2021-2022学年上海市浦东新区部分校九年级（上）期中数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年上海市浦东新区部分校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共24分）
1．已知a：b＝3：4，下列结论中正确的是（　　）
A．a：3＝b：4 B．a：4＝b：3
C．（a﹣b）：b＝1：4 D．（a﹣b）：b＝3：1
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（　　）
A．msinB B．mcosB C．mtanB D．mcotB
3．在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（　　）
A．+＝0 B．+＝ C．＝ D．＝
5．已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
二、填空题（每题4分，共48分）
7．在比例尺为1：200000的地图上，量得线段AB两地距离是12cm，则AB两地实际距离为 　 　km．
8．线段a是线段b，c的比例中项，且b＝4cm，c＝3cm，则a＝　 　cm．
9．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝　 　cm．
10．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们对应的角平分线比是　 　．
11．计算：cos60°tan30°﹣cot60°＝　 　．
12．在△ABC中，中线AD和中线CE相交于点O，那么AD：AO＝　 　．
13．如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝　 　．
14．已知∠A为锐角，如果cotA＝，那么cosA＝　 　．
15．已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是　 　时，DE∥BC．
16．如图△ABC中，点D在边AB上，∠B＝∠ACD，AB＝9，AD＝5，CD＝7，则BC＝　 　．
17．如图，△ABC中，BC＝6，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，且S△ADE＝SDBCE，则DE＝　 　．
18．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，则PC的长为 　 　．
三、简答题（19到22题每题10分，23，24题12分，25题14分，共78分）
19．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．
（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
20．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；
（2）如果BO：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ADB．
（2）若AD＝4，求BE的长．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB AF＝AC AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD CG＝FC BD．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
25．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O为对角线AC的中点，联结BO并延长，交边DC于点E．
（1）求证：△ADC∽△BOC．
（2）若＝，求的值．
（3）若CD＝8，OE＝3，求DE的长．
参考答案
一、选择题（每题4分，共24分）
1．已知a：b＝3：4，下列结论中正确的是（　　）
A．a：3＝b：4 B．a：4＝b：3
C．（a﹣b）：b＝1：4 D．（a﹣b）：b＝3：1
【分析】依据比例的性质，即可得到正确结论．
解：A．由a：b＝3：4，可得a：3＝b：4，故本选项正确，符合题意；
B．由a：b＝3：4，可得a：3＝b：4，故本选项错误，不符合题意；
C．由a：b＝3：4，可得（a﹣b）：b＝﹣1：4，故本选项错误，不符合题意；
D．由a：b＝3：4，可得（a﹣b）：b＝﹣1：4，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，那么边AC的长为（　　）
A．msinB B．mcosB C．mtanB D．mcotB
【分析】根据锐角三角函数的定义，得出答案．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝m，
∵sinB＝，即sinB＝，
∴AC＝msinB，
故选：A．
3．在△ABC，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD＝1，BD＝2，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC即可推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定推出即可．
解：
∵AD＝1，BD＝2，
∴＝，
只有当＝时，DE∥BC，
理由是：∵＝＝，∠A＝∠A，
∴△ADE≌△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
而其它选项都不能推出△ADE∽△ABC，即不能推出∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C，即不能推出DE∥BC，
即选项A、B、C都错误，只有选项D正确；
故选：D．
4．已知点C是线段AB的中点，下列结论中正确的是（　　）
A．+＝0 B．+＝ C．＝ D．＝
【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．
解：A、+＝，故本选项不符合题意；
B、+＝，故本选项不符合题意；
C、＝，故本选项不符合题意；
D、＝，故本选项符合题意．
故选：D．
5．已知线段a、b、c，作线段x，使b：a＝x：c，则正确的作法是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
解：A、本选项中，b：a＝c：x，不符合题意；
B、本选项中，b：a＝x：c，符合题意；
C、本选项中，b：c＝x：a，不符合题意；
D、本选项中，b：a＝c：x，不符合题意；
故选：B．
6．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（　　）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG
【分析】由正方形的性质和平行线的性质可证△AEF∽△CBF，△CMG∽△BFG，△DBE∽△CBG，即可求解．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；
∵∠ACD＝∠EBM＝45°，∠CGM＝∠BGF，
∴△CMG∽△BFG；故选项B不合题意；
∵∠ADB＝∠ACB＝∠DBC＝∠EBM＝45°，
∴∠MBC＝∠DBE，
∴△DBE∽△CBG，故选项D不合题意；
故选：C．
二、填空题（每题4分，共48分）
7．在比例尺为1：200000的地图上，量得线段AB两地距离是12cm，则AB两地实际距离为 　24　km．
【分析】设实际距离为xcm，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案．
解：设实际距离为xcm．
由题意得：＝，
解得x＝2400000，
经检验，x＝2400000是分式方程的解，
2400000cm＝24km，
故答案为：24．
8．线段a是线段b，c的比例中项，且b＝4cm，c＝3cm，则a＝　2　cm．
【分析】根据比例中项的定义得出a2＝bc，代值计算即可得出答案，注意线段为正值．
解：由题意得，a2＝bc，
∵b＝4cm，c＝3cm，
∴a2＝12，
∴a＝2或a＝﹣2（舍去）；
故答案为：2．
9．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝　3（﹣1）　cm．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝AB，把AB＝6cm代入计算即可．
解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB，
而AB＝6cm，
∴AP＝6×＝3（﹣1）cm．
故答案为3（﹣1）．
10．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们对应的角平分线比是　1：2　．
【分析】先根据相似三角形面积的比求出其相似比，再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答．
解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：2，
∵其对应角平分线的比等于相似比，
∴它们对应的角平分线比是1：2．
故答案为1：2．
11．计算：cos60°tan30°﹣cot60°＝　﹣　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．
解：原式＝×﹣
＝﹣．
故答案为：﹣．
12．在△ABC中，中线AD和中线CE相交于点O，那么AD：AO＝　3：2　．
【分析】直接根据三角形重心的性质解答即可．
解：∵在△ABC中，中线AD和中线CE相交于O，
∴点O是△ABC的重心，
∵AO＝AD，
∴AD：AO＝3：2．
故答案为：3：2．
13．如图，l1∥l2∥l3，＝，DF＝10，那么DE＝　　．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，DF＝10，
∴＝，
解得：DE＝，
故答案为：．
14．已知∠A为锐角，如果cotA＝，那么cosA＝　　．
【分析】根据锐角三角函数的定义和勾股定理进行解答即可．
解：设锐角∠A所在的直角三角形为Rt△ABC，∠C＝90°，
则cotA＝＝，
设AC＝3k，则BC＝4k，由勾股定理得，
AB＝＝5k，
∴cosA＝＝，
故答案为：．
15．已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若＝，则当的值是　　时，DE∥BC．
【分析】根据平行线分线段成比例分析即可．
解：∵要使DE∥BC，则需，
∴
故答案为：
16．如图△ABC中，点D在边AB上，∠B＝∠ACD，AB＝9，AD＝5，CD＝7，则BC＝　　．
【分析】先证明△ADC∽△ACB，在利用相似三角形对应边成比例，即可求出BC的长度．
解：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴，
∴AC2＝45，
∴AC＝3，
∴
∴BC＝，
故答案为：．
17．如图，△ABC中，BC＝6，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，且S△ADE＝SDBCE，则DE＝　3　．
【分析】由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，由S△ADE＝SDBCE，可得△ADE与△ABC的面积比为，根据相似三角形的性质即可得出△ADE与△ABC的相似比，进而即可求出DE的长．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∵S△ADE＝SDBCE，
∴△ADE与△ABC的面积比为，
∴△ADE与△ABC的相似比为，
∴，
∵BC＝6，
∴
∴DE＝3，
故答案为：3．
18．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，点P为AC上一点，将△BCP沿直线BP翻折，点C落在C′处，连接AC′，若AC′∥BC，则PC的长为 　　．
【分析】先由折叠求出点C'的运动轨迹，然后过点B作AC'的垂线，垂足为点H，构造“K型”相似，通过勾股定理和相似三角形的性质求得PC'的长度，从而求出点PC的长度．
解：由折叠得，BC＝BC'＝5，∠PC'B＝∠PCB＝90°，
∴点C'在以点B为圆心，BC长为半径的圆上，如图所示，
过点B作AC'的垂线，垂足为点H，
∵AC'∥BC，∠ACB＝90°，
∴∠HAC＝∠ACB＝∠H＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴HB＝AC＝4，AH＝BC＝5，
∴HC'＝3，
∴AC'＝AH﹣HC'＝5﹣3＝2，
∵∠PC'B＝90°，
∴∠AC'P+∠BC'H＝90°，
又∵∠AC'P+∠APC'＝90°，
∴∠BC'H＝∠APC'，
∵∠PC'B＝∠PCB＝90°，
∴△PAC'∽△C'HB，
∴，即，
∴AP＝，
∴PC＝AC﹣AP＝4﹣＝．
故答案为：．
三、简答题（19到22题每题10分，23，24题12分，25题14分，共78分）
19．已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．
（1）用、表示；（直接写出答案）
（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．
【分析】（1）根据平面向量的平行定理即可表示；
（2）根据向量定理即可画出．
解：（1）∵＝，即DE＝CE，DE＝DC，
＝+
（2）如图所示：延长AE、BC交于G，则即为的结果．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴＝＝
∴AG＝3AE
又∵
∴＝3
∴＝．
20．如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．
（1）如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；
（2）如果BO：OE：EC＝2：4：3，AB＝3，求CD的长．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF＝6，则AD＝AF+FD＝8；
（2）根据平行线AB∥CD分线段成比例知BO：OE＝AB：EF，结合已知条件求得EF＝6；同理由EF∥CD推知EF与CD间的数量关系，从而求得CD＝10.5．
解：（1）∵CE＝3，EB＝9，
∴BC＝CE+EB＝12．
∵AB∥EF，
∴＝，则 ＝，
又EF∥CD，
∴＝，则 ＝，
∴＝，即 ＝，
∴AF＝6，
∴AD＝AF+FD＝6+2＝8，即AD的长是8；
（2）∵AB∥CD，
∴BO：OE＝AB：EF．
又BO：OE＝2：4，AB＝3，
∴EF＝6．
∵EF∥CD，
∴＝，
又∵OE：EC＝4：3，
∴＝，
∴＝
∴CD＝EF＝10.5，即CD的长是10.5．
21．如图，已知△ABC中，AB＝BC＝5，tan∠ABC＝．
（1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．
解：（1）作A作AE⊥BC，
在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝，AB＝5，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝＝；
（2）
方法一：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∵tan∠DBF＝＝，
∴DF＝，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD＝＝，
∴AD＝5﹣＝，
则＝．
方法二：
∵DF垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF＝，
∴EF＝CF﹣CE＝﹣1＝，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠BFD＝∠BEA，
∵∠FBD＝∠EBA，
∴Rt△BFD∽Rt△BEA，
∴．
22．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝2，点D在边BC的反向延长线上，且DB＝3，点E在边BC的延长线上，且∠EAC＝∠D．
（1）求证：△EAC∽△ADB．
（2）若AD＝4，求BE的长．
【分析】（1）根据条件可证明△ACE∽△DBA，利用相似三角形的对应边成比例可求得CE；
（2）根据相似三角形的性质求得CE，过点A作AH⊥BC于H，设BC＝y，根据勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠EAC＝∠D，
∴△EAC∽△ADB；
（2）解：∵△EAC∽△ADB，
∴，
∵AB＝AC＝2，DB＝3，
∴，
∴CE＝，
过点A作AH⊥BC于H，
设BC＝y，
∴BH＝CH＝，
∵AD2﹣DH2＝AH2＝AB2﹣BH2，
∴42﹣（3+）2＝4﹣（）2，
∴y＝1，
∴BE＝BC+CE＝1+＝．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD交于点F，若AE平分∠BAC，AB AF＝AC AE．
（1）求证：∠AFD＝∠AEC；
（2）若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD CG＝FC BD．
【分析】（1）先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；
（2）先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB AF＝AC AE，
∴＝，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴△BAE∽△CAF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠AFC，
∴∠AEC＝∠AFD；
（2）证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵DC∥EG，
∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，
∴△BDC∽△GCE，
∴＝＝，
∴CD CG＝FC BD．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
（1）C在线段AB上，＝，求C的坐标．
（2）在第一问的条件下，求tan∠AOC的值．
（3）若D在直线AB上，tan∠BOD＝，求D的坐标．
【分析】（1）过点C作CH∥y轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出AH，OH，CH的长，即可得C的坐标；
（2）连接OC，在Rt△OCH中，根据正切函数的定义即可求解；
（3）设D（x，﹣x+4），进而求出tan∠BOD＝＝，求出x的值即可得D的坐标．
解：（1）过点C作CH∥y轴于H，
∴，
∵，
∴，
∴＝，
∵B，A分别是y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点．
∴A（0，4），B（4，0），
∴OA＝4，OB＝4，AB＝＝4，
∴，
∴AH＝1，HC＝1，
∴OH＝OA﹣AH＝4﹣1＝3，
∴C（1，3）；
（2）连接OC，
在Rt△OCH中，tan∠AOC＝＝；
（3）如图，过点D作DE⊥x轴于E，
设D（x，﹣x+4），
∴tan∠BOD＝＝＝，
解得x＝3或6．
∴D（3，1）或（6，﹣2），
综上所述：D的坐标为（3，1）或（6，﹣2）．
25．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O为对角线AC的中点，联结BO并延长，交边DC于点E．
（1）求证：△ADC∽△BOC．
（2）若＝，求的值．
（3）若CD＝8，OE＝3，求DE的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得BO＝CO，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，可得结论；
（2）通过证明△AOF∽△COB，△DEF∽△CEB，可得BO＝OF，BE＝3EF，可得BO＝2EF，OE＝EF，即可求解；
（3）设BO＝AO＝CO＝x＝OF，利用相似三角形的性质列出等式，求出x的值，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，O为对角线AC的中点，
∴BO＝CO＝AO，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△ADC∽△BOC；
（2）如图，延长AD，BE交于点F，
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB，△DEF∽△CEB，
∴＝1＝，，
∴BO＝OF，AF＝BC，BE＝3EF，
∴BF＝4EF，
∴BO＝OF＝2EF，
∴EO＝OF﹣EF＝EF，
∴；
（3）设BO＝AO＝CO＝x＝OF，
∴AC＝2x，
∵CD＝8，OE＝3，
∴AD＝CD＝8，EF＝x﹣3，BE＝x+3，
∵△ADC∽△BOC，
∴，
∴，
∴BC＝＝AF，
∴DF＝﹣8，
∵△DEF∽△CEB，
∴，
∴＝，
∴x＝（负值舍去），
∴＝＝＝，
∴DE＝8×＝6﹣．