2021-2022学年湘教版九年级数学上册4.4解直角三角形的应用同步达标测评 （Word版含答案）

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《4.4解直角三角形的应用》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（　　）
A．15千米 B．10千米 C．10千米 D．5千米
2．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　）
A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里
3．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（　　）
A．10米 B．24米 C．25米 D．26米
4．如图，两栋大楼相距100米，从甲楼顶部看乙楼的仰角为26°，若甲楼高为36米，则乙楼的高度为（　　）
A．（36+100sin26°）米 B．（36+100tan26°）米
C．（36+100cos26°）米 D．（36+）米
5．如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是（　　）
A．（480+300）米 B．（960+300）米
C．780米 D．1260米
6．如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　）
A． B． C． D．24
7．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　）
A．m B．4m C．4m D．8m
8．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（　　）
A．20米 B．10米 C．10米 D．20米
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在一次数学课外实践活动中，小亮在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1.5m，则旗杆高BC为　 　m（结果保留根号）．
10．勾股定理是世界文明宝库中的一颗璀璨明珠，我国汉代数学家赵爽将四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形ABCD，同时留下一个小正方形EFGH的空隙（如图），利用面积证明了勾股定理．如果小正方形EFGH的面积是4，sin∠GBC＝，那么大正方形ABCD的面积等于　 　．
11．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝6m，已知木箱高BE＝，斜坡角为30°，则木箱端点E距地面AC的高度EF为　 　m．
12．一座建于若干年前的水库大坝，目前坝高4米，现要在不改变坝高的情况下修整加固，将背水坡AB的坡度由1：0.75改为1：2，则修整后的大坝横截面积增加了　 　平方米．
13．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　 　千米．
14．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为　 　米（结果保留根号）．
15．如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行　 　海里就开始有触礁的危险．
16．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为　 　cm．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．吴兴区某中学开展研学实践活动，来到了“两山”理论发源地﹣﹣安吉余村，看到了“两山”纪念碑．如图，想测量纪念碑AB的高度，小明在纪念碑前D处用测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；小明又在同一水平线上的E处用测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝8m，求该纪念碑AB的高度．（≈1.7，结果精确到0.1m）
18．如图，海中有一个小岛A，它的周围25海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60°的B处，往东航行20海里后到达该岛南偏西45°的C处后，货船继续向东航行，你认为货船在航行途中有没有触礁的危险．
19．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台风中心距离小岛200海里．
（1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；
（2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）
20．水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：如图，
∵BC⊥AE，
∴∠AEB＝90°，
∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，
∴BE＝5米，AE＝5千米，
∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），
∴AC＝（千米），
故选：C．
2．解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，
∴AC＝BC tan60°＝5（海里），
即海监船C与货轮A的距离是5海里，
故选：B．
3．解：作AB⊥CB于B，
由题意得，AB＝10米，
∵斜坡的坡度i＝1：2.4，
∴＝，即＝，
解得，BC＝24，
由勾股定理得，AC＝＝＝26（米），
故选：D．
4．解：由题意知：AE＝CD＝36米，AC＝DE＝100米，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，
∴BC＝ACtan∠BAC＝100tan26°（米），
则BD＝CD+BC＝（36+100tan26°）米，
即乙楼的高度为（36+100tan26°）米，
故选：B．
5．解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于E点，并交海面于F点．
已知AB＝960米，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°，
∵∠BCA＝∠EBC﹣∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴BC＝BA＝960（米）．
在Rt△BEC中，sin∠EBC＝，
∴CE＝BC sin60°＝960×＝480（米）．
∴CF＝CE+EF＝（480+300）米，
故选：A．
6．解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．
7．解：作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBE＝30°，
∴CE＝BC＝4m．
故选：C．
8．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴BD＝AD＝20米，
∴BC＝BD sin60°＝10（米），
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：由题意得，∠BAE＝60°，DC＝AE＝10m，AD＝EC＝1.5m，
在Rt△ABE中，BE＝AE tan∠BAE＝10×tan60°＝10（m），
∴BC＝BE+EC＝（10+1.5）（m），
故答案为：（10+1.5）．
10．解：在Rt△CBG中，sin∠GBC＝，
∴设BC＝x，CG＝x，
∴BG＝＝＝3x，
∵小正方形EFGH的面积是4，
∴FG＝2，
∴x+2＝3x，
∴x＝1，
∴BC＝，
∴大正方形ABCD的面积等于10，
故答案为：10．
11．解：设AB、EF交于点D，
∵∠DAF＝30°，
∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BDE＝60°，
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴＝，
解得，DE＝2（m），
∴BD＝1m，
∴AD＝AB﹣BD＝5（m），
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝（m），
∴EF＝DE+DF＝（m），
故答案为：．
12．解：∵背水坡AB的坡度为1：0.75，AC＝4，
∴＝0.75，
解得，BC＝3，
∵坡AD的坡度为1：2，AC＝4，
∴CD＝8，
∴BD＝DC﹣BC＝5，
∴△ADB的面积＝×5×4＝10（平方米），
故答案为：10．
13．解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
14．解：在Rt△ADM中，
∵AM＝4，∠MAD＝45°，
∴DM＝AM＝4，
∵AB＝8，
∴MB＝AM+AB＝12，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴MC＝MBtan30°＝4，
∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）
答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，
故答案为：（4﹣4）．
15．解：只要求出A到BD的最短距离是否在以A为圆心，以10.5海里的圆内或圆上即可，
如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，
∴BD＝AD＝12海里，
∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD＝6海里，
由勾股定理得：AC＝＝6（海里），
如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，
在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．
解得x＝4.5．
渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．
故答案是：4.5．
16．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：设CD＝xm，
∵∠ADC＝60°，∠CDB＝45°，
∴AC＝x tan60＝x，CB＝x tan45°＝x（m），
∵∠AED＝30°，DE＝8m，
∵∠AEC＝30°，
∴CE＝AC，
∴×x＝x+8，
解得x＝4（m），
∴AB＝x+x＝4+4≈10.8（m）．
答：该纪念碑AB的高度约为10.8m．
18．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵∠ABC＝30°，∠ACD＝45°，
∴CD＝AD＝x，BD＝＝x，
∴BC＝BD﹣CD＝﹣x＝20（海里），
解得：x＝，
所以货船在航行途中无触礁的危险．
19．解：（1）∵∠MAC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
又∵BP⊥AC，
∴∠APB＝90°，
∴∠ABP＝60°，
又∵∠CBN＝29°，∠ABN＝90°，
∴∠ABC＝119°，
∴∠PBC＝∠ABC﹣∠ABP＝59°；
（2）不会受到影响．理由如下：
由（1）可知，∠PBC＝59°，
∴∠C＝90°﹣∠PBC＝31°，
又∵tan31°＝0.60，
∴，
设BP为x海里，
则AP＝海里，CP＝海里，
∴，
解得：x≈59，
∵59＞50，
∴沿海城市B不会受到台风影响．
20．解：（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，
∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，
得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，
得BF＝m，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；
则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：，
∴EH＝3m，
∴AE＝EH﹣AH＝3﹣3（m），
∵（3）2＝27，（3+2.5）2＝30.25，
∴3﹣3＜2.5，
∴此加固工程对古树没有影响．