2021-2022学年湘教版九年级数学上册4.3解直角三角形 同步达标测评 （Word版含答案）

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《4.3解直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（　　）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
3．已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么等腰三角形的腰长等于（　　）
A．6或3 B．6或12﹣2 C．12﹣2 D．3或12﹣2
4．如图所示，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC，若tanB＝，则tan∠CAD的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　）
A． B． C． D．
6．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB＝∠MBC，则tan∠ABM的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的周长为20cm，sin∠BAD＝，DE⊥AB于点E，下列结论中：①SABCD＝15cm2；②BE＝1cm； ③AC＝3BD．正确的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tanB＝．AC上有一点E，满足AE：EC＝2：3．那么，tan∠ADE是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题，满分33分）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 　 　．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC边上，BE＝AD，AE、BD相交于点F，且tan∠AFD＝，若AE＝13，BD＝15，则AD的长为　 　．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是　 　．
13．如图，四边形ABCD，AD∥BC，AC＝BC，tan∠ACB＝，∠DAC＝∠DEC，AE＝，AD＝6，则CE＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：2，则tan∠CAD＝　 　．
15．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝　 　．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为△ABC内部一点，且∠ADB+∠BAC＝240°，∠ADC＝2∠ABC，若3BD＝2CD，则tan∠ADC的值为　 　．
17．△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知，则bsinB+csinC的值是等于　 　．
18．如图，正△EFG内接于正方形ABCD，其中E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若，则＝　 　．
19．如图，在直角坐标系中OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为　 　．
三．解答题（共8小题，满分63分）
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20．求sinA的值．
21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
22．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
23．如图，tanB＝且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA＝3，DC＝7．
（1）求cosB，sinB的值；
（2）连接BD，求BD的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．
（1）求线段CE的长；
（2）求sin∠BDE的值．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
26．如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．
（1）求sin∠ABE的值；
（2）求点E到直线BC的距离．
27．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：
（1）线段DC的长；
（2）sin∠EDC的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分）
1．解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
2．解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
3．解：设腰长为a，底边长为b
（1）如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得＝，则b＝a
又∵2a+b＝20，
∴a＝6．
（2）如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高BE，
设AB＝AC＝3x，则AE＝2x，EC＝x，
∴BE＝x，BC＝x，
∴6x+x＝20，
∴x＝，
∴AB＝3x＝12﹣2
故选：B．
4．解：如图，作DE∥AC交AB于E．
在Rt△ABD中，∵tanB＝＝
∴可以假设AD＝5k，AB＝3k，
∴BD＝k，CD＝k，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，＝＝，
∴BE＝2k，
∴AE＝k，
∴tan∠CAD＝tan∠ADE＝＝＝，
故选：D．
5．解：过D作EF⊥l1，交l1于E，交l4于F，
∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4，
∴EF和l2，l3，l4的夹角都是90°，
即EF与l2，l3，l4都垂直，
∴DE＝1，DF＝2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠ADE+∠CDF＝90°，
又∵∠α+∠ADE＝90°，
∴∠α＝∠CDF，
∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90°，
∴△ADE≌△DCF，
∴DE＝CF＝1，
∴在Rt△CDF中，CD＝＝，
∴sinα＝sin∠CDF＝＝＝．
故选：B．
6．解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT＝90°，
∠OTB+∠MBT＝90°，
∴∠ABM＝∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴＝，即MB2＝2AM BT①
令DN＝1，CT＝MD＝K，则：AM＝2﹣K，BM＝，BT＝2+K，
代入①中得：4+（2﹣K）2＝2（2﹣K）（2+K），
解方程得：K1＝0（舍去），K2＝．
∴AM＝2﹣＝．
tan∠ABM＝＝＝．
故选：A．
7．解：由题意可得，菱形的边长为5cm，
又∵sin∠BAD＝＝，
∴DE＝3，所以AE＝4，
∴S菱形ABCD＝5×3＝15cm2，BE＝AB﹣AE＝1cm，
∴BD＝＝，
∴AC＝15×2÷＝3，
∴AC＝3BD．
故可得①②③正确，共三个．
故选：D．
8．解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵tanB＝tanC＝＝，
∴设CD＝3X，则AD＝4X．
∵AE：EC＝AF：FD＝（AD﹣FD）：FD＝2：3，
∴FD＝X，AF＝X．
∵AF：AD＝EF：CD＝2：5，
∴EF＝X．
∴tan∠ADE＝＝．
故选：C．
二．填空题（共11小题，满分33分）
9．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
10．解：作NP⊥AB于点P，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB＝＝＝5，
设AM长为x，则BM＝5﹣x，
∵tan∠MAN＝＝，
∴AN＝2MN，
∴AM＝＝MN，
∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，
同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，
∵O为BM中点，
∴BO＝BM＝，
∴AO＝AB﹣BO＝，
∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，
在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，
即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，ON2取最小值为20，
∴ON最小值为2．
故答案为：2．
11．解：过点A，B作BC，AE的平行线交于点M，连接DM，作DN⊥BM于点N，
则四边形AMBE为平行四边形，
∴∠AFD＝∠DBN，
∴tan∠DBN＝tan∠AFD＝＝．
设DN＝4x，BN＝3x，
则BD＝＝5x，
∴5x＝15，
解得x＝3，
∴DN＝4x＝12，BN＝3x＝9，
∵BM＝AE＝13，
∴MN＝BM﹣BN＝4，
∴DM＝＝＝4．
∵BC∥AM，∠C＝90°，
∴∠CAM＝90°，
∵BE＝AD，BE＝AM，
∴△DAM为等腰直角三角形，
∴∠MDA＝∠DMA＝45°，
∴sin45°＝＝，
∴AD＝AM＝BE＝DM＝4，
故答案为：4．
12．解：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
13．解：过B作BM⊥AC于M，过E作EN⊥AC于N，过E作EH⊥DA交DA的延长线于点H，
在Rt△BMC中，
∴tan∠ACB＝，
∴
设CM＝4a，则BM＝3a．
∴BC＝＝5a．
∵AC＝BC，
∴AC＝5a．
∴AM＝AC﹣CM＝a．
∴tan∠MAB＝．
∴＝3．
∵AE＝，AN2+EN2＝AE2．
∴AN＝1，NE＝3．
∵AD∥BC，
∴∠EAH＝∠CBA．
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB．
∴∠EAH＝∠CAB．
∴AE是∠CAB的平分线．
∵EN⊥AC，EH⊥DA，
∴EN＝EH＝3．
在△ANE和△AHE中：
．
∴△ANE≌△AHE（AAS）．
∴AN＝AH＝1．
∴DH＝AD+DH＝6+1＝7．
∵∠DAC＝∠DEC，
∴∠ADE＝∠ACE．
在△DHE和△CNE中：
．
∴△DHE≌△CNE（AAS）．
∴CN＝DH＝7．
∴CE＝＝．
故答案为：．
14．解：过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点F，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠DCF，BE＝CE，
由sinB＝，设AE＝4x，则AB＝AC＝5x，
∴BE＝CE＝3x，
∵CD：AC＝1：2，
∴CD＝x，
∵sin∠DCF＝sinB＝，
∴DF＝sin∠DCF CD＝×x＝2x，
CF＝＝x，
∴AF＝AC+CF＝5x+x＝x，
∴tan∠CAD＝＝＝，
故答案为：．
15．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ECG＝∠ABE，
∴∠ECG＝∠CBE，
∵∠CEG＝∠CEB，
∴△ECG∽△EBC，
∴＝＝，
∴EC2＝EG EB＝5×（5+4）＝45，
∵EC＞0，
∴EC＝3，
在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，
∴BT＝，
∴ET＝＝＝，
∴CT＝ET+CE＝，
∴BC＝＝＝6，
∴CG＝＝10，
∵∠ECG＝∠FBG，
∴∠EFG＝∠CBG，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴△EGF∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝3，
∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，
∴△EAF∽△BAC，
∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，
∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∵AE AC＝AF AB，
∴x（x+3）＝（2x﹣） 2x，
解得x＝，
∴AE＝ET＝，
∴点A与点T重合，
∴AB＝2AE＝，
∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．
故答案为．
16．解：在CD上取一点T，使得∠DAT＝60°，过点T作TH⊥AD于H．
∵∠ADB+∠BAC＝240°，
∴∠ADB+∠BAD+60°+∠CAT＝240°，
∴∠ADB+∠BAD+∠CAT＝180°，
∵∠ADB+∠BAD+∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠CAT，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ADC＝2∠ABC，∠ADT+∠DAT+∠ATD＝180°，∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝∠DAT+∠ATD＝60°+∠ATD，
∴∠ATC+∠ABC＝∠ATC+∠ATD+∠DAT＝240°，
∴∠ADB＝∠ATC，
∴△ADB≌△CTA（AAS），
∴BD＝AT，AD＝CT，
∵3BD＝2CD，
∴可以假设BD＝2k，CD＝3k，则AH＝AT cos60°＝k，HT＝AT sin60°＝k，
设AD＝CT＝x，则DH＝x﹣k，
在Rt△DHT中，DT2＝DH2+HT2，
∴（x﹣k）2+（）2＝（3k﹣x）2，
∴x＝k，
∴DH＝k，
∴tan∠ADC＝＝＝4，
故答案为：4．
17．解：∵a2＝b2+c2，
∴△ABC是直角三角形，
其中a是斜边．
∴bsinB+csinC＝，
故答案为．
18．解：如图，作EK⊥FG，K是FG的中点，连AK、KB，易知E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆
∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°．
∴三角形ABK是等边三角形
作KM⊥AB，M是AB的中点，设AB＝6
则EB＝AB＝2，MB＝3，ME＝1，MK＝6sin60°＝3
∴EK＝；
；
．
故．
故答案为．
19．解：过点B′作B′D⊥y轴于D，B′E⊥x轴于E，
∵OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，4），
∴BC＝OC＝4，
∵∠BPC＝60°，
∴由折叠的性质求得B′C＝BC＝4，∠B′CP＝∠BCP＝30°
∴∠DCB′＝90°﹣∠B′CP﹣∠BCP＝30°，
∴B′D＝B′C＝CB＝2，CD＝BC＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝4﹣2，
∴B’点的坐标为．
三．解答题（共8小题，满分63分）
20．解：在直角三角形BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10，
∴BC＝BD sin∠BDC＝10×＝10．
在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝20，
∴sinA＝＝＝．
21．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
22．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
23．解：（1）延长CD，BA，它们相交于点E，如图，
∵DC⊥BC于点C，
∴∠BCE＝90°．
∵tanB＝，tanB＝，
∴．
设CE＝4k，则BC＝3k．
∴BE＝．
∴cosB＝．
sinB＝．
（2）如下图：
∵DA⊥BA于点A，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠E+∠CBE＝90°．
∴∠ADE＝∠CBE．
∴cos∠ADE＝cos∠CBE＝．
∵cos∠ADE＝，
∴．
∵AD＝3，
∴DE＝5．
∴CE＝CD+DE＝5+7＝12．
∵tan∠CBE＝，tan∠CBE＝，
∴．
∴BC＝9．
∴BD＝．
24．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝，
∴＝，
∴AB＝10，
∴BC＝＝8，
又∵D为AB中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝5，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝，cos∠B＝，
∴，
∴CE＝；
（2）作EF⊥AB交AB于F，
由（1）知CE＝，
则BE＝8﹣＝，DE＝＝，
设BF＝x，则DF＝BD﹣BF＝5﹣x，
在Rt△DEF中，EF2＝DE2﹣DF2＝，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2﹣BF2＝，
∴﹣（5﹣x）2＝﹣x2，
解得x＝，
∴EF2＝（）2﹣（）2＝，
EF＝，
∴sin∠BDE＝＝．
25．解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝∠CFE＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠CEF＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CEF，
∴sinB＝sin∠CEF；
（2）∵AB＝15，BC＝25，
在Rt△ABC中，AC＝＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝15，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（AAS）．
26．解：（1）过D作DF⊥AB于F，如图：
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD＝，
∴BD＝＝，
Rt△ADF中，DF＝AD sin∠BAC＝，
Rt△BDF中，sin∠ABE＝＝；
（2）过A作AH⊥BE于H，过E作EG∥AC交BC延长线于G，如图：
∵∠ADH＝∠BDC，∠BCD＝∠AHD＝90°，
∴△BCD∽△AHD，
∴，
∵BC＝2，CD＝AD＝，BD＝，
∴，解得AH＝，HD＝，
∵∠AEB＝∠BAC＝30°，
∴HE＝＝，
∴BE＝BD+DH+HE＝，
∵EG∥AC，
∴∠BDC＝∠BEG，
而∠CBD＝∠GBE，
∴△CBD∽△GBE，
∴，即，
∴EG＝．
方法二：过E作EG⊥BC于G，
∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠DBA，
∴△ABD∽△ABE，
∴＝，
即，
∴BE＝，
∵DC⊥BC，EG⊥BG，
∴DC∥BG，
∴，即＝，
∴EG＝，
∴点E到直线BC的距离为．
27．解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC．
∴sinB＝＝．
∵AD＝12，
∴AB＝＝＝15．
在Rt△ABD中，∵BD＝＝＝9，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5．
（2）在Rt△ADC中，∵AD＝12，DC＝5，
∴AC＝13．
∵E是AC的中点，
∴DE＝EC，
∴∠EDC＝∠C．
∴sin∠EDC＝sin∠C＝＝．