2021-2022学年九年级下册数学 苏科版第七章 锐角三角函数 达标检测卷（word版含答案）

第七章达标检测卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．sin 30°的值为(　　)
A． B． C． D．
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sin B的值是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为(　　)
A． B． C． D．1
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，
cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是(　　)
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin E的值为(　　)
A． B． C． D．
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为(　　)
A． B． C． D．
7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则(　　)
A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝S2 D．S1＝S2
8．如图，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)
A．2 m B．2 m C．(2－2)m D．(2－2)m
二、填空题(每题3分，共30分)
9．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sin A＝，cos B＝，则∠C＝________．
10．比较大小：sin 81°________tan 47°(填“＜”“＝”或“＞”)．
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.
12．已知锐角∠A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则
sin A＝________．
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝6 cm，sin A＝，则菱形ABCD的面积是________cm2.
14．如图，在高度是21 m的小山山顶A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________(结果保留根号)．
15．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．
16．一次函数的图像经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，
CD＝5，则sin A等于________．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，
且＝.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE.若CF＝2，
AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E＝；
④S△DEF＝4.其中正确的是________．
三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)
19．计算：
(1)(2cos 45°－sin 60°)＋；　　　　
(2)(－2)0－3tan 30°－|－2|.
　　　　　　　　　　
20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
(1)已知c＝2，b＝，求∠B；
(2)已知c＝12，sin A＝，求b.
21．如图，已知 ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.
(1)求证：四边形DECF是平行四边形；
(2)若AB＝13，DF＝14，tan A＝，求CF的长．
22．如图，大海中某岛C的周围25 km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20 km后到达B处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)
23．如图，水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．
24．如图，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．
25．如图①是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝120 mm，支撑板长
CD＝80 mm，底座长DE＝90 mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)
(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度(参考数据：sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，tan 40°≈0.839，sin 26.6°≈0.448，cos 26.6°≈0.894，tan 26.6°≈0.5，≈1.732)．
答案
一、1．C　2．D　3．B
4．B　点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos ∠ACB＝10×＝8，则AB＝＝6.
5．A　6．D
7．D　点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sin B＝，∴AM＝3×sin 50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin 50°＝sin 50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin ∠DEN＝，∴DN＝7×sin 50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin 50°＝sin 50°，
∴S1＝S2.故选D.
8．B　点拨：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，AB＝4 m，∴AD＝4sin 60°＝2(m)．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AD＝×2＝2(m)．　
二、　9．60°　点拨：∵在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sin A＝，
cos B＝，∴∠A＝∠B＝60°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.
10．＜　点拨：∵sin 81°＜1，tan 47°＞tan 45°＝1，∴sin 81°＜tan 47°.
11．　12．
13．60　点拨：在Rt△ADE中，sin A＝＝，DE＝6 cm，∴AD＝10 cm，∴AB＝AD＝10 cm，∴S菱形ABCD＝AB·DE＝10×6＝60(cm2)．　
14．(7＋21)m
15．　点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan ∠BAD′＝＝＝.
16．y＝2x－　点拨：tan 45°＝1，tan 60°＝，－cos 60°＝－，－6tan 30°＝－2.设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据其图像经过点(1，)，，用待定系数法可求出k＝2，b＝－.
17．　点拨：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴BC＝＝＝8，∴sin A＝＝＝.
18．①②④
三、　19．解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.
(2)原式＝1－＋－2＝－1.
20．解：(1)∵sinB＝＝＝，∴∠B＝45°.
(2)∵c＝12，sinA＝＝，∴a＝4，∴b＝＝8.
21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.
又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.
∴四边形DECF是平行四边形．
(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.
∴由tan A＝＝tan ∠DCH＝，
易得DH＝12，CH＝5.
∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.
∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.
22．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
∴∠BCD＝∠CBM＝∠CBD＝45°.
∴CD＝BD.
设BD＝x km，则CD＝x km.
∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.
在Rt△CAD中，tan ∠CAD＝tan 30°＝＝，
∴AD＝CD＝x(km)．
∵AB＝20 km，AB＋BD＝AD，
∴20＋x＝x，
解得x＝10＋10，
∴CD＝10＋10≈27.3(km)＞25 km，
∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．
23．解：由题意得BG＝3.2 m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，
ME＝NF＝BC＝6 m.
在Rt△DEF中，＝，
∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．
在Rt△HMN中，＝，
∴HN＝2.5MN＝2.5×5.2＝13(m)．
∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．
∴加高后的坝底HD的长为29.4 m.
24．(1)证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，
∴∠E＝90°－∠ADE，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，
同理可得，∠ABD＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，
∴∠ADE＝(∠ABC＋∠BAC)＝90°－∠C，
∴∠E＝90°－(90°－∠C)＝∠C.
(2)解：延长AD交BC于点F.∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，
又∵BD?DE＝2?3，∴＝＝.
∴cos∠ABC＝＝.
25．解：(1)如图①，过点C作CH⊥DE于点H，作AM⊥DE交DE的反向延长线于点M，CN⊥AM于点N.
∵CD＝80，∠CDE＝60°，
∴sin 60°＝＝＝，
∴CH＝40≈40×1.732＝69.28.
易知MN＝CH，∠NCD＝∠CDE＝60°.
∵∠DCB＝80°，∴∠ACN＝180°－80°－60°＝40°.
∵sin∠ACN＝，AC＝AB－CB＝80，
∴AN＝80sin 40°≈80×0.643＝51.44.
∴AM＝AN＋NM≈51.44＋69.28≈120.7.
答：点A到直线DE的距离大约为120.7 mm.
(2)∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB＝90°.
如图②，连接BD.∵DC＝80，CB＝40.
∴tan∠CDB＝＝＝0.5.
∴∠CDB≈26.6°.
如图③，则∠C′DB′≈26.6°，
∵∠C′DE＝60°，∴∠B′DE≈60°－26.6°＝33.4°
答：CD旋转的角度约为33.4°.