2020-2021学年上海市徐汇区重点中学九年级（上）期中数学试卷（Word版含解析）

2020-2021学年上海市徐汇区重点中学九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
2．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
4．已知，那么下列等式中不正确的是（　　）
A．3x＝2y B． C． D．
5．下列命题中，假命题的是（　　）
A．两个等边三角形一定相似
B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似
C．两个全等三角形一定相似
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（　　）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＞0 D．a+b+c＜0
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝　 　厘米．
8．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向 　 　．
9．抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是 　 　．
10．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为 　 　．
11．抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 　 　．
12．如果 与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝　 　．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是　 　．
14．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是　 　．
15．抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝　 　．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝　 　．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
21．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE OC．
22．如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．
（1）若FD＝4，，求线段DC的长；
（2）如果AB2＝AG AC，求证：BG BE＝BC DE．
23．已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．
（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：
（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．
25．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝（2x﹣1）2 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝ax2 D．y＝2x+3
【分析】根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
解：A、y＝（2x﹣1）2＝4x2﹣4x﹣1是二次函数，故本选项符合题意；
B、y＝（x+1）2﹣x2＝x2+2x+1﹣x2＝2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；
C、y＝ax2当a等于0时，它不是二次函数，故本选项不合题意；
D、y＝2x+3是一次函数，故本选项不合题意．
故选：A．
2．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，下列各式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】因为AB∥CD，所以△AOB∽△DOC，得，通过比较可知选项C正确；再将这个式子与选项A比较，可知该选项错误；由AB∥CD，可得、，分别与选项B、D比较，可得出结论．
解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
所以选项C正确；
将A选项与正确结论比较，可知选项A错误；
由AB∥CD，可得，所以选项B错误；
由AB∥CD，可得，所以选项D错误，
故选：C．
3．抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，那么它的顶点坐标是（　　）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】首先根据对称轴是直线x＝3，从而求得m的值，然后根据顶点式直接写出顶点坐标；
解：∵抛物线y＝（x﹣m）2+m﹣2的对称轴是直线x＝3，
∴m＝3，
∴解析式y＝（x﹣3）2+1，
∴顶点坐标为：（3，1），
故选：A．
4．已知，那么下列等式中不正确的是（　　）
A．3x＝2y B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积，对各选项分析求解即可判断．
解：A、∵，
∴3x＝2y，故本选项正确；
B、由可得＝，故本选项正确；
C、由得3x＝2y，
∵可得3（x+2）＝2（y+3），整理得3x＝2y，故本选项正确；
D、∵，
∴＝，故本选项错误．
故选：D．
5．下列命题中，假命题的是（　　）
A．两个等边三角形一定相似
B．有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似
C．两个全等三角形一定相似
D．有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似
【分析】本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
解：两个等边三角形，三角相等，一定相似，A是真命题；
有一个锐角相等的两个直角三角形，三角相等，一定相似，B是真命题；
全等三角形是特殊的相似三角形，C是真命题；
有一个锐角相等的两个等腰三角形，其它两角不一定相等，不能判定这两个三角形相似．
故选：D．
6．如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（　　）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＞0 D．a+b+c＜0
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可判断x＝1时y＝a+b+c的值．
解：由图象的开口向上，可得a＞0，
由x＝﹣＞0，可得b＜0，
由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴于正半轴可得c＞0，
当x＝1时，y＝a+b+c，由二次函数y＝ax2+bx+c的图象可知a+b+c＜0．
∴不正确的是b＞0．
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段a＝4厘米，b＝3厘米，那么线段a与b的比例中项c＝　2　厘米．
【分析】根据比例中项的定义得到a：c＝c：b，然后利用比例性质计算即可．
解：∵线段a和b的比例中项为c，
∴a：c＝c：b，
即4：c＝c：3，
∴c＝2（cm）．
故答案为2．
8．已知抛物线y＝a（x+m）2（m为常数）的顶点在y轴的右侧，且am＜0，则此图象的开口方向 　向上　．
【分析】先写出对称轴为直线x＝﹣m，根据顶点在y轴的右侧，且am＜0可得答案．
解：y＝a（x+m）2的对称轴为直线x＝﹣m，
∵顶点在y轴的右侧，
∴﹣m＞0，m＜0，
∵am＜0，
∴a＞0，开口方向向上，
故答案为向上．
9．抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标是 　（2，5）　．
【分析】把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标．
解：∵y＝3x2﹣12x+17＝3（x﹣2）2+5，
∴抛物线y＝3x2﹣12x+17的顶点坐标为（2，5），
故答案为（2，5）．
10．若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，且图象经过原点，则函数解析式为 　y＝﹣2x2　．
【分析】根据图象过原点，只需把x＝0，y＝0代入求得m的值，同时根据二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，则m＜0进行取舍，进而即可求得函数的解析式．
解：根据题意，把x＝0，y＝0代入，得
m2﹣9＝0，
解，得m＝±3，
又二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣9有最大值，
∴m+1＜0，
m＜﹣1，
∴m＝﹣3，
∴函数解析式为y＝﹣2x2，
故答案为：y＝﹣2x2．
11．抛物线过点（2，3）、（﹣6，3），则抛物线的对称轴是直线 　x＝﹣2　．
【分析】根据点的纵坐标相等，利用二次函数的对称性列式计算即可得解．
解：∵点A（﹣6，3），B（2，3）纵坐标都是3，
∴此抛物线的对称轴是直线x＝＝﹣2．
故答案为x＝﹣2．
12．如果 与单位向量的方向相反，且长度为5，用单位向量表示，则＝　﹣5　．
【分析】由已知向量 与单位向量的方向相反，且长度为5，根据相反向量与单位向量的知识，即可求得答案．
解：∵ 与单位向量的方向相反，且长度为5，
∴＝﹣5．
故答案是：﹣5．
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是　5　．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出斜边的中线的长，根据三角形的重心的性质计算即可．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，
∴AB＝＝15，
则斜边AB上的中线为：，
∴重心G到C点的距离是：×＝5，
故答案为：5．
14．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝12，AC＝9，BC＝18，如果AB的对应边DE为4，那么△DEF的周长是　13　．
【分析】根据相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，即可求出△DEF的周长．
解：∵△ABC中，AB＝12，AC＝9，BC＝18，
∴△ABC的周长是12+9+18＝39．
∵△ABC∽△DEF，AB的对应边DE为4，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝12：4＝3，
∴△DEF的周长是39÷3＝13．
故答案为13．
15．抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是　1或﹣1　．
【分析】此题需要分类讨论：①当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴；②点A、B均在x轴的正半轴上时来求a的值．
解：令x＝0，则y＝3，即点C的坐标是（0，3），则OC＝3．
①如图1，点A、B均在x轴的正半轴上时．
∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，
∴OA＝1，OB＝3，
令y＝0，则ax2+bx+3＝0，
∴1，3的该方程的两个根，
∴3＝，
解得，a＝1；
②如图2，当点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴上时．
∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，
∴OA＝1，OB＝3，
令y＝0，则ax2+bx+3＝0，
∴﹣1，3的该方程的两个根，
∴﹣3＝，
解得，a＝﹣1；
综合①②知，a的值是1或﹣1．
故答案是：1或﹣1．
16．如图，正方形ABCD的边长为12，DE＝5，AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点P、M、Q，则PM：MQ＝　5：19　．
【分析】连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，设DP＝x，在Rt△DPE中，根据勾股定理求出DP，求出AP、AE，根据△ADE∽△ECN求出EN和CN，求出AM、MN，根据△APM和△MQN相似即可求出答案．
解：如图，连接AQ，QE，PE，延长AE交BC的延长线于N，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝13，
∵PQ垂直平分AE，
∴AP＝PE，AQ＝EQ，EM＝AM＝AE＝，
设PD＝x，在Rt△PDE中，则AP＝PE＝12﹣x，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PE2＝PD2+DE2，
∴（12﹣x）2＝x2+52，
解得：x＝，
即PD＝，
∴AP＝12﹣＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△NCE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴CN＝，EN＝，
∴NM＝EN+EM＝+＝，
∵AD∥BC，
∴△APM∽△NQM，
∴＝，
∴＝＝，即PM：MQ＝5：19，
故答案为5：19．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，设点C关于DE的对称点为F，若DF∥AB，则BD的长为 　1　．
【分析】延长DF交AC于G，设BD＝CE＝x，由DF∥AB可证△ABC∽△EGF，得GE＝，则CG＝GE+CE＝，再根据平行线分线段成比例即可得出关于x的方程．
解：延长DF交AC于G，设BD＝CE＝x，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝4，
∵点C关于DE的对称点为F，
∴EF＝CE＝x，
∵DF∥AB，
∴∠A＝∠EGF，
∴△ABC∽△EGF，
∴，
∴，
∴GE＝，
∴CG＝GE+CE＝，
∵DF∥AB，
∴，
∴，
∴x＝1，
∴BD＝1，
故答案为：1．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CE⊥BD于点E，点F是AB的中点，则EF＝　　．
【分析】在BD上截取BH＝CE，连接FE，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．
解：在BD上截取BH＝CE，连接FE，
∵∠ACB＝90°，CE⊥BD，AC＝BC＝3，CD＝1，
∴BD＝，
∴△CDE∽△BDC，
∴，
∴CE＝，
∵△ACB是等腰直角三角形，点F是AB的中点，
∴AF＝CF＝BF，∠A＝∠ACF＝∠BCF，
∴∠FCE+∠DCE＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，
∵∠DCE＝∠CBD，
在△CEF与△BHF中，
，
∴△CEF≌△BHF（SAS），
∴FE＝FH，∠BFH＝∠EFC，
∵FC⊥BE，
∴∠HFE＝90°，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∵EH＝BD﹣BH﹣DE＝，
∴FE＝EH×，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．已知，a﹣b+2c＝14，求a，b，c的值．
【分析】设＝k，根据比例性质得a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后利用a﹣b+2c＝14得到2k﹣3k+8k＝14，然后解出k的值，从而得到a、b、c的值．
解：设＝k
∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a﹣b+2c＝14，
∴2k﹣3k+8k＝7k＝14，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝8．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n经过点A（4，﹣1），B（1，2）
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）该抛物线对称轴与抛物线交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）把A点和B点坐标代入y＝﹣x2+mx+n得到关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n得到抛物线解析式；然后利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而得到直线AB与x轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解：（1）把A（4，﹣1），B（1，2）代入y＝﹣x2+mx+n得，解得m＝4，n＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣1；
抛物线的对称轴为直线＝﹣＝2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，﹣1），B（1，2）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则直线AB与x轴的交点坐标为（3，0），
而C（2，0），
所以△ABC的面积＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×1＝3．
21．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE OC．
【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．
【解答】证明：（1）∵OD＝2OA，OC＝2OB，
∴．
又∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC．
（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO＝∠DCO．（1分）
∵AB∥DE，
∴∠ABO＝∠EDO．（1分）
∴∠DCO＝∠EDO．（1分）
∵∠DOC＝∠EOD，
∴△DOC∽△EOD．（1分）
∴．（1分）
∴OD2＝OE OC．（1分）
22．如图已知：梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD的中点，直线BE、CD交于点F．
（1）若FD＝4，，求线段DC的长；
（2）如果AB2＝AG AC，求证：BG BE＝BC DE．
【分析】（1）由AD∥BC，AE＝ED，得，进而可推出DC长；
（2）由AB2＝AG AC得，再由∠BAC＝∠BAC，得△BAG∽△CAB，再结合AD∥BC即可推出△BAE∽△CGB，得出BG BE＝AE BC，从而可推出出结论．
解：（1）∵AD∥BC，AE＝ED，
∴，
∴FD＝4，
∴FC＝12，
∴DC＝8；
（2）∵AB2＝AG AC，
∴，
∵∠BAC＝∠BAC，
∴△BAG∽△CAB，
∴∠ABG＝∠BCA，
∵AD∥BC，
∴∠AEG＝∠EBC，
∴△BAE∽△CGB，
∴，
∴BG BE＝AE BC，
∵AE＝ED，
∴BG BE＝ED BC．
23．已知：如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC＝12cm，高AH＝8cm，要把它加工成矩形零件，使矩形零件的一边DE在BC边上，其余两个顶点G、F分别在边AB和AC上．
（1）当加工的矩形零件的两边EF：GF＝2：3时，求这个矩形零件的面积；
（2）当矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9时，求此时矩形零件DEFG的两边EF：GF的值．
【分析】（1）利用相似三角形的判定方法得出△AGF∽△ABC，进而求出矩形零件的面积；
（2）利用已知求出S△ABC，进而表示出EF，FG的长，再利用相似三角形的性质得出各边长，进而得出答案．
解：（1）∵矩形零件的两边EF：GF＝2：3，
∴设EF＝2x，GF＝3x，
∵FG∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴＝，
则＝，
解得：x＝2，
则EF＝4cm，FG＝6cm，
故这个矩形零件的面积为：24cm2；
（2）∵BC＝12cm，高AH＝8cm，
∴S△ABC＝×12×8＝48（cm2），
∵矩形零件DEFG与△ABC的面积之比为4：9，
∴矩形零件DEFG的面积为：48×＝（cm2），
设EF＝acm，则FG＝cm，
∵由（1）得：＝，
∴＝，
解得：a1＝，a2＝，
当EF＝a＝，则FG＝8，此时EF：GF＝：8＝1：3；
当EF＝a＝，则FG＝4，此时EF：GF＝：4＝4：3．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：
（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；
（2）在抛物线上有一点E，且点E在C′的左侧，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若△EFM与△MON相似，求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P（C′点除外），使得∠PMN＝∠OMN，若存在，写出点P坐标，不存在，写出理由．
【分析】（1）由旋转的性质确定点A′、C′、B′的坐标，用待系数法求直线BB′的解析式，再求出点N、点M的坐标，将点M、N、C′的坐标代入y＝ax2+bx+c列方程组，解方程组求出a、b、c的值即可；
（2）设E（x，x2+2x+），则F（x，0），由∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，可得或，列方程求出点E的坐标即可；
（3）作OQ⊥MN于点Q，延长OQ到点G，使GQ＝OQ，作GR⊥y轴于点R，作射线MG交抛物线于点P，则∠PMN＝∠OMN，求出点G的坐标，再求出直线MP的解析式且与抛物线的解析式组成方程组，解方程组即可求出点P的坐标．
解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，且A（3，0），C（0，1），
∴B（3，1），
由旋转得A′（0，3），C（﹣1，0），且四边形OA′B′C′是矩形，
∴B′（﹣1，3），
设直线BB′的解析式为y＝kx+m，则，
解得，
∴直线BB′的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝；
当y＝0时，则0＝x+，解得x＝5，
∴M（5，0），N（0，），
把M（5，0）、N（0，）、C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x+．
（2）如图1，设E（x，x2+2x+），则F（x，0），
∵∠MFE＝∠MON＝90°，且△EFM∽△MON，
∴或，
若，则＝，
整理得x2﹣3x﹣10＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣2，﹣）；
若，则＝，
整理得x2＝25，
解得x1＝﹣5，x2＝5（不符合题意，舍去），
∴E（﹣5，﹣20），
综上所述，点E的坐标为（﹣2，﹣）或（﹣5，﹣20）．
（3）如图2，作OQ⊥MN于点Q，延长OQ到点G，使GQ＝OQGR⊥y轴于点R，作射线MG交抛物线于点P，
∵MN垂直平分OG，
∴GM＝OM，
∴∠PMN＝∠OMN，
∵∠MON＝90°，ON＝，OM＝5，
∴MN＝＝，
∴×OQ＝××5＝S△MON，
解得OQ＝，
∴OG＝2OQ＝2，
∵∠OQM＝90°，
∴∠ROG＝90°﹣∠QOM＝∠OMN，
∵∠ORG＝∠MON＝90°，
∴△ROG∽△OMN，
∴＝＝＝＝，
∴RG＝×＝2，OR＝×5＝4，
∴G（2，4），
设直线MP的解析式为y＝px+n，则，
解得，
∴直线MP的解析式为y＝x+，
由，得，（不符合题意，舍去），
∴P（，）．
25．已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．
【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，
BC＝AD＝6，
AB∥CD，
∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴＝＝，＝，
∴AM＝2CF＝4，
∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴＝，
∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，
∴CF＝3，
当点M和B点重合时，
AB＝2CF，
∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，
如图2，
当0＜x＜3时，
作EG⊥BC于G，
由（1）知，
EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，
由＝得，
＝，
∴BN＝，
∴y＝
＝
＝，
如图3，
当3＜x＜4.5时，
由＝得，
＝，
∴CN＝，
∴y＝
＝；
（3）如图4，
∵EG∥AB，
∴＝＝，
∴CG＝CB＝2，
∴GB＝CB﹣CG＝4，
∴BE＝5，
当BM＝BE＝5时，
9﹣2x＝5，
∴x＝2，
如图5，
当EM＝EB＝5时，
作EH⊥AB于H，
∴BM＝2BH＝2EG＝6，
∴9﹣2x＝6，
∴x，
如图6，
当EM＝BM时，
作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝，sin∠MBH＝sin∠BEG＝＝，
∴BM＝
＝＝，
∴9﹣2x＝，
∴x＝，
综上所述：x＝2或或．