2021-2022学年湘教版九年级数学上册4.2正切 同步达标测评（word版含答案）

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《4.2正切》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，四边形ABCD，A1B1BA，…，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形．已知∠ACB＝a，∠A1CB1＝a1，…，∠A5CB5＝a5．则tana tana1+tana1 tana2+…+tana4 tana5的值为（　　）
A． B． C．1 D．
2．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（　　）
A．2 B． C． D．
3．已知A，B都是锐角、且sinA＜sinB，则下列关系正确的是（　　）
A．∠A＞∠B B．tanA＞tanB
C．cosA＞cosB D．以上都不正确
4．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．如果α是锐角，且cosα＝，那么sinα的值是（　　）
A． B． C． D．2
6．如果α是锐角，且cosα＝，那么cos（90°﹣α）的值是（　　）
A． B． C． D．
7．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∠B等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．若tan（a+10°）＝，则锐角a的度数是（　　）
A．20° B．30° C．35° D．50°
9．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，则∠C的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　）
A．sin30°＜x＜sin60° B．cos30°＜x＜cos45°
C．tan30°＜x＜tan45° D．cot45°＜x＜cot30°
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则cosA＝　 　．
12．若α、β均为锐角，则以下有4个命题：①若sinα＜sinβ，则α＜β；②若α+β＝90°，则sinα＝cosβ；③存在一个角α，使sinα＝1.02；④tanα＝．其中正确命题的序号是　 　．（多填或错填得0分，少填的酌情给分）
13．如果α是锐角，且sin2α十cos235°＝1，那么α＝　 　度．
14．观察下列等式
①sin30°＝ cos60°＝
②sin45°＝ cos45°＝
③sin60°＝ cos30°＝
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）＝　 　．
15．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝　 　．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．计算：（1）．
（2）（-1）2021．
17．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝　 　；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
18．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．
（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是　 　；
（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长；并写出α的取值范围．
19．如图，已知∠ABC和射线BD上一点P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．
（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m，试比较PE、PF的大小；
（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，且α＞β．试判断PE、PF的大小，并给出证明．
20．附加题：如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，则sinA＝，cosA＝，tanA＝．我们不难发现：sin260°+cos260°＝1，…试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：根据锐角三角函数的定义，得tana＝＝1，tana1＝＝，tana2＝＝…，tana5＝＝，
则tana tana1+tana1 tana2+…+tana4 tana5＝1×+×+×+×+×
＝1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣
＝1﹣
＝．
故选：A．
2．解：如图：，
由勾股定理，得
AC＝，AB＝2，BC＝，
∴△ABC为直角三角形，
∴tan∠B＝＝，
故选：D．
3．解：∵A，B都是锐角、且sinA＜sinB，
∴∠A＜∠B，
∴tanA＜tanB，cosA＞cosB，
∴A、B、D选项都是错误的，C选项是正确的．
故选：C．
4．解：根据题意，知
0°＜∠B＜45°．
又sin45°＝，
∴0＜n＜． 故选：A．
5．解：∵sin2α+cos2α＝1，
∴sinα＝＝＝．
故选：C．
6．解：根据题意，可以把α放到直角三角形中．
由cosα＝，设直角三角形中，α的邻边是4k，斜边是5k．
则其对边是3k．
∴sinα＝．
∴cos（90°﹣α）＝sinα＝．
故选：B．
7．解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，
∴∠A是锐角，
∵tanA＝，
∴∠A＝60°
∴∠B＝30°．
故选：A．
8．解：∵tan（a+10°）＝，而tan60°＝，
∴a+10°＝60°，
∴a＝50°．
故选：D．
9．解：∵∠A，∠B都是锐角，|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
则∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．
故选：D．
10．解：由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．
A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；
B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，故本选项错误；
C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；
D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分30分）
11．解：如图，∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴cosA＝＝＝．
故答案为：．
12．解：∵sinα＜sinβ，则α＜β；
故此选项正确；
②若α+β＝90°，则sinα＝cos（90°﹣α）＝cosβ，
∴故此选项正确；
③存在一个角α，sinα＝，
∴sinα≤1，
∴sinα＝1.02，故此选项错误；
④tanα＝．根据对应边之间关系得出，
故此选项正确．
故答案为：①②④．
13．解：∵sin2α十cos235°＝1，
∴α＝35°．
14．解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）＝1；
sin245°+sin2（90°﹣45°）＝1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）＝1；
故可得sin2a+sin2（90°﹣a）＝1．
故答案为：1．
15．解：∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
三．解答题（共5小题，满分40分）
16．解：（1）原式＝+
＝+
＝2﹣+
＝2；
（2）原式＝1+2﹣6×+（﹣1）
＝1+2﹣3﹣1
＝﹣．
17．解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
18．解：（1）连接CD，OM．
根据旋转的性质可得，MC＝MD，OC＝OD，又OM是公共边，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM＝∠DOM，
又∵OC＝OD，
∴CD⊥OM；
（2）由（1）知∠COM＝∠DOM，
∴∠COM＝，
在Rt△COM中，CM＝OC tan∠COM＝m tan；
因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．
19．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝＝sin40°
在Rt△BPF中，sin∠FBP＝＝sin20°
又sin40°＞sin20°
∴PE＞PF；
（2）根据（1）得
sin∠EBP＝＝sinα，sin∠FBP＝＝sinβ
又∵α＞β
∴sinα＞sinβ
∴PE＞PF．
20．解：存在的一般关系有：
（1）sin2A+cos2A＝1；
（2）tanA＝．
证明：（1）∵sinA＝，cosA＝，
a2+b2＝c2，
∴sin2A+cos2A＝＝1．
（2）∵sinA＝，cosA＝，
∴tanA＝＝，
＝．