C
5．A
6．D
因且，可知为锐角，为钝角，
故，，，
，，
所以．
故选：D
7．B
由得，
故.
所以.
故选：B
8．B
由可得，
化简可得，
即的图象和直线只有1个交点.
又，则.
当，即时，可得
当，即时，可得；
当，即时，可得
要使得的图象和直线只有1个交点，
9．ABC
10．AB
，
所以是偶函数，A正确，D错误.
，当时，减区间为，所以B正确.
最大值为，C错误.
故选：AB
11．BC
A：，不相等；
B：，相等；
C：，相等；
D：，不相等；
故选：BC.
12．ACD
解：因为直角三角形的斜边长为10，
设小边所对的角为，则直角三角形的两个直角边长为，，
所以图1菱形面积，故正确；
图1菱形的两条对角线之和为，故错误；
当图2小正方形的边长为2时，令长直角边为，短直角边为，可得，，
解得，，可得图1菱形的一条对角线长为12，一条对角线为16，故正确；
当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，令长直角边为，短直角边为，
由余弦定理可得，解得，，
可得图2小正方形的面积，故正确．
故选：．
13．
14．
，即，
∴，故.
故答案为：.
15．
根据题中的条件可得：
，
故答案是：.
16．
因为，
所以函数是偶函数，
因为，
所以函数的周期为.
当时，，
因为，所以，因此，
所以，
当时，，
因为，所以，因此，
所以，因此当时，，
由题中所给的性质可知：值域为.
故答案为：
17．
（1）
（2）
解：（1）
由，
等式左边分子、分母同除得，，解得，
则.
（2）
.
18．（1）；（2）.
解：
由题设知：，
（1）的最小正周期；
（2）时，有，则.
19．证明见解析.
证明：由已知，得，
∴，
∴，，
∴．
20．（1）；（2）秒；（3）；.
解（1）经过1秒后A运动的角度为1，B运动的角度为﹣1
∴
（2）设A、B第一次相遇时所用的时间是t，
则2t+＝2π.
∴t＝（秒），即第一次相遇的时间为秒.
（3）由题意可得，
＝
当即，k∈Z时，