2021-2022学年湘教版九年级数学上册第4章锐角三角函数 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年湘教版九年级数学上册《第4章锐角三角函数》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，cosA＝，那么sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
3．sin60°的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）
A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
5．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（　　）
A． B． C． D．h cosα
6．如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（　　）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
7．某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）
A．3.5sin29°米 B．3.5cos29°米
C．3.5tan29°米 D．米
8．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　）
A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米
9．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（　　）
A．40海里 B．60海里 C．20海里 D．40海里
二．填空题（共9小题，满分27分）
11．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　 　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
12．在△ABC中，∠C＝90°，若tanA＝，则sinB＝　 　．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则sin＝　 　．
14．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为　 　．
15．如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是　 　米（结果保留根号）．
16．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了　 　米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
17．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．
18．如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为　 　米．（结果保留一位小数．参考数据：sin54°＝0.8090，cos54°＝0.5878，tan54°＝1.3764）
19．如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行　 　小时即可到达．（结果保留根号）
三．解答题（共10小题，满分63分）
20．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
21．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．
（1）求楼间距AB；
（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）
22．汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC＝30米，∠APC＝71°，∠BPC＝35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
23．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．
（1）求坝高；
（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）
24．如图，信号塔PQ座落在坡度i＝1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）
25．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）
26．如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．
27．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．
28．一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．
（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；
（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？
29．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD＝200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5，
∴cosB＝＝，
选：A．
2．解：∵Rt△ABC中，cosA＝，
∴sinA＝＝，
故选：B．
3．解：sin60°＝．
故选：B．
4．解：由tan∠B＝，得
AC＝BC tanB＝5×tan26°．
故选：D．
5．解：∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，
∴BC＝＝，
故选：B．
6．解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，
设DE＝xm，CE＝2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2＝1952，
解得x≈75m，
DE＝75m，CE＝2.4x＝180m，
（方法二：由i＝1：2.4＝5：12，设DE＝5xm，CE＝12xm，
由勾股定理，得CD＝13x，
∴13x＝195，
∴x＝15，∴DE＝75m，CE＝180m）
EB＝BC﹣CE＝306﹣180＝126m．
∵AF∥DG，
∴∠1＝∠ADG＝20°，
tan∠1＝tan∠ADG＝＝0.364．
AF＝EB＝126m，
tan∠1＝＝0.364，
DF＝0.364AF＝0.364×126＝45.9，
AB＝FE＝DE﹣DF＝75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
7．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB＝，
∴AB＝BCsin∠ACB＝3.5sin29°，
故选：A．
8．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，
∴tanα＝，
∴AB＝＝（米）．
故选：D．
9．解：在Rt△CDE中，
∵CD＝20m，DE＝10m，
∴sin∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝＝＝20m，
∴AB＝BC sin60°＝20×＝30m．
故选：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30（m），
故选：B．
10．解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（海里），故选：D．
二．填空题（共9小题，满分27分）
11．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
12．解：如图所示：
∵∠C＝90°，tanA＝，
∴设BC＝x，则AC＝2x，故AB＝x，
则sinB＝＝＝．
故答案为：．
13．解：∵sinA＝＝，
∴∠A＝60°，
∴sin＝sin30°＝．
故答案为：．
14．解：在Rt△CDE中，tanC＝，CD＝x
∴DE＝x，CE＝x，
∴BE＝10﹣x，
∴S△BED＝×（10﹣x） x＝﹣x2+3x．
∵DF＝BF，
∴S＝S△BED＝x2，
故答案为S＝x2．
15．解：如图，作AC⊥OB于点C，
∵AO＝100米，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝100×＝米．
故答案为：50．
16．解：如图在Rt△ABC中，
AC＝AB sin34°＝500×0.56≈280米，
∴这名滑雪运动员的高度下降了280米．
故答案为：280．
17．解：由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°
∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B＝
∴HB＝＝
＝＝1200（米）．
∴AB＝HB﹣HA
＝1200﹣1200
＝1200（﹣1）米
故答案为：1200（﹣1）
18．解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为15.3
19．解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，
在直角△AQP中，∠PAQ＝45°，则AQ＝PQ＝60×1.5+BQ＝90+BQ（海里），
所以 BQ＝PQ﹣90．
在直角△BPQ中，∠BPQ＝30°，则BQ＝PQ tan30°＝PQ（海里），
所以 PQ﹣90＝PQ，
所以 PQ＝45（3+）（海里）
所以 MN＝PQ＝45（3+）（海里）
在直角△BMN中，∠MBN＝30°，
所以 BM＝2MN＝90（3+）（海里）
所以 ＝（小时）
故答案是：．
三．解答题（共10小题，满分63分）
20．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝＝＝1．
21．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，
则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，
tan32.3°＝，
∴PE＝x tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，
tan55.7°＝，
∴PF＝x tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，
可得x tan55.7°﹣x tan32.3°＝42，
解得：x＝50
∴楼间距AB＝50m，
（2）由（1）可得：PE＝50 tan32.3°＝31.5m，
∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m
由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．
22．解：在Rt△APC中，AC＝PCtan∠APC＝30tan71°≈30×2.90＝87，
在Rt△BPC中，BC＝PCtan∠BPC＝30tan35°≈30×0.70＝21，
则AB＝AC﹣BC＝87﹣21＝66，
∴该汽车的实际速度为＝11m/s，
又∵40km/h≈11.1m/s，
∴该车没有超速．
23．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．
由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，
∵四边形DMNC是矩形，
∴DM＝CN＝2x，
在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，
∴BN＝x，
∵x+3+x＝14，
∴x＝3，
∴DM＝6，
答：坝高为6m．
（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，
由△EFH∽△FBH，可得＝，
即＝，
解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），
∴DF＝2﹣7，
答：DF的长为（2﹣7）m．
24．解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．
在Rt△QEN中，设EN＝x，则EQ＝2x，
∵QN2＝EN2+QE2，
∴20＝5x2，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴EN＝2，EQ＝MF＝4，
∵MN＝3，
∴FQ＝EM＝1，
在Rt△PFM中，PF＝FM tan60°＝4，
∴PQ＝PF+FQ＝4+1．
25．解：∵EC∥AD，
∴∠A＝30°，∠CBD＝45°，CD＝200，
∵CD⊥AB于点D．
∴在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，
∴AD＝，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°
∴DB＝CD＝200，
∴AB＝AD﹣DB＝200﹣200，
答：A、B两点间的距离为（200﹣200）米．
26．解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，
由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24m，
设AM＝xm，则CN＝xm，
在Rt△AFM中，MF＝，
在Rt△CNH中，HN＝，
∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，
即8＝x+x﹣24，
解得，x≈11.7，
∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，
答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．
27．解：过C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝AC＝50海里，
在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD＝100海里≈141海里，
则此时船距灯塔的距离为141海里．
28．解：（1）作CP⊥AB于P，
由题意可得出：∠A＝30°，AP＝2000米，
则CP＝AC＝1000米；
（2）∵在Rt△PBC中，PC＝1000，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝1000米．
∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，
∴他到达宾馆需要的时间为＝10＜15，
∴他在15分钟内能到达宾馆．
29．解：由题意得：∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，
在Rt△CDB中，tan∠DCB＝，
解得：DB＝200，
在Rt△CDA中，tan∠DCA＝，
解得：DA＝200，
∴AB＝DA﹣DB＝200﹣200≈146米，
轿车速度，
答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．