7.6.1圆的标准方程
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(共28张PPT)
一、复习
1、求曲线方程的步骤
2、目前我们常用的求曲线方程的方法
3、求到定点（a,b)的距离等于r的点的轨迹方程，并指出轨迹的形状
（1）直接法（2）相关点法（3）参数法
圆？
1、圆的定义：
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
知 识 点
2、圆的标准方程：
说明：
1.特点：明确给出了圆心和半径。
2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件。（a, b, r)
x
y
O
．
r
M
若圆心在坐标原点，圆的方程是
x2+y2=r2
练习 1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
（2）圆心在点C(3,4)，半径是 ；
练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径
(2x-2)2+(2y+4)2=2
x2+y2=2x+2y+1
练习3、求满足下列条件的各圆的方程:
O
X
Y
M(1,3)
3x-4y-7=0
(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.
(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的圆.
评注:
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法.
2.解题时注意充分利用圆的几何性质.
3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为:
(1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组;
(3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设方程得所求解方程.
练习5、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)
的切线的方程。
x
y
O
．
M(x0,y0)
练习5、已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
P(x , y )
由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2
解法二（利用平面几何知识）：
在直角三角形OMP中
y
x
O
x0x +y0 y = r2
P(x , y )
y
x
O
练习5、 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
OM MP= 0
OM MP
x0x +y0 y = r2
x2 + y2 = r2
练习6、猜想过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点(x。,y。)的切线方程。并给予证明。
切线方程为:
(ｘ–ａ)(ｘ。–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。–ｂ)=r
练习7、求过（-3，5）与圆（x+1) +(y-3) =4相切的直线方程
练习7、某圆拱桥的一孔圆拱桥的示意图，该圆拱跨度AB为20m， 拱高OP为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
A （-10，0）
B （10，0）
P （0，4）
y
x
O
析： (x-a)2+(y-b)2=r2
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。
y
x
A
B
P
O
E
F
G
H
C
D
R
T
x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。
y
x
A
B
P
O
E
F
G
H
C
D
R
T
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
x2+(y+10.5)2=14.52
小结：
1、求圆的标准方程实质就是求 a、b、r
2、求圆的切线方程实质就是求直线的方程
3、有关圆的实际应用问题关键就是抽象出数学模型
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
问题:
解:由题可知 -1≤ X ≤1
-1≤ Y ≤1
所以 -2 ≤ X+Y ≤ 2
x
解决问题: 已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
y
x
o
令x+y=0.
将直线x+y=0进行平移
当到M点时x+y取最大值
当到N点时x+y取最小值
M
N
一、复习
1、求曲线方程的步骤
2、目前我们常用的求曲线方程的方法
3、求到定点（a,b)的距离等于r的点的轨迹方程，并指出轨迹的形状
（1）直接法（2）相关点法（3）参数法
圆？
1、圆的定义：
平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.
知 识 点
2、圆的标准方程：
说明：
1.特点：明确给出了圆心和半径。
2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件。（a, b, r)
x
y
O
．
r
M
若圆心在坐标原点，圆的方程是
x2+y2=r2
练习 1.写出下列各圆的方程：
（1）圆心在原点，半径是3；
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
（2）圆心在点C(3,4)，半径是 ；
练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径
(2x-2)2+(2y+4)2=2
x2+y2=2x+2y+1
练习3、求满足下列条件的各圆的方程:
O
X
Y
M(1,3)
3x-4y-7=0
(1)以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0相切的圆.
(2)圆心在x轴上,半径为5且过点A(2,-3)的圆.
评注:
1.求圆的方程常用方法(1)定义法,(2)待定系数法.
2.解题时注意充分利用圆的几何性质.
3.用待定系数法求圆的方程一般步骤为:
(1)根据题意,设所求方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程或方程组;
(3)解方程或方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设方程得所求解方程.
练习5、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)
的切线的方程。
x
y
O
．
M(x0,y0)
练习5、已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
P(x , y )
由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2
解法二（利用平面几何知识）：
在直角三角形OMP中
y
x
O
x0x +y0 y = r2
P(x , y )
y
x
O
练习5、 已知圆的方程是 ，求经过圆上一点
的切线的方程。
解法三（利用平面向量知识）：
OM MP= 0
OM MP
x0x +y0 y = r2
x2 + y2 = r2
练习6、猜想过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点(x。,y。)的切线方程。并给予证明。
切线方程为:
(ｘ–ａ)(ｘ。–ａ)+(ｙ–ｂ)(ｙ。–ｂ)=r
练习7、求过（-3，5）与圆（x+1) +(y-3) =4相切的直线方程
练习7、某圆拱桥的一孔圆拱桥的示意图，该圆拱跨度AB为20m， 拱高OP为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。
解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中点为原点建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。
把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得：b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
A （-10，0）
B （10，0）
P （0，4）
y
x
O
析： (x-a)2+(y-b)2=r2
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。
y
x
A
B
P
O
E
F
G
H
C
D
R
T
x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得
(-2)2+(y+10.5)2=14.52
因为y>0,所以y=
14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
答：支柱A2P2的长度约为3.86m。
变一：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。
y
x
A
B
P
O
E
F
G
H
C
D
R
T
变二：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。
x2+(y+10.5)2=14.52
小结：
1、求圆的标准方程实质就是求 a、b、r
2、求圆的切线方程实质就是求直线的方程
3、有关圆的实际应用问题关键就是抽象出数学模型
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
问题:
解:由题可知 -1≤ X ≤1
-1≤ Y ≤1
所以 -2 ≤ X+Y ≤ 2
x
解决问题: 已知x2+y2=1,求x+y 的最值。
y
x
o
令x+y=0.
将直线x+y=0进行平移
当到M点时x+y取最大值
当到N点时x+y取最小值
M
N