浙江省温州市环大罗山联盟2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题（Word版含答案）

绝密★考试结束前
2021学年第一学期环大罗山联盟期中联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线l的方程是，则直线l的倾斜角为（ ）
A．1 B． C．45° D．135°
2．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为（ ）
A．45° B．135° C．45或135° D．90°
4．已知，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．过椭圆左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与x轴正半轴的交点，且，则该椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线过点，则（ ）
A． B． C． D．
7．正方体的棱长为2，E，F，G，H分别为，AD，，的中点，则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为（ ）
A． B．2 C． D．4
8．点是直线上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为3 B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为 D．椭圆C上存在点P，使得为直角
10．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于150° B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线平行 D．l上存在与原点距离等于2的点
11．已知双曲线C：，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则有（ ）
A．渐近线方程为 B．
C． D．渐近线方程为
12．如图，已知正方体的棱长为2，点E，F在四边形所在的平面内，若，，则下述结论正确的是（ ）
A．点E的轨迹是一个圆
B．点F的轨迹是一个圆
C．的最小值为
D．直线DF与平面ABD所成角的正弦值的最大值为
非选择题部分
三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分．）
13．已知向量，，，则________．
14．已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若，则的值为________．
15．如果方程表示焦点在）轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是________．
16．如图，光线从出发，经过直线l：反射到，该光线又在Q点被x轴反射，若反射光线恰与直线l平行，且，则实数a的最小值是________．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
已知直线l经过点．
（1）若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程：
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
18．（本题满分12分）
已知两个定点，，如果动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线l：落在点P的轨迹与圆之间（没有公共点），求实数b的取值范围．
19．（本题满分12分）
已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点及作斜率不为零的直线交椭圆C于M，N两点．
（1）求的周长；
（2）若，求线段的长度．
20．（本题满分12分）
在正四棱锥P-ABCD中，侧棱长为4，底面边长为，M，N，E分别为PA，BC，PB的中点．
（1）证明：平面BDM；
（2）求点N到直线PD的距离．
21．（本题满分12分）
已知直三棱柱中，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，．
（1）证明：；
（2）若D为中点，求平面与平面DFE所成锐角的余弦值．
22．（本题满分12分）
已知椭圆的焦距为2，O为坐标原点，F为右焦点，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l的方程为，AB是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M为弦的中点，直线MO交l于点P，过点O与AB平行的直线交/于点Q，直线PF交直线OQ于点R，直线QF交直线MO于点S．
①证明：O，S，F，R四点共圆；
②记△QRF的面积为，△QSO的面积为，求的取值范围．
2021学年第一学期
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C D A D C D
二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD AC AC
三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分.）
13.2 14. 15. 16.10
四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（1）当k不存在时，l：，符合题意；
当k存在时，设l：，即
∴，解得：
∴l：或
（2）若直线过原点，直线方程为
若不过原点，直线方程为
∴直线l：或
18.（1）设，则
化简得：；
（2）当l与相切，解得
当l与圆C相切的时候，
所以实数
19.（1）因为，
所以的周长为
（2）由题意可得，直线MN的倾斜角为，
不妨直线MN的方程为，
与椭圆方程联立可得：，
设，，则有.
所以弦长.
20．（1）取BD的中点F连接FN，MF，ME，
因为，，所以MENF为平行四边形，
所以，又因为面MBD，
面MBD，所以面MBD
（2）连接PN，DN，则，，，
所以，所以
所以
方法二：（1）如图建立空间直角坐标系
，，，，，，，，所以，，所以平面DBM的一个法向量是，
而，∵，∴面MDB
（2）∵，
21.（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以
因为，，所以，又，所以平面．
所以BA，BC，两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，，，，，，
，．由题设．
（1）因为，，所以，所以．
（2）由题意得面的法向量为
设面DEF的法向量为，
解得，
所以所求角余弦值为
22.（1）设椭圆的左焦点为，由题意可知，
根据定义，可求得，∴，∴，
∴椭圆的标准方程为
（2）①设，，，直线AB的斜率为k，
则有，作差得：
两边同除，可得：，即，
所以直线MO的斜率为，MO的方程为
联系直线，可求得，所以直线PF的斜率为，
因为，所以
另外，由，可求得，所以直线QF的斜率为，
因为，所以
综上，O，S，F，R四点共圆，OF为圆的一条直径.
②由①可知：，所以，
由于直线PF的方程为，直线OP的方程为，
由垂径定理可知，，
，又因为，
所以，
综上，的取值范围为.
另解：，
可求得，，，
代入得，
综上，的取值范围为.
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