2021-2022学年苏科版九年级数学下册第7章 锐角三角函数 达标测评（word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则BC等于（　　）
A．1 B． C． D．
2．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（　　）
A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米
5．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中cos∠QMB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（　　）
A． B． C．6 D．8
7．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为2的正方形ABCD的内角，变为菱形ABC'D'，若∠D'AB＝45°，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．5﹣ C． D．5﹣2
8．今年，我校新建成的体育馆投入使用，初三数学兴趣小组的同学要测量体育馆的高度CE．如图，小张眼睛到地面距离1.6米，小张在A处测得体育馆顶C点的仰角为27°，前进20米到达B处测得体育馆C点的仰角为39°，斜坡BD的坡度i＝1：2.4，BD长度是13米，CE⊥DE，A、B、D、E在同一平面内，则体育馆CE约为（　　）米．（结果精确到1米，参考数据tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）
A．29 B．27 C．25 D．23
9．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（　　）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
10．无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（　　）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，则sinB等于 　 　．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使得B′与C重合，联结A′B，则tan∠A′BC′的值为 　 　．
13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC＝60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM＝CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为 　 　．
14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝CB，sin∠BAD＝，∠BCD＝60°，连接AC，则tan∠ACD＝　 　．
15．已知：如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，则BC的长度为 　 　．
16．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．则斜坡CD的长为 　 　．（结果保留根号）
17．如图，在锐角△ABC中，cos∠BAC＝，AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于点E，CD⊥AB于点D，AE，CD交于点F，连接DE．则＝　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tanB＝，则CE＝　 　．
19．一对直角三角形纸片ABC和BCD按如图所示方式摆放．其中∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D在BC的同侧，∠ABC＝45°，tan∠DBC＝．连接AD，若AB＝5．则AD的长为 　 　．
20．如图是一款利用杠杆原理设计的平衡灯，灯管AB与支架AD，砝码杆AC均成120°角，且AB＝40cm，AC＝18cm，AD＝6cm，底座是半径为2cm的圆柱体，点P是杠杆的支点．如图1，若砝码E在端点C时，当杠杆平衡时，支架AD垂直于桌面，则此时垂直光线照射到最远点M到支点P的距离PM为 　 　cm．由于特殊设计，灯管的重力集中在端点B，砝码杆重力集中在砝码E上，支架AD的重力忽略不计，由杠杆原理可知，平衡时重力保持垂直水平桌面向下，且G1 h1＝G2 h2，如图2．为了使得平衡时砝码杆与桌面平行，则砝码E到离A点的距离为 　 　cm．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，在四边形ABCD形状的池塘上，要从C处出发，架设一座小桥CP连接对岸AD，已知AB＝BC＝6米，AB⊥BC，∠A＝105°且∠BCD＝135°，求小桥CP长度的最小值．
22．将一副直角三角板如图所示放置，点C，D，F在同一直线上，AB∥CF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠E＝45°，若AB＝20，求CD的长．
23．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
24．一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）
25．大庆市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD，如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°，线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米，求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73．）
26．如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE＝30cm，后支撑板EC＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°．
（1）如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
（2）如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．（参考数据：sin53≈，cos53°≈，tan53°≈）
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ACD中，
∵∠A＝30°，AC＝，
∴CD＝AC＝．
在Rt△BCD中，
∵sin45°＝＝，
∴BC＝1．
∴故选：A．
2．解：设AC＝a，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2a，
∵tan∠ABC＝＝，
∴BC＝AC＝a，
∵AB＝BD＝2a，
∴CD＝BC+BD＝（2+）a，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：C．
3．解：如图所示，AE＝3，CE＝4，
则AC＝5．
在Rt△ACE中，
sinA＝＝．
故选：B．
4．解：如图，过C作CD⊥AB于D，
则∠CDB＝90°，
由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，
∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BC＝AB＝4千米，
在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝2（千米），
即该建筑物离地面的高度为2千米，
故选：A．
5．解：作CQ∥AB，连接PC，如右图所示，
设每个小正方形的边长为1，
则CQ＝＝2，PQ＝＝2，PC＝＝4，
∴CQ2+PC2＝（2）2+（4）2＝8+32＝40＝（2）2＝PQ2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PCQ＝90°，
∴cos∠PQC＝＝＝，
∵AB∥CQ，
∴∠QMB＝∠PQC，
∴cos∠QMB的值是，
故选：A．
6．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．
∵∠BAC＝120°，
∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，
∴AE＝AC cos60°＝4，EC＝AC sin60°＝4，
∵AB＝4，
∴BE＝AB+AE＝8，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
7．解：设BC与C′D′交点为E，
则BE⊥C′D′，因此C′E＝BC′ cosC′，
∵四边形ABC′D′为菱形，则∠C′＝∠D′AB＝45°，
∴C′E＝BC′ cosC′＝2×＝，
同理BE＝BC′ sinC′＝，
∴D′E＝2﹣，BE＝，
∴梯形D′EBA面积为：
S′＝（D′E+AB）×BE×＝2﹣1，
阴影面积为：S＝SSABCD﹣S′
＝2×2﹣（2﹣1）
＝5﹣2．
故选：D．
8．解：如图，延长CF交CE的延长线于H，延长CE交AB的延长线于J．设CE＝xm．
在Rt△BDK中，∵BD＝13米，DK：BK＝1：2.4，
∴DK＝5米，BK＝12米，
∵AG＝BF＝HJ＝1.6米，DK＝EJ＝5米，
∴EH＝5﹣1.6＝3.4（米），
∵GH﹣FH＝GF，
∴﹣＝20，
∴＝20，
∴x≈23（m），
答：体育馆CE约为23米，
故选：D．
9．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20（m），
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）（m），
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
故选：A．
10．解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7（m），
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286（m）．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，
则sinB＝＝＝，
故答案为：．
12．解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．
在等腰△A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，且A′D⊥B′C′，
∵A′B′＝AB＝5，B′C′＝BC＝8，
∴B′D＝B′C′＝4，BD＝8+4＝12，
∴A′D＝＝3，
Rt△A′BD中，
tan∠A′BC′＝＝．
13．解：连接AM、AN，
∵∠ABC＝60°，AB＝BC＝10，
∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM＝AN，
∴△AMN为等边三角形，AM＝MN，
当MN最短时，AM最短，此时AM⊥BC，如图，
则∠MAC＝30°，
∵∠AMP＝60°，
∴∠APM＝90°，
∵AM＝AB＝5，
∴AP＝AM＝，
∴PC＝AC﹣AP＝10﹣＝．
故答案为：．
14．解：如图，延长AB到E，连接CE，使CE⊥BE，作DF⊥AB于F，
∵∠BCD＝60°，
∴∠EBC＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∵sin∠BAD＝，
∴设AD＝5k，则DF＝CE＝3k，AF＝4k，
又∵∠CBE＝60°，
∴CB＝＝2k，
∵CD＝CB，
∴CD＝2k，
∴tan∠ACD＝tan∠CAE＝，
故答案为：．
15．解：在Rt△ADC中，CD＝AD＝AC×sinC＝2＝2，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝1，
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3，
故答案为：3．
16．解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，坡度为1：，
∴tan∠ABE＝＝，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝100米，
∴CE＝AE﹣AC＝100﹣20＝80（米），
∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，
∴＝，
即＝，
解得：DE＝320（米），
∴CD＝＝＝80（米），
故答案为：80米．
17．解：如图，在AE上取一点M，使得AM＝MC．设EC＝m．
∵cos∠BAC＝，
∴∠BAC＝45°，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，∠EAC＝∠BAC＝22.5°，
∵MA＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝22.5°，
∴∠CME＝∠MAC+∠MCA＝45°，
∴EC＝EM＝m，AM＝CM＝m，AE＝m+m，
∵∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴A，D，E，C四点共圆，
∴∠ECF＝∠DAE＝22.5°，
∵∠DAE＝∠EAC，
∴＝，
∴DE＝ED，
∴＝＝＝tan22.5°＝＝﹣1．
故答案为：﹣1
18．解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠FAD，
∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，
∴△BFG∽△BAC，
∴＝，
∵AC＝6，∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
∴BC＝8，AB＝＝＝10，
∴＝，
∵FC＝FG，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
故答案为：3．
19．解：如图，分别过点A、D作AF⊥BC、DE⊥BC，交BC于点F、E，过点D作DM⊥AF，于点M，
在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝AB＝5，BC＝10，
∴AF＝BF＝5，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC＝，
∴BD＝6，
在Rt△BDE中，
∵tan∠DBE＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠DEF＝∠DMF＝∠EFM＝90°，
∴四边形DEFM是矩形，
∴DM＝EF＝BF﹣BE＝，MF＝DE＝，
∴AM＝AF﹣MF＝，
在Rt△ADM中，由勾股定理，得：AD＝＝，
故答案为：．
20．解：如图1中，过点B作BT⊥PM于T，过点A作AR⊥BT于R．
∵AP⊥PT，
∴∠APT＝∠PTR＝∠ART＝90°，
∴四边形ARTP是矩形，
∴AP＝RT＝6+4＝10（cm），∠PAR＝90°，
∵∠BAP＝120°，
∴∠BAR＝30°，∠ABR＝60°，
∴BR＝AB＝20（cm），
∴BT＝BR+RT＝30（cm），
∵AB⊥BM，
∴∠ABM＝90°，
∴∠TBM＝30°，
∴BM＝＝＝20（cm）．
如图2中，延长EA交AG1于K，过点A作AJ⊥G1G2于J，设G1，G2的重力线交桌面于N，M，则四边形AEMJ，四边形AKNJ都是矩形，
∴AE＝JM，AK＝JN，
在RtABK中，AK＝AB cos60°＝20（cm），
在Rt△APJ中，PJ＝AP sin30°＝4（cm），
由图1可知，G1 AC cos30°＝G2 AB cos30°，
∴G1：G2＝AB：AC＝20：9，
∴h2：h1＝G1：G2＝20：9，
∵h2＝JN﹣PJ＝20﹣4＝16（cm），
∴h1＝，
∴AE＝JM＝﹣4＝（cm）．
故答案为：20，．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：当CP的长度最小时，CP⊥AD，
在四边形ABCD中，∠BAP＝105°，∠B＝90°，
∴∠BCP＝360°﹣105°﹣90°﹣90°＝75°，
如图，连接AC，
∵AB＝BC，∠B＝90°，
∴∠BCA＝45°，
∴∠ACP＝∠BCP﹣∠BCA＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝6米，
∴AC＝＝6（米），
在Rt△APC中，AP＝AC＝3（米），
∴CP＝AP＝3（米）．
答：小桥CP长度的最小值为3米．
22．解：（1）如图，作BH⊥CF于点H，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠BCH＝∠ABC＝30°，
∵AB＝20，
∴，
在Rt△BCH中，∵∠BCH＝30°，
∴，CH＝BC×cos30°＝15，
在Rt△DEF中，∵∠E＝45°，
∴∠EDF＝∠E＝45°，
在Rt△BDH中，，
∴．
23．解：∵山坡BM的坡度i＝1：3，
∴i＝1：3＝tanM，
∵BC∥MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1：3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
24．解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝1m，
由题意得：DF＝9m，
∴DG＝DF﹣FG＝6（m），
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，
∴BD＝CH＝AH，
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝，
即＝，
解得：AH＝（8+4）m，
∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，
即这棵古树的高AB为（9+4）m．
25．解：过点B作BN⊥MD于N，如图所示：
则四边形ABNM为矩形，
∴AB＝MN＝50米，AM＝BN，
∵无人机沿水平线AF方向飞行，
∴AF∥MD，
∴∠ACM＝∠CAB＝α，∠BDN＝∠DBF＝30°，
在Rt△ACM中，∵tan∠ACM＝tanα＝2＝，
∴AM＝2MC＝2×50＝100（米），
∴BN＝100米，
在Rt△BND中，∵tan∠BDN＝，
即tan30°＝，
∴DN＝＝300（米），
∴DM＝DN+MN＝300+50＝350（米），
∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264（米），
答：河流的宽度CD约为264米．
26．解：（1）如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD＝DE＝30cm，
∴BF＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），
∴BE＝2BF＝36（cm）．
（2）如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN＝DE＝30cm，
在Rt△DBM中，BM＝BDcos∠ABC＝30×＝18（cm），EN＝DM＝BDsin∠ABC＝30×＝24（cm），
在Rt△CEN中，CE＝40cm，
∴由勾股定理可得CN＝＝＝32（cm），
则BC＝18+30+32＝80（cm），
原来BC＝36+40＝76（cm），
80﹣76＝4（cm），
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．