2021—2022 学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷
（满分：150分 完卷时间：120分钟）
命题校 福清三中
班级 姓名 准考证号 座号
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与直线平行，则等于
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于
A．5 B．6 C．7 D．8
3. 若直线：与：互相垂直，则的值为
A. B. C. D.
4．如图，在空间四边形OABC中， ， ， ，点M在OA上，且
OM=2MA ， N是BC的中点，则
A． B．
C． D．
5．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心 重心 垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，则的欧拉线方程为
A． B．
C． D．
6. 直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则BM与NA所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
7. 点，点Q是圆上的一个动点，则线段PQ的中点M的轨迹方程是
A. B.
C. D.
8. 已知直线恒过点M，点N的坐标为，直线上有一动点P，当取得最小值时，点P的坐标为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．直线可能是
A． B． C． D．
10．点在圆上，点在圆上，则
A．的最小值为0 B．两个圆心所在的直线斜率为
C．的最大值为7 D．两个圆相交弦所在直线的方程为
11．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有
A．△的周长为6 B．△的最大面积为
C．存在点使得 D．的最大值为5
12．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是
A．
B．
C．到平面的距离为
D．直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于____．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 ．
15．已知圆心坐标为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为
16. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （满分10分）三角形的三个顶点分别是，，．
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程；
18. （满分12分）已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
19. （满分12分）
如图，四棱锥中，四边形ABCD为正方形，
平面ABCD，，E是PC的中点．
（1）证明：平面BDE；
（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．
20．（满分12分）已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点作弦且弦被点平分，则此弦所在的直线方程．
21．（满分12分）
如图，四棱锥中，底面为正方形，△为等边三角形，
平面底面，为的中点．
（1）求证：；
（2）在线段（不包括端点）上是否存在点，
使直线与平面所成角的正弦值为，
若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22．（满分12分）
已知椭圆过点M，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点P(0，3)的直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
高二数学 第4页（共5页）2021—2022 学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷参考答案及评分细则
评分说明：
本解答给出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
解答题右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 2．D 3．C 4．A
5．B 6．C 7．A 8．B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．AB 10． 11． 12．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 16
15．（写出也给满分） 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（满分10分）【答案】（1）；（2）；
【详解】（1）由，．可得边所在的直线方程是：，
即． ……………………5分
（2）因为边上的高垂直于，（1）由已知 ………6分
高所在的直线方程斜率为 ……………………7分
又边上的高过点，
故所求直线方程为 ……………………9分
故边上的高所在的直线方程是. ……………………10分
18. （满分12分）【答案】（1）或（2）．
【详解】解: (1)由题意可得,直线与圆相切
当斜率不存在时，直线的方程为,满足题意 ……………………1分
当斜率存在时，设直线的方程为,即 ……2分
∴,解得 …………………4分
∴直线的方程为 …………………5分
∴直线的方程为或 …………………6分
(2)当直线的倾斜角为时，直线的方程为 …………………8分
圆心到直线的距离为 …………………10分
∴弦长为 …………………12分
19. （满分12分）【答案】（1）证明见详解；（2）
【详解】（1）连接交于，连接
∵底面正方形，
∴为中点，
又∵在中，是的中点，
∴ …………………2分
又∵平面平面，
∴在平面 …………………4分
（2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图：
，，，， ………………5分
，，， ………………6分
设平面BDE的法向量，
则，即，
令，则，
， ……………8分
因为，，，
平面，平面，
所以为平面的一个法向量
， ……………9分
……………11分
因为平面BDE与平面DEC的夹角为锐角，
所以平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值 . ……………12分
20. （满分12分）【答案】（1）椭圆标准方程为 （2）
【详解】解：（1），， ……………2分
所以，，， ……………4分
椭圆标准方程为， ……………5分
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，，，
则，则， ……………6分
将，，，分别代入椭圆的方程，
两式相减可得，
， ……………9分
， ……………10分
点为中点的弦所在直线方程为， ……………11分
整理，得：． ……………12分
21. （满分12分）【详解】（1）法一：取的中点连，
∵，
∴，
又面面，面面，面，
∴面， ……………1分
又∵面，则， ……………2分
在正方形内，分别为的中点，
∴，则有，又，
∴，
∴，， ……………4分
∴平面，又平面，
∴． ……………5分
法二：取的中点连，
∵，
∴，
又面面，面面，面，
∴面， ……………1分
取的中点，连，则两两垂直，
∴分别以，，所在的直线为轴，轴，轴
建立如图空间直角坐标系． ……………2分
设，则，，，，
∴，， ……………4分
则有，
∴． ……………5分
（2）由（1）中法二，所得空间直角坐标系，易知，，，， ……………6分
设，则，
设面的法向量为，则，即，令，则． ……………8分
设直线与平面所成角的为，，……………9分
∴整理得：，即． ……………11分
∴在上存在点，使得直线与平面成角的正弦值为，此时点为靠近点的三等份点，即． ……………12分
22. 【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】解：（1）由已知点代入椭圆方程得，
由得可转化为， ………………2分
由以上两式解得 ………………3分
所以椭圆C的方程为：. ………………4分
（2）存在这样的直线.
①当直线的斜率不存在时，显然不满足， ………………5分
②当直线的斜率存在时，设所求直线方程：
联立 整理得：
①， ②
△=(12k)2﹣4×14×(1+2k2)>0，， ……………….8分
设所求直线与椭圆相交两点A，B，
由已知条件可得③， ……………….9分
综合上述①②③式子可解得符合题意， ……………….11分
所以所求直线的方程为：. ……………….12分
2021—2022 学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷选择题、填空题答案的参考解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【答案】B
【详解】
两直线平行，所以有,经检验，当=2，是符合条件。
故选：B.
2. 【答案】D
【详解】解：椭圆的焦点在轴上，
，即，且，，
，又焦距为4，，得．
故选：D．
3.【答案】C
【详解】解：因为直线：与：互相垂直，所以，得，解得，故选：C
4.【答案】A
【详解】由题，在空间四边形， ， ， ．
点在上，且， 是的中点，则 ．
所以 故选：A
5．【答案】B
【分析】
由题意知是直角三角形，即可写出垂心、外心的坐标，进而可得“欧拉线”的方程.
【详解】
由题设知：是直角三角形，则垂心为直角顶点，外心为斜边的中点，∴“欧拉线”的方程为.故答案为：.选B
6.【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出BM与NA所成的角的余弦值.
【详解】依题意可知两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，
则，
，
设直线与所成角为，
则.
故选：C
7.【答案】A
【解析】
试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.
考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.
8.【答案】B
【详解】直线：，即，
令，求得，，可得该直线恒过点
直线：上有一动点，点的坐标为，
故、都在直线：的上方．
点关于直线：的对称点为，
则直线方程为，即.
把直线方程和直线：联立方程组，求得，
可得当取得最小值时，点的坐标为．故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.【答案】AB
【详解】因为a≠0，所以D错；
当a＞0时，＞0，不过第四象限，故A对；
当a＜0时，＜0，不过第一象限，故C错，B对．故选：AB
10. 【答案】
【详解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
圆心距，
则的最小值为，最大值为，故错误，正确；
对于，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，正确，对于，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，错误．故选：．
11. 【答案】
【详解】解：根据题意可得，，，
对于：△的周长为，故正确，
对于：△的最大面积为，故正确，
对于：若要存在点使得，则，
即点在以为直径的圆上，且，所以点为以为直径的圆与椭圆的交点，
而椭圆的短轴一半长为，所以不存在点，故错误，
对于，
所以最大值为5，故正确，故选：．
12. 【答案】
【详解】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
对于选项，，
则有，所以，故，所以选项正确；
对于选项，，因为，
所以，故，
所以选项正确；
对于选项，因为，
设平面的法向量为，
则有，即，
令，则，，所以，
故到平面的距离为，
故选项正确．
对于选项，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值为，故选项错误；故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 【答案】
根据向量模长的计算公式代入求解即可.
【详解】.
14. 【答案】16
【详解】解：由已知椭圆方程可得，所以，
又由椭圆的定义可得：
且，所以三角形的周长为，故答案为：16．
15. 【答案】（写出也给满分）
【解析】 因为切线的倾斜角为，切线的斜率为
直线与圆C相切于点且圆心C，且直线CN与切线垂直，所以直线CN的斜率与切线的斜率乘积为，所以直线CN的斜率为即，解得，
由题意得，圆的半径=2，
所以圆C的方程为.故答案为：
（写出也给满分）
16.【答案】
【解析】【分析】曲线表示圆心为，半径为的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式，得出的取值范围.
【详解】由，解得
根据二次函数的性质得出，即
曲线可化为，
所以该曲线表示圆心为，半径为半圆
因为直线与曲线有公共点，所以它位于之间，如下图所示
当直线运动到时，过，代入得：
当直线运动到时，此时与曲线相切
则，解得或（舍）
要使得直线与曲线有公共点，则
故答案为：
高二数学 第1页（共4页）
