2020-2021学年上海实验学校东校八年级（上）期中数学试卷（Word版含解析）

2020-2021学年上海实验学校东校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题共6小题，每题3分，满分18分）
1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．下列二次根式中，是最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣mx﹣1＝0
C． D．x2﹣x﹣m＝0
4．在实数范围内因式分解2x2﹣3xy﹣y2，下列四个答案中正确的是（　　）
A．（x﹣y）（x﹣y）
B．（x+y）（x+y）
C．2（x﹣y）（x﹣y）
D．2（x+y）（x+y）
5．下列语句不是命题的是（　　）
A．延长AB到D，使BD＝2AB
B．两点之间线段最短
C．两条直线相交有且只有一个交点
D．等角的补角相等
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H且HD＝DC，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．△AHE≌△BHD B．HE＝EC
C．AH＝BD D．△ABD是等腰直角三角形
二、填空题（本题共12小题，每题2分，满分24分）
7．使代数式有意义的x的取值范围是　 　．
8．计算：＝　 　．
9．不等式（2﹣）x＞1的解集是　 　．
10．方程x2﹣4x+1＝0的根的判别式Δ＝　 　，其根的情况 　 　．
11．一元二次方程x2+ax+8＝0有两个相等的实数根，则a＝　 　．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　 　．
13．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　 　．
14．若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝　 　
15．为了降低药品的价格，物价部门对原价是a元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为 　 　元（用含a和x的代数式表示）．
16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝　 　．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC＝　 　．
18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，，点D在边BC上．将△ACD沿直线AD翻折得△AED，若DE⊥BC，则CD＝　 　．
三、解答题（本题共5小题，每题6分，满分30分）
19．计算：．
20．计算：．
21．解方程：（3x﹣1）2＝4x2．
22．解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）．
23．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
四、解答题（本题共4小题，满分34分）
24．已知y＝﹣，化简+﹣．
25．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
26．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？
27．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是 　 　三角形；
（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：
①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形．
参考答案
一、选择题（本题共6小题，每题3分，满分18分）
1．在式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．
解：式子（x＞0），，，，（x＞0）中，二次根式有：
（x＞0），，，共3个．
故选：C．
2．下列二次根式中，是最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】最要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【解答】A、可以化简，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、，含有分母，不是最简二根式，故本选项错误；
C、a符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、，含有能开尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项错误．
故选：C．
3．下列关于x的方程中一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣x+1＝0 B．x2﹣mx﹣1＝0
C． D．x2﹣x﹣m＝0
【分析】分别计算△，再根据△与0的关系来确定方程有无实数根．
解：A、∵x2﹣x+1＝0，∴Δ＝﹣3＜0，故此方程无实数解，此选项错误；
B、∵x2﹣mx﹣1＝0，∴Δ＝m2+4＞0，故此方程有实数解，此选项正确；
C、∵x2﹣2x+1＝0，∴Δ＝4﹣4＜0，故此方程无实数解，此选项错误；
D、∵x2﹣x﹣m＝0，∴Δ＝1+4m（由于m的值不确定，故1+4m可以≥0，可以＜0），故此方程不一定有实数解，此选项错误．
故选：B．
4．在实数范围内因式分解2x2﹣3xy﹣y2，下列四个答案中正确的是（　　）
A．（x﹣y）（x﹣y）
B．（x+y）（x+y）
C．2（x﹣y）（x﹣y）
D．2（x+y）（x+y）
【分析】首先解关于x的方程，进而分解因式得出即可．
解：当2x2﹣3xy﹣y2＝0时，
解得：x1＝y，x2＝y，
则2x2﹣3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．
故选：C．
5．下列语句不是命题的是（　　）
A．延长AB到D，使BD＝2AB
B．两点之间线段最短
C．两条直线相交有且只有一个交点
D．等角的补角相等
【分析】根据命题的概念判断即可．
解：A、延长AB到D，使BD＝2AB，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；
D、等角的补角相等，是命题，不符合题意；
故选：A．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE交于点H且HD＝DC，那么下列结论中，正确的是（　　）
A．△AHE≌△BHD B．HE＝EC
C．AH＝BD D．△ABD是等腰直角三角形
【分析】首先根据垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后再证明∠HAE＝∠HBD，然后再利用AAS证明△ADC≌△BDH．
解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE+∠AHE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
∵∠AHE＝∠BHD，
∴∠HAE＝∠HBD，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△BDH≌△ADC（AAS），
∴BD＝AD，
∵∠BDA＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
故选：D．
二、填空题（本题共12小题，每题2分，满分24分）
7．使代数式有意义的x的取值范围是　x≥3　．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案是：x≥3．
8．计算：＝　2　．
【分析】把二次根式的被开方数进行乘除，再把除法化为乘法，约分后，化简二次根式．
解：原式＝
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
9．不等式（2﹣）x＞1的解集是　x＜﹣2﹣　．
【分析】先判断2﹣与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集
解：∵2﹣＜0，
∴x＜
∴x＜﹣2﹣
故答案为：x＜﹣2﹣
10．方程x2﹣4x+1＝0的根的判别式Δ＝　12　，其根的情况 　有两个不相等的实数根　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可求出Δ＝12，再利用“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”即可得出方程x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根．
解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×1＝12＞0，
∴方程x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根．
故答案为：12；有两个不相等的实数根．
11．一元二次方程x2+ax+8＝0有两个相等的实数根，则a＝　±4　．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝0，即可得出关于a的方程，解之即可得出a的值．
解：∵一元二次方程x2+ax+8＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝a2﹣4×1×8＝0，
解得：a＝±4．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝0代入方程求m，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
解：把x＝0代入方程得m2﹣1＝0，解得m＝±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
13．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等　．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
14．若a，b，c为等腰三角形的三边长且a＝2，其中b，c是方程x2﹣3x+m＝0的两根．则m＝　或2　
【分析】分a为底边长及a为腰长两种情况考虑：当a为底边长时，由根的判别式Δ＝0可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的两腰长，利用三角形的三边关系可确定m＝符合题意；当a为腰长时，将a＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出等腰三角形的底边长，利用三角形的三边关系可确定m＝2符合题意．综上，此题得解．
解：当a为底边长时，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＝0，
解得：m＝，
此时原方程为x2﹣3x+＝0，解得：x1＝x2＝．
∵以2，，为长度的三边能组成三角形，
∴m＝符合题意；
当a为腰长时，将a＝2代入原方程，得：4﹣6+m＝0，
解得：m＝2，
此时原方程为x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝1．
∵以2，2，1为长度的三边能组成三角形，
∴m＝2符合题意．
故答案为：或2．
15．为了降低药品的价格，物价部门对原价是a元的某药品，连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为 　a（1﹣x）2　元（用含a和x的代数式表示）．
【分析】利用代数式先表示出第一次降价后的价格，再在第一次的基础上表示出第二次降价后的价格，整理后即可得出结论．
解：第一次降价后的价格为：a（1﹣x）元，
则第二次降价后的价格为：a（1﹣x）（1﹣x）＝a（1﹣x）2元，
故答案为：a（1﹣x）2．
16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17，则BE＝　8　．
【分析】可先证明△BCE≌△CAD，可求得CE＝AD，结合条件可求得CD，则可求得BE．
解：∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
又∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠ACD，
在△CBE和△ACD中，，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE＝CD，CE＝AD＝25，
∵DE＝17，
∴CD＝CE﹣DE＝AD﹣DE＝25﹣17＝8，
∴BE＝CD＝8；
故答案为：8．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝30°，则∠DEC＝　15°　．
【分析】设∠DEC＝x，∠B＝∠C＝y，根据∠ADE＝∠AED＝x+y，∠AEC＝∠B+∠BAE即可列出方程，从而求解．
解：设∠DEC＝x，∠B＝∠C＝y，
∵∠ADE＝∠DEC+∠C＝x+y，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x+y，
则∠AEC＝∠AED+∠DEC＝2x+y，
又∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝y+30°，
∴2x+y＝y+30°，
解得x＝15°，
∴∠DEC等于15°．
故答案为：15°．
18．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，，点D在边BC上．将△ACD沿直线AD翻折得△AED，若DE⊥BC，则CD＝　　．
【分析】延长AD至F，可得∠ADB＝∠CDF＝45°，进而求得；
解：如图，
延长AD至F，
∴∠CFD＝∠DEF＝45°，
∴∠ADB＝∠CDF＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝45°，
∴∠BAD＝∠ADB，
∴BD＝AB＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝2+2，
故答案是2+2．
三、解答题（本题共5小题，每题6分，满分30分）
19．计算：．
【分析】先化简二次根式、分母有理化，再去括号，最后计算加减即可．
解：原式＝3﹣[3+]
＝3﹣3﹣2+
＝﹣2．
20．计算：．
【分析】系数先除后乘，被开方数也是按这个顺序运算，把除法化为乘法求出最后结果．
解：原式＝12a÷3b2
＝
＝
＝4．
21．解方程：（3x﹣1）2＝4x2．
【分析】利用直接开平方法求解即可．
解：由题意可知3x﹣1＝2x或3x﹣1＝﹣2x，
解得x1＝1，．
22．解方程：2x2﹣6x+1＝0（用配方法）．
【分析】在本题中，先化二次项系数为1，然后把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣3的一半的平方．
解：，
，
，
，
所以，．
23．已知：AD平分∠BAC，AD∥CE，AF⊥CE，求证：EF＝CF．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义推出∠E＝∠ACF，进而得到AC＝AE，根据等腰三角形三线合一的性质即可得解．
【解答】证明：∵AD∥CE，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴∠E＝∠ACF，
∴AC＝AE，
∵AF⊥CE，
∴EF＝CF．
四、解答题（本题共4小题，满分34分）
24．已知y＝﹣，化简+﹣．
【分析】先根据已知条件判断出y＜0，x﹣3≤0，再根据y＜0，x≤3化简+﹣即可．
解：∵y＝﹣＜0，
∴y＜0，x﹣3≤0，
∴x≤3，
∴+﹣
＝+|y﹣1|﹣|x﹣3|
＝|x﹣4|+|y﹣1|﹣|x﹣3|
＝4﹣x+1﹣y﹣3+x
＝2﹣y．
25．设a、b、c是△ABC的三边，关于x的方程有两个相等的实数根，且方程3cx+2b＝2a的根为0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，求m的值．
【分析】（1）因为方程有两个相等的实数根即Δ＝0，由Δ＝0可以得到一个关于a，c的方程，再结合方程3cx+2b＝2a的根为x＝0，代入即可得到一关于a，b的方程，联立即可求出a，b，c的关系；
（2）根据（1）求出的a，b的值，可以关于m的方程，解方程即可求出m．
解：（1）∵有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即，则b﹣2c+a＝0．
∵方程3cx+2b＝2a的根为0，
∴a＝b．
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵a、b为方程x2+mx﹣3m＝0的两根，且a＝b，
∴Δ＝m2﹣4（﹣3m）＝m2+12m＝0，
∴m＝0或m＝﹣12．
当m＝0时，a＝b＝0，不符合题意，应舍去；
当m＝﹣12时，a＝b＝6，符合题意．
综上所述m＝﹣12．
26．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金﹣各种费用）为275万元？
【分析】（1）直接根据题意先求出增加的租金是6个5000，从而计算出租出多少间；
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，直接根据收益＝租金﹣各种费用＝275万元作为等量关系列方程求解即可．
解：（1）∵（130000﹣100000）÷5000＝6，
∴能租出30﹣6＝24（间）．
（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则每间的租金是（10+x）万元，5000元＝0.5万元，有间商铺没有出租，出租的商铺有（30﹣）间，出租的商铺需要交（30﹣）×1万元费用，没有出租的需要交×0.5万元的费用，
则（30﹣）×（10+x）﹣（30﹣）×1﹣×0.5＝275
2x2﹣11x+5＝0
解得：x1＝5，x2＝0.5
5+10＝15万元； 0.5+10＝10.5万元
∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．
27．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是 　等边　三角形；
（2）若∠EAD＝∠BAC≠60°：
①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；
②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形．
【分析】（1）证明∠ABE＝∠EFB＝60°，可得结论．
（2）①结论：△EFB为等腰三角形．证明∠EFB＝∠EBA即可．
②根据要求作出图形即可．结论不变，证明方法类似①．
解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠EAD＝∠BAC＝60°，
∴△AED和△ABC为等边三角形，∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∠EBA＝∠C＝60°
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC＝60°
在△EFB中，∠EFB＝∠ABC＝60°，
∴△EFB为等边三角形．
故答案为：等边；
（2）①结论：△EFB为等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC．
同法可证△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EBA＝∠C
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠ABC
在△EFB中，∠EFB＝∠EBA，
∴△EFB为等腰三角形；
②图形如图3所示，结论：△BEF是等腰三角形．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△AED和△ABC为等腰三角形，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠EAB＝∠DAC，
同法可证△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠EBA＝∠ACD，
∴∠EBF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠AFE＝∠ACB，
在△EFB中，∠EBD＝∠AFE，
∴△EFB为等腰三角形．