2021-2022学年山东省青岛市莱西市七年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省青岛市莱西市七年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
1．下面图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个选项中，不是全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．下列三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一个三角形的两边长分别为3和8，则它的第三边长可能是（　　）
A．5 B．12 C．10 D．无法确定
5．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
6．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（　　）
A．含有45°角的两个直角三角形
B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形
D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
7．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（　　）
A．17 B．20 C．25 D．31
8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．45° C．60° D．80°
二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 　 　．
10．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　 　．
11．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　 　米．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 　 　．
13．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为　 　．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝　 　°．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若AC＝5，则BD＝　 　．
16．如图，已知长方体的长AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，最短路程是 　 　cm．
三.尺规作图（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但保留作图痕迹
17．已知：线段a，b和∠β．
求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠C＝∠β．
四、解答题（本题满分68分，共7道小题）
18．如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，求BC的长．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
21．一船在灯塔C正东方向4海里的A处，以30海里/时的速度沿西偏北60°方向航行，求多长时间船到达灯塔的正北方？
22．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得有未标识的字母）；
（2）判断DC⊥BE是否成立？说明理由．
23．某校七年级一班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：
方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长；
方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案a是否可行？请说明理由．
（2）方案b是否可行？不必说明理由．
（3）方案b中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 　 　，若仅满足∠ABD＝∠BDE，方案b的结论是否成立
24．如图，在长方形ABCD中AB＝DC＝4，AD＝BC＝5，延长BC到E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，则t的值为多少？
参考答案
一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
1．下面图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．下列四个选项中，不是全等图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
解：A、两个图形是全等图形，不符合题意；
B、两个是全等图形，不符合题意；
C、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意；
D、两个图形是全等图形，不符合题意；
故选：C．
3．下列三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而不难得到答案．．
解：由勾股定理的逆定理得，因为D能满足（）2+（）2＝（2）2，所以D是直角三角形．
故选：D．
4．一个三角形的两边长分别为3和8，则它的第三边长可能是（　　）
A．5 B．12 C．10 D．无法确定
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
解：∵此三角形的两边长分别为3和8，
∴第三边长的取值范围是：8﹣3＜第三边＜8+3．
即5＜第三边＜11，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
5．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有一个内角是60°的锐角三角形
B．有一个内角是60°的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，
所以A选项符合题意；
所以B选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以C不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
6．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（　　）
A．含有45°角的两个直角三角形
B．腰相等的两个等腰三角形
C．边长相等的两个等边三角形
D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
解：A、含有45°角的两个直角三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
B、腰相等的两个等腰三角形，没有指明角相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
C、边长相等的两个等边三角形，利用SSS可得一定全等，选项符合题意；
D、一个钝角对应相等的两个等腰三角形，没有指明边相等，所以不一定全等，选项不符合题意；
故选：C．
7．如图所示，在Rt△ABC中，分别以三角形的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S1＝7，S2＝24，则S3的值为（　　）
A．17 B．20 C．25 D．31
【分析】由正方形的面积公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．
解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
由正方形面积公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，
∵S1＝9，S2＝16，
∴S3＝S1+S2＝7+24＝31．
故选：D．
8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′恰好落在CD上，若∠BAD＝100°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．45° C．60° D．80°
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE＝∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣∠BAD．
解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝∠BAD＝50°，
又∵∠AEC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACB'＝40°，
故选：A．
二、填空题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分）
9．如图所示，其中与甲成轴对称的图形是 　丁　．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：与甲成轴对称的图形是丁．
故答案为：丁．
10．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为　80°　．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
11．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了　9　米．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
故答案为：9．
12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 　1　．
【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．
解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：1．
13．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，则BC的长为　14　．
【分析】∵AD2+BD2＝AB2∴AD⊥BC（勾股定理逆定理），在直角△ADC中，已知AD，AC即可求得CD，则BC＝BD+DC．
解：∵AD2+BD2＝144+25＝169，
AB2＝169，∴AD2+BD2＝AB2
∴AD⊥BC（勾股定理逆定理），
∠ADC＝90°，
∴CD＝＝＝9，
∴BC＝CD+BD＝5+9＝14．
故答案为14．
14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝　78　°．
【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OC＝OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．
解：连接BO并延长至D，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴OA＝OB，OC＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOD＝2∠OBA，∠COD＝2∠OBC，
∴∠AOC＝2（∠OBA+∠OBC）＝2∠ABC＝78°，
故答案为：78．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若AC＝5，则BD＝　10　．
【分析】如图，连接AD．根据线段垂直平分线的性质将BD的长度转化为AD的长度，所以在直角△ACD中，利用含30度角的直角三角形来求AD的长度．
解：如图，连接AD．
∵AB的垂直平分线交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠BAD＝∠B＝15°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝30°．
又∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，
∴AD＝2AC＝10．
故填：10．
16．如图，已知长方体的长AC＝2cm，宽BC＝1cm，高AA′＝4cm．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，最短路程是 　5　cm．
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，
故答案为：5．
三.尺规作图（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但保留作图痕迹
17．已知：线段a，b和∠β．
求作：△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠C＝∠β．
【分析】作∠MCN＝∠β，分别在射线CM，CN上截取CB，CA，使得CB＝a，CA＝b，连接AB，△ABC即为所求．
解：如图，△ABC即为所求．
四、解答题（本题满分68分，共7道小题）
18．如图，已知AD∥BC，BD是∠ABC的平分线，那么△ABD是等腰三角形吗？为什么？
【分析】根据BD是∠ABC的平分线得到∠ABD＝∠DBC，然后利用平行线性质得到∠ADB＝∠DBC，从而∠ADB＝∠ABD，进而证得△ABD是等腰三角形．
解：△ABD是等腰三角形，
理由是：
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD＝∠DBC
又∵AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC（两直线平等，内错角相等）
∴∠ADB＝∠ABD
∴△ABD是等腰三角形．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，求BC的长．
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝4cm，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝30°，
∵AB⊥AD，AD＝4cm，
∴BD＝8cm，
∵∠ADB＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴CD＝AD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12cm．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
求证：△BED≌△CFD．
【分析】首先根据AB＝AC可得∠B＝∠C，再由DE⊥AB，DF⊥AC，可得∠BED＝∠CFD＝90°，然后再利用AAS定理可判定△BED≌△CFD．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
21．一船在灯塔C正东方向4海里的A处，以30海里/时的速度沿西偏北60°方向航行，求多长时间船到达灯塔的正北方？
【分析】画出图形，由题意得∠A＝60°，当船到达灯塔的正北B点时，∠BCA＝90°，则∠B＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝8（海里），即可求解．
解：如图，由题意得∠A＝60°，AC＝4海里，
当船到达灯塔的正北B点时，∠BCA＝90°，
∴∠B＝30°
∴AB＝2AC＝2×4＝8（海里），
∴8÷30＝（小时）＝16分钟，
答：16分钟后，船到达灯塔的正北方．
22．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连接DC．
（1）请找出图2中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不得有未标识的字母）；
（2）判断DC⊥BE是否成立？说明理由．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可以得出△ABE≌△ACD；
（2）由△ABE≌△ACD可以得出∠AEB＝∠ADC，进而得出∠AEC＝90°，就可以得出结论．
解：（1）结论：△ABE≌△ACD．
理由：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴∠AEB＝∠ADC．
∵∠ADC+∠AFD＝90°，
∴∠AEB+∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠CFE，
∴∠AEB+∠CFE＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴DC⊥BE．
23．某校七年级一班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B之间的距离，设计出如下几种方案：
方案a：如图（1）所示，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长；
方案b：如图（2）所示，过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出了DE的长即为A、B之间的距离．
阅读后回答下列问题：
（1）方案a是否可行？请说明理由．
（2）方案b是否可行？不必说明理由．
（3）方案b中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 　对应角∠ABD＝∠BDE＝90°　，若仅满足∠ABD＝∠BDE，方案b的结论是否成立
【分析】（1）方案a对顶角相等，只要夹这个角的两边相等，利用“边角边”就可以判断三角形全等．
（2）方案b对顶角相等，又有垂直，两个对应角是直角，利用“角边角”，就可以判断两个三角形全等；
（3）根据垂直的定义即可得到结论．
解：（1）可行，
理由：由边角边说明△ACB≌△DCE，则DE＝AB．
（2）可行，
理由：由角边角说明△ABC≌△EDC，则DE＝AB．
（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是对应角∠ABD＝∠BDE＝90°，只要∠ABC＝∠BDE，方案b仍成立．
故答案为：对应角∠ABD＝∠BDE＝90°．
24．如图，在长方形ABCD中AB＝DC＝4，AD＝BC＝5，延长BC到E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，则t的值为多少？
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意列方程即可求得．
解：①当P在BC上时，由题意得BP＝2t，
∵∠DCP＝∠DCE＝90°，CD为公共边，
∴要使△DCP≌△DCE，则需CP＝CE，如图1所示：
∵CE＝2，
∴5﹣2t＝2，
∴，
即当时，△DCP≌△DCE；
②当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP＝2t，
∵BC＝5，CD＝4，
∴DP＝2t﹣9，
∵∠CDP＝∠DCE＝90°，CD为公共边，
∴要使△DCP≌△CDE，则需DP＝CE，如图2所示：
即2t﹣9＝2，
∴，
即当时，△DCP≌△CDE，
∴当或时，△DCP和△DCE全等．