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人教版数学 九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
预备知识
什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？
一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
a(a≥0)的平方根记作：± .
x2=a(a≥0),则根据平方根的定义知，x=± .
导入新知
如果方程转化为x2=p,该如何解呢？
求出下列各式中x的值，并说说你的理由.
1. x2=9 2. x2=5
x=± =±3 x=±
【思考】
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.
学习目标
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
新知 直接开平方法
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，
可列出方程:
10×6x2=1500，
由此可得
x2=25.
开平方得
x=±5，
即x1=5，x2=－5.
因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm．
合作探究
【试一试】
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4
(2) x2=0
(3) x2+1=0
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-1,
因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 = x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根.
一般地，对于可化为方程 x2 = p, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
【归纳】
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6；
(2) x2－900=0.
解：
（1） x2=6，
直接开平方，得
（2）移项，得
x2=900.
直接开平方，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
利用直接开平方解形如x2=p方程
典例精析
例2 解下列方程：（1）（x＋1）2= 2 ；
即x1=-1+
，x2=-1-
解：（1）∵x+1是2的平方根，
∴x+1=
利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程
典例精析
（2）（x－1）2－4 = 0；
即x1=3，x2=-1.
解：（2）移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2.
∴ x1= ，
x2=
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解：（3）移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x） =0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
解：移项
x＋6=3，
x＋6=－3,
方程的两根为
x1 =－3,
x1 =－9.
解：
方程的两根为
解方程.
（1）
（2）
巩固练习
解：
方程的两根为
解：
方程的两根为
例3 解下列方程：
解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程
（1）
（2）
典例精析
解：方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：（x+3）2=2.
进行降次得：
解方程 x2+6x+9=2.
x1= , x2= .
方程的两根为
巩固练习
C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;
x2=
D. (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
1.下列解方程的过程中，正确的是（ ）
A. x2=-2,解方程，得x=±
B. (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
D
课堂练习
(1)方程x2=0.25的根是 .
(2)方程2x2=18的根是 .
(3)方程(2x-1)2=9的根是 .
x1=0.5,x2=-0.5
x1＝3,x2＝-3
x1＝2,x2＝－1
2. 填空:
3. 下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗 如果有错，指出具体位置并帮他改正.
①
②
③
④
解：
解：不对，从②开始错，应改为
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成 x2=p(p ≥0)或(x+n)2=p (p ≥0).
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
归纳新知
1．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( )
A．m＞0 B．m≥0
C．m＜0 D．m≤0
2．下列方程能用直接开平方法求解的是( )
A．5x2＋2＝0 B．4x2－2x＋1＝0
C．x2－2＝4 D．3x2＋4＝2
D
C
课后练习
3．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．若关于x的一元二次方程x2－c＝0的一个根为x＝1，
则另一个根为____________．
C
x＝－1
5．解下列方程：
(1)3x2＝27；
解：x1＝3，x2＝－3
(2)2x2＋4＝12；
解：x1＝2，x2＝－2
(3)5x2＋8＝3.
解：没有实数根
D
A
8．一元二次方程(x－1)2＝1的解为________________．
x＝2或0
9．解下列方程：
(1)(x－3)2－9＝0；
解：x1＝6，x2＝0
(2)2(x－2)2－6＝0；
(3)x2－2x＋1＝2.
C
A
12．根据如图中的程序，当输入的x的值是一元二次方程x2＝9的解时，
输出结果y＝________．
13．若关于x的一元二次方程(k－4)x2＋2x＋k2－16＝0有一个根为0，
则k＝____．
1或－7
－4
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规定为a*b＝a2－b2，
根据这个规定，方程(x＋2)*5＝0的根为____________________．
15．已知关于x的方程a(x＋c)2＋b＝0(a，b，c为常数，a≠0)的两根分别
为－2，1，那么关于x的方程 a(x＋c－2)2＋b＝0的两根分别为__________．
x1＝3，x2＝－7
3
解：x1＝1，x2＝－2
17．自由下落物体的高度h(米)与下落的时间t(秒)的关系为h＝4.9t2，现有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要多少秒？
解：当h＝19.6时，4.9t2＝19.6.
∴t1＝2，t2＝－2(不合题意，舍去).∴t＝2.
答：到达地面需要2秒
18．如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角
都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，
求正方形的边长．
19．已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，求△ABC的周长．
解：∵(x－3)2＝1，∴x－3＝±1，解得x1＝4，x2＝2，
∵一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴分两种情况讨论：①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，
此时不能构成三角形；②当底边长和腰长分别是2和4时，
△ABC的周长为2＋4＋4＝10.综上，△ABC的周长为10
再 见(共44张PPT)
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第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 配方法
化为一般式，得
x2+6x-16=0
要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，求场地的长和宽应各是多少？
x(x+6)=16
解：设场地宽为xm，则长为（ x＋ 6）m，根据长方形面积为16m2，列方程得
怎样解这个方程？能不能用直接开平方法？
导入新知
1.了解配方的概念，掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
学习目标
(1) 9x2=1 ；
(2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) x2+6x+9 =5；
(2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用开平方来解.
新知 配方法的定义
合作探究
(1) a2+2ab+b2=( )2；
(2) a2-2ab+b2=( )2.
a+b
a-b
你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
填一填（根据 ）
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
5
6
你发现了什么规律？
二次项系数都为1.
【思考】 怎样解方程: x2+6x+4=0（1）
（1）方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
（2）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
提示：不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法.
配方是为了降次 ，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解.
配方法的定义
例1 解方程：
解：（1）移项，得
x2－8x=－1,
配方，得
x2－8x+42=－1+42 ,
( x－4)2=15
由此可得
解二次项系数是1的一元二次方程
典例精析
解方程x2+8x-4=0
解：移项，得 x2+8x＝4
配方，得 x2+8x+4 =4+4 ，
整理，得 (x+4)2=20，
由此可得 x+4= ，
x1＝ ， x2＝ .
巩固练习
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1,
例2 解方程
解二次项系数不是1的一元二次方程
（1）
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢
典例精析
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
（2）
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时,则 ,方程的两个根为
②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
方法点拨
解下列方程：
解: 移项，得
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
整理，得
3x2+6x=4
x2+2x=
x2+2x+12= +12
(x+1)2=
即 x+1=± .
x1= ， x2= .
（1）
巩固练习
解: 移项，得
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
整理，得
x1= ， x2=
4x2-6x=3
x2- x=
（2）
解：移项，得
∴ x取任何实数，上式都不成立，
即原方程无实数根．
∵ 对任何实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0,
配方，得 x2+2x+1=-2+1.
整理，得
x2+2x=-2.
(x+1)2=-1.
（3）
解：去括号，得 x2+4x=8x+12
移项，得
配方，得
由此可得 x-2=±4
整理，得
x2-4x=12
(x-2)2=16
x1=6 , x2=-2
x2-4x+2 =12+2
因此
（4）
例3 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
利用配方法确定多项式或字母的值（或取值范围）
方法点拨：证明代数式的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化成几个非负数的和,利用非负数的性质说明代数式的值恒为正数.
典例精析
例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
根据非负数的性质得
根据勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形.
由此可得
即
方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ）
A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2
应用配方法求最大值或最小值.
(1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值.
C
解：原式 = 2(x - 1)2 +3
因为 2(x - 1)2 ≥0，
所以 2(x - 1)2 +3 ≥3
因此当x =1时，原式有最小值3.
解：原式= -3(x - 2)2 - 4
因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0，
所以 -3(x - 2)2 -4≤-4
因此当x =2时，原式有最大值-4.
巩固练习
类 别 解 题 策 略
1.求最值或证明代数式的值恒为正（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当
a＞0时，可知其有最小值；当a＜0时，可知其有最大值.
2.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.
配方法的应用
合作探究
1. 解方程：
4x2-8x-4=0.
解：移项，得4x2-8x=4，
二次项系数化为1，得
x2-2x=1，
配方，得 x2-2x+1=1+1,
整理，得
（x-1）2=2,
课堂练习
2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
：
原式=
=
=
3.若 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得
由非负数的性质可知
4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]；
三写成（x+n)2=p (p ≥0);
四直接开平方法解方程.
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明.
归纳新知
1．将方程x2＋4x＝5左边配方成完全平方式，右边的常数应该是( )
A．9 B．6 C．4 D．1
2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．以上都不对
C
A
课后练习
3．在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，图①是小思做的，
图②是小博做的，对于两人的做法，说法正确的是( )
A.两人都正确
B．小思正确，小博不正确
C．小思不正确，小博正确
D．两人都不正确
A
4
2
±3
B
6．解下列方程：
(1)x2－4x＋2＝0；
(2)x2＋6x－5＝0.
A
解：x1＝1，x2＝－3
10．对于任意实数x，多项式x2－4x＋5的值一定是( )
A．非负数 B．正数
C．负数 D．无法确定
11．利用配方法解一元二次方程x2－6x＋7＝0时，
将方程配方为(x＋m)2＝n，则m，n的值分别为( )
A．m＝9，n＝2 B．m＝－3，n＝2
C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2
B
B
12．配方法解一元二次方程ax2＋bx－c＝0(a≠0，c＞0)
得到(x－c)2＝4c2，从而解得方程的一根为1，则a－3b＝________．
3
13．用配方法解方程：
(1)2x2－4x－2＝1；
(2)－3x2＋2x＋1＝0.
14．能否存在一个实数x，使得x满足下列条件：
①x＋1＜3x－3；②3x－12＜2x－8；③代数式x2－2x的值为4.
若存在，请你求出这个x的值；若不存在，请说明理由．
15．若要用一根长20厘米的铁丝，
折成一个面积为16平方厘米的矩形方框，则应该怎样折呢？
解：设折成的矩形的长为x厘米，则宽为(10－x)厘米，
由题意，得x(10－x)＝16.解得x1＝2(不合题意，舍去)，x2＝8.
∴10－x＝2(厘米)，∴矩形的长为8厘米，宽为2厘米
16．若△ABC的三边分别是a，b，c，
且满足a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，判断△ABC的形状．
解：△ABC是等边三角形，理由如下：∵a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac.
∴2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2bc＋2ac，∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，
∴a＝b＝c.即△ABC是等边三角形
再 见
