因式分解单元复习

(共30张PPT)
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。
（一）因式分解的定义：
基本概念
即：一个多项式 →几个整式的积
练习题：
一个多项式分解因式的结果为（x+3)(x+4),则这个多项式为（ ）
x2 ＋7 x ＋12
（二）因式分解的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提取公因式。
练习题： 分解因式
2.p（y－x）－q（y－x）
（1）、提取公因式法：
解： p（y－x）－q（y－x）
= （y－x）（ p －q）
即： ma + mb + mc = m（a+b+c）
1 . X2 – 9= ______
(x+3)(x-3)
1.公因式确定
（1）系数：取各系数的最大公约数；
（2）字母：取各项相同的字母；
（3）相同字母的指数：取最低指数。
2.变形规律：
（1）x-y=-(y-x) (2) -x-y=-(x+y)
(3) (x-y)2=(y-x)2 (4) (x-y)3=-(y-x)3
3.一般步骤
（1）确定应提取的公因式；
（2）多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式；
（3）把多项式写成这两个因式的积的形式。
提公因式法：
练习题：
.分解因式: ax2y+axy2
=axy(x+y)
（2）运用公式法：
如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式目的。这种方法叫做公式法。
① a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ] 练习
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2 [ 完全平方和公式 ] 练习
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2 [ 完全平方差公式 ]
公式法中主要使用的公式有如下几个：
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差；
用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法
练习题： 分解因式 x2－（2y）2
a2－b2＝（a＋b）（a－b） [ 平方差公式 ]
解： x2－（2y）2
=（x＋2y）（x－2y）
练习题：
下列各式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A、x2＋x＋2y2 B、 x2 ＋4x－4
C、x2＋4xy＋y2 D、 y2 －4xy＋4 x2
② a2 ＋2ab＋ b2 ＝（a＋b）2
a2 －2ab－ b2 ＝（a－b）2
D
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；
二套：再看有几项，
如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
一般步骤
三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。[如(x+y) -x-y=(x+y)(x+y-1）
第二步第二环节
1.分解因式:m2 – n2 + 2m - 2n (北京市)
解:
原式=(m2-n2) + (2m – 2n)
=( m + n )( m – n )+2( m – n )
=( m - n )( m + n +2)
2.分解因式: x3 – xy2 ( 沈阳市)
解:
原式= x ( x2 – y2 )
= x ( x + y )( x – y )
（ x －y）3 － （ x －y）
解： （ x －y）3 － （ x －y）
= （ x －y） （ x －y ＋ 1） （ x －y － 1）
分解因式: x3 – x = ___________
x( x 2 – 1) = x (x+1)(x-1)
解:
x(x+1)(x-1)
分解因式:(4x2+1)2 – 16x2
解:
(4x2+1)2 – 16x2
=(4x2+1+4x)(4x2+1-4x)
=(2x+1)2(2x-1)2
=(4x2+4x+1)(4x2-4x+1)
.将 x – xy2 分解因式______________
解:
x – xy2=x(1-y2)
=x(1+y)(1-y)
x(1+y)(1-y)
=[3(m+n)]2- (m-n)2
=[3(m+n)+ (m-n)][3(m+n)- (m-n)]
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
9（m+n)2-(m-n)2
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
(广西)
简化计算
主要应用
多项式的除法
解方程
简化计算
(1)562+56×44 (2)1012 - 992
变式
若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；
超级变变变
解方程：
x -9x=0
变式
解下列方程：
(3x- 4) - (3x+ 4) =48
多项式的除法
(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
变式：
20052+2005能被2006整除吗？
第三步
求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除.
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n
=15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为自然数时，2n-1为整数，
∴2n+4-2n能被30整除.
典型例题解析
大
已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。（提示： a2-b2 -c2 –2bc = a2-（b2+c2 +2bc ）
比
一个矩形的面积为a3 -2ab+a ,宽为 a ,则矩形的长为_____________
( 安徽 )
解:
矩形的长=(a3-2ab+a)÷a
=a2 – 2b+1
a2 – 2b+1
(黄冈)
若a2-2a+1=0 , 2a2- 4a =_____
解法一:
由a2-2a+1=0得(a-1)2=0,∴a=1
∴ 2a2- 4a =2×12 - 4×1= -2
解法二:
由a2-2a+1=0得a2-2a=-1,
∴ 2a2- 4a =2(a2-2a)
=2×(-1)
=-2
解法三:
2a2- 4a= 2a2- 4a+2-2
=2(a2-2a+1)-2
=2×0-2=-2
-2
(广州)
如果 x2+x-1=0, 那么代数式 x3+2x2 -7的值为( )
x2+x-1=0得x2=1-x,
则x3+2x2-7=x(1-x)+2(1-x)-7
=x-x2+2-2x-7=-x2-x-5
=-(x2+x)-5=-(x2+x-1)-6
=-6
解:
A. 6 B. 8 C. -6 D. -8
C
(福州市)
(厦门市)
已知: a+b =m , ab = -4,
化简:(a-2)(b-2)的结果是( )
A. 6 ; B. 2m-8 ; C. 2m , D.-2m
D
(厦门市)
解:
(a-2)(b-2)
=ab-2a-2b+4
=ab-2(a+b)+4
=-4-2m+4
=-2m
已知 2n+2-n=k(n为正整数),
则4n+4-n=______(用含k的代数式示).
(烟台市)
K2 -2
解:
4n+4-n=(2n)2+(2-n)2
= (2n+2-n)2 -2n·2-n
= k2 - 2
在多项式4x2+1中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是________ (只写一个即可)
4x或 -4x
已知 a–b=b-c=3/5 , a2+b2+c2=1 ,ab+bc+ca=____
(宁波市)
解:
由已知得a+c=2b (1) ,a =3/5+b ,
∴(3/5+b)2+b2+(b-3/5 )2=1
c=b-3/5,
∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
b2=7/75 ,
若 ( )
A. B. C. D.
(潍坊市)
解:
A
在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式 x4 – x4 , 因式分解的结果是(x –y)(x+y)(x2+y2), 若取x=9 ,y=9时,则各个因式的值是: (x-y)=0 , (x+y) =18 , (x2+y2) =162, 于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码, 对于多项式 4x3 – xy2 , 取x =10 , y = 10 时, 用上述方法产生的密码是:___________________________
101030 ;
(写一个即可) (浙江)
或103010 ;
或301010
4x3 – xy2 = x (2x-y)(2x+y)
x=10 , 2x-y =10 , 2x+y =30
因式分解应进行到底.
如：分解因式：x4-4=(x2+2)(x2-2)
=(x2+2)(x+ )(x- ).
应在实数范围内将它分解到底.