2021-2022学年人教版九年级数学 上册21.2.2 公式法 课件（44张）

(共44张PPT)
人教版数学 九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
解：
移项，得 .
配方 .
由此可得 .
利用配方法解一元二次方程
导入新知
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x+ )2 =－q＋ ( )2
【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.灵活应用 =b －4ac 的值识别一元二次方程根的情况.
3.会熟练应用公式法解一元二次方程.
学习目标
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
新知一 公式法的概念
一元二次方程的一般形式是什么？
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
方程两边都除以a，得 ,
解:
移项，得 ，
配方，得 ,
即 .
一元二次方程的求根公式
当
， .
由上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c 代入式子 ，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数根吗？
公式法的概念
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例 用公式法解方程：
公式法解方程
（1）x2-4x-7=0；
∴
典例精析
解：
则方程有两个相等的实数根：
（2）2x2-2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解：原方程可化为 .
则方程有两个不相等的实数根
（3）5x2-3x=x+1;
.
.
解：原方程可化为 .
方程无实数根.
（4）x2+17=8x.
.
（1）当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根;
（2）当
时，一元二次方程有两个相
等的实数根;
（3）当
时，一元二次方程没有实
数根.
方法点拨
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 的值.
3. (1)当 >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根.
(2)当 =0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根.
（3）当 <0时，方程无实数根.
用公式法解方程：
解：a=3, b=-6, c=-2,
=b2-4ac=(-6)2-4×3×(-2)=60.
巩固练习
用公式法解下列方程：
（1） x2＋x－1 = 0 （2）x2－2
（3） 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
新知二 一元二次方程的根的情况
合作探究
【思考】
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
（3）没有实数根.
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“ ”来表示，即 ＝b2-4ac.
一元二次方程的根的情况
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0;
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0;
当一元二次方程没有实数根时， b2-4ac ＜ 0.
【注意】
一元二次方程的根的情况
例1 不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6,
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0.
该方程有两个相等的实数根.
解： 移项，得 x2+4x-2=0,
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2,
△= b2-4ac
=16-4×1×（-2）=24＞0.
该方程有两个不相等的实数根.
利用判别式识别一元二次方程的根的情况
（2）x2+4x=2;
（1） ;
典例精析
（3）4x2+1=-3x;
解：移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3 ，c＝1,
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0.
∴该方程没有实数根.
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）,
∵ △= b2-4ac
=（-2m） -4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0.
∴该方程有两个实数根.
（4）x -2mx+4（m-1）=0.
（2）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式
子是（ ）
A. b -4ac＞0 B. b -4ac＜0
C. b -4ac≤0 D. b -4ac≥0
（1）下列方程中，没有实数根的方程是（ ）
A.x =9 B.4x =3(4x-1)
C.x(x+1)=1 D.2y +6y+7=0
D
D
选一选.
巩固练习
例2 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根.
利用判别式求字母的值或取值范围
典例精析
m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根.
解：
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0,
∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0,
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根.
巩固练习
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.有一个实数
D.没有实数根
B
课堂练习
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等 的实根，则k的取值范围是 （ ）
A. k>-1 B. k>-1 且k≠ 0
C. k<1 D. k<1 且k≠0
B
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵ 没有实数根，
∴ 4-4(1-m)<0, ∴m<0.
对于方程 x2＋mx＝1-2m ，即 .
，∵ ，∴ △>0.
∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
公式法
定义
把各系数直接带入求根公式的解一元二次方程的方法.
步骤
一化成一般形式， 并写出a，b，c的值；
二求出b2-4ac的值；
三;
四写出方程的解：x1, x2.
应用
用判别式△= b2-4ac判定一元二次方程根的情况.
归纳新知
1．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是(　　)
A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0
C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
2．下列关于x的方程ax2－bx＝0(a，b是不为0的常数)的根的情况
判断正确的是(　　)
A．无实数根
B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．有且只有一个实数根
A
B
课后练习
3．(2020·吉林)一元二次方程x2＋3x－1＝0根的判别式的值为________．
4．(2020·辽阳)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0无实数根，
则k的取值范围是____．
k＜－1
13
5．(教材P17T4变式)利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)9x2－6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，
∴此方程有两个相等的实数根
(2)8x2＋4x＝－3；
　解：化为一般形式为8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，
∴Δ＝42－4×8×3＝－80＜0，∴此方程没有实数根
(3)2(x2－1)＋5x＝0.
　解：化为一般形式为2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，
∴Δ＝52－4×2×(－2)＝41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根
B
A
8．一元二次方程x2－x－6＝0中，b2－4ac＝_____，
可得x1＝________，x2＝________.
25
3
－2
9．用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
(2)8x2－8x＋1＝0；
10．已知m，n是方程x2－x－1＝0的两个解，若m＞n，则m的值应在(　　)
A．0和1之间 B．1和1.5之间
C．1.5和2之间 D．2和3之间
11．(2020·潍坊)关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－k＝0根的情况，
下列说法正确的是(　　)
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
C
A
12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根，
则a满足的条件是_________．
13．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．
已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程，
且有两个相等的实数根，则mn＝____.
a≥－5
－2
14．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
15．(教材P17T13变式)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|.
(1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根；
(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另外一个根．
解：(1)原方程整理得x2－5x＋6－|m|＝0，
Δ＝25－4(6－|m|)＝1＋4|m|.∵|m|≥0, ∴Δ＞0.
∴原方程有两个不相等的实数根
(2)当x＝1时，将x＝1代入得1－5＋6－|m|＝0，∴m＝±2.
当m＝±2时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，x1＝1，x2＝4，
∴方程的另外一个根为4
16．已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2＋5＝0没有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)试判断关于x的方程(m＋5)x2－2(m＋1)x＋m＝0的根的情况．
17．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，
其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形　
(2)△ABC是直角三角形．。∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形　
(3)当a＝b＝c时，可整理为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
再 见