等差数列
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(共115张PPT)
鸡蛋，从外打破是食物，从内打破是生命。人生亦是，从外打破是压力，从内打破是成长。如果你等待别人从外打破你，那么你注定成为别人的食物；如果能让自己从内打破，那么你会发现自己的成长相当于一种重生。
2.2 等差数列
第一课时
一、数列的定义，通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 ,… an,…
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
www.
复习
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下一次的大致时间吗？
2062
相差76
某此系统抽样所抽取的样本号分别是:
7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：
7500，8000，8500，9000，10000，10500.
（观察以下数列）
引入
这三个数列有何共同特征
从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。
请尝试着给具有上述特征的特殊数列
用数学的语言下定义
交流
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1）指出定义中的关键词：
从第2项起
等于同一个常数
⑵由定义得等差数列的递推公式：
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.
每一项与其前一项的差
探究
练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
www.
(6)
2、等差数列的通项公式
根据等差数列的定义得到
方法一：不完全归纳法
2、等差数列的通项公式
将所有等式相加得
方法二
累加法
例1 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：
⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得
a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.
⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得此数列的通项公式为an=-5-4(n-1).
由-401=-5-4(n-1),得n=100，
即-401是这个数列的第100项.
1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.
结论
跟踪训练
3．等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
例2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
思考：（1）在等差数列{an}中，是否有
（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有
那么数列{an}一定是等差数列吗？
是
是
由此可证明一个数列为等差数列。
4、等差数列通项公式的推广
解析：
由等差数列的通项公式得
解法一: 依题意得：
a1+2d=9
a1+8d=3
解之得 a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
解法二：
你能用七巧板拼成一幅有意义的图形吗？并写出解说词．
例如：
帆船 乘风破浪会有时
生命在于运动
2.2 等差数列
第二课时
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
100与180
5、等差数列的通项及图象特征
解析:
思考
结论:
首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图
例如：
【思路点拨】 将递推公式变形，然后按等差数列的定义判定．
有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例7 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，小明爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多
5岁，求他们祖孙三人的年龄．
解 设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为
，其中
为公差．
则：
解得：
，
从而
，
将成等差数列的三个数
是经常使用的方法．
设为
例8、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。
四个数等差的设法：
a-3d，a-d，a+d，a+3d
公差为2d。
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
解之得
故所求三数依次为2，4，6或6，4，2
等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；
(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
例9
例10 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.
（1）求AB，BC，CD的长；
（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？
3，7，11
a9=35
S9=1225
国王在处决犯人，并使用一种特殊的方式：让犯人说一句话，如果犯人说的是真话，那么就绞死；如果犯人说的是假话，那么斩首。轮到一个聪明的犯人时，他说：“我说的是假话。”这样的话，就产生了悖论，即如果他说的是假话，那么这句话说明自己说的是真话。反过来，如果这句话是真话，那么这句话又说明他说的是假话。这样就没办法判断真假了。大臣们都很为难。国王想了想，叫人找来一个大盒子，把这个人放到盒子里，并注入毒气。国王说：“在我打开盒子前，他既是生的又是死的。
2.2.2 等差数列的性质
第一课时
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
4、通项公式法：
5、等差数列的性质
已知数列 为等差数列，那么有
性质1：若 成等差数列，则
成等差数列.
证明：根据等差数列的定义，
即 成等差数列.
如 成等差数列， 成等差数列.
推广：下标成等差的项，按原顺序可排成新的等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）
反之不成立：常数列
性质2：设 若 则
反之不成立：常数列
①若 为等差数列，且正整数p、q、r满足 ，则一定有：
性质2的推论：
③除首末两项以外，每一项是其左右相邻两项的等差中项。
②在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。
39
15
性质3：设 c, b 为常数，若数列 为等差数列，则数
列 为等差数列.
反之不成立：c=0
性质4：设 p, q 为常数，若数列 、 均为等差数列，
则数列 为等差数列.
反之不成立：p，q互为相反数，两个数列相同，但非等差。
2023
7
4
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
(2)已知等差数列{an}，若a11＝－26，a51＝54，则a14＝________.
例1
【思路点拨】 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.
【答案】 (1)C (2)－20
变式训练1 (1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；
(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，
故a5＋a8＝a3＋a10＝3.
(2)由a1＋a15＝a4＋a12，
得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.
答案：(1)3 (2)－4
等差数列的应用题
某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
例3
【解】 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，….
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
【名师点评】 “亏损”＝“利润小于零”．由于公差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处暗含an－1≥0成立)公司将出现亏损．
变式训练2 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m，平均降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚的高度是多少？
解：∵每升高100 m温度降低0.7 ℃，
∴该处温度的变化是一个等差数列问题．
山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，
∴26＋(n－1)×(－0.7)＝14.8，解得n＝17，
∴此山的高度为(17－1)×100＝1600(m)．
方法感悟
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝….
(5)数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列．
等差数列的性质与判定
第二章
数 列
第四课时：
课题
1、等差数列的概念；
2、等差中项的概念；
3、等差数列的通项公式；
或
从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数
1、若 为公差为 有穷等差数列，则把 倒序
排列的数列仍然是等差数列，公差为 。
2、若 为等差数列，则等间隔抽取的子数列
也是等差数列。即脚码等差，项就等差。
3、若 、 是公差分别为 的等差数列，则 、 、 仍为等差数列，公差分别为
4、等差数列的首项为 ，公差 ，
将前 项去掉，其余各项组成的数列仍然是等差数列。新数列的首项为 公差仍为 。
①若 为等差数列，且正整数p、q、r满足 ，则一定有：
性质5的推论：
5、若 为等差数列，且正整数p、q、r、s满足 ，则一定有：
你能证明么？
③除首末两项以外，每一项是其左右相邻两项的等差中项。
②在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。
39
15
- 4
A
D
98
2023
7
4
1、定义法：
证明后一项与前一项的差是与n无关的常数：
2、等差中项法：
证明第n项是第n-1项与第n+1项的等差中项：
3、通项公式法：
证明数列的通项是关于n的一次函数。
1、等差数列的性质；
2、等差数列的判定；
3、等差数列的图像与单调性。
定义法：
等差中项法：
通项公式法：
新知探究
思考：
等差数列性质1
等差数列性质1
【例1】
性质2：等差中项
【思考】若在a, b中插入一个数A，使a，A，b成等差数列，则A应满足什么条件？
【练习】
1.数列1，3，5，7，9，11，13……
中7是那些项的等差中项？
2.求下列两个数的等差中项：
（1）30与18； （2）-13与9。
3.在-1与9之间顺次插入a，b，c三
个数，使这五个数成等差数列，
求插入的三个数和等差数列的公差？
在学习了等差中项的概念后，我们又多了一中判定等差数列的方法。
问：如何判断一个数列为等差数列
【例2】已知a,b,c依次成等差数列，
求证： 成等差
数列.
【例3】
性质3：
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
说明：1.可推广到三项，四项等
2.等式两边作和的项数必须一样多
3.特别地：m+n=2p则am+an=2ap
性质1：公差计算公式，通项公式二
课后小结
性质2：等差中项
性质3：下标和性质
1、定义：
2、 通项公式：
推广：
一、知识要点；
5.等差数列性质：
（1）
（2）
若
则
（3）若数列 是等差数列，则
也是等差数列
（4）等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列
仍为等差数列
6.等差数列判定方法：
（1）定义法：
（2）递推公式法：
（3）看通项法：
（4）看前n项和法：
二、主要题型分析:
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5. 已知 是两个等差数列，前 项和
分别是 和 且
求
在等差数列
中，
为公差，若
且
求证：
证明： 设首项为
，则
例2.
等差数列的性质
P3911
am+an=ap+aq
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目
的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ，d=
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
等差数列的性质
P398，10
5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
例2 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17
a7= 11
a4= 11
a7= 17
或
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
例题分析
1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z ∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
7．{an} 、{bn}是项数相同的等差数列,则{Pan +qbn} 是等差数列
3.通项公式推广 an= ，d=
本节课小结
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
5. 特别的有:a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
6. am , am+k , am+2k , am+3k … 成等差数列。
等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项。
如果A是x和y的等差中项，则
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。
性质1
例3．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.
解：由等差数列的通项公式可知
an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d，
两式相减得，
an=am+(n－m)d.
性质2
例4.（1）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
求证：am＋an＝ap＋aq.
（2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，求a2＋a8.
解：（2）∵ a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5，
∴ 5a5=450， a5=90,
∴ a2+a8= 2×90=180.
（性质3）
例6．已知等差数列{an}的首项a1=17，公差d=－0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？
解：由题意，{an}的通项公式是
an=17－0.6(n－1)，
令17－0.6(n－1)<0，解得
又因为{an}是递减数列，
所以数列{an}从第30项起开始出现负数。
例8
（1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,求a9， a7＋a11
解：
（1）∵a9是a3和a15的等差中项
∴
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150，求a2＋a8的值
∵7+11=3+15
（2）∵3+7=4+6=5+5
∴ a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=5 a5=150
即a5=30
故a2＋a8 =2 a5=60
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
∴ a3＋a7 =a4 ＋a6=2 a5
（1）等差数列{an}中，a3 ＋a9＋a15＋a21=8，则a12 =
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋a9＋a10＋a11=
2
（3）已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2＋a6 = －15，则a8=
－19
跟踪训练
鸡蛋，从外打破是食物，从内打破是生命。人生亦是，从外打破是压力，从内打破是成长。如果你等待别人从外打破你，那么你注定成为别人的食物；如果能让自己从内打破，那么你会发现自己的成长相当于一种重生。
2.2 等差数列
第一课时
一、数列的定义，通项公式:
按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 ,… an,…
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
二、数列的简单表示:
三、给出数列的方法:
www.
复习
在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：
（1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ）
你能预测出下一次的大致时间吗？
2062
相差76
某此系统抽样所抽取的样本号分别是:
7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.
某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是：
7500，8000，8500，9000，10000，10500.
（观察以下数列）
引入
这三个数列有何共同特征
从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。
请尝试着给具有上述特征的特殊数列
用数学的语言下定义
交流
1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
（1）指出定义中的关键词：
从第2项起
等于同一个常数
⑵由定义得等差数列的递推公式：
说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.
每一项与其前一项的差
探究
练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
www.
(6)
2、等差数列的通项公式
根据等差数列的定义得到
方法一：不完全归纳法
2、等差数列的通项公式
将所有等式相加得
方法二
累加法
例1 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵- 401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：
⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得
a20=8+(20-1) ×(-3)=-49.
⑵由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得此数列的通项公式为an=-5-4(n-1).
由-401=-5-4(n-1),得n=100，
即-401是这个数列的第100项.
1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；
2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.
结论
跟踪训练
3．等差中项
如果 a, A, b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 .
由等差中项的定义可知， a, A, b 满足关系：
意义：
任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当 a=b 时，A = a = b .
例2.在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
思考：（1）在等差数列{an}中，是否有
（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有
那么数列{an}一定是等差数列吗？
是
是
由此可证明一个数列为等差数列。
4、等差数列通项公式的推广
解析：
由等差数列的通项公式得
解法一: 依题意得：
a1+2d=9
a1+8d=3
解之得 a1 =11
d =-1∴这个数列的通项公式是：an=11- (n-1)=12-n
故 a12= 0, a 3n = 12 – 3 n.
解法二：
你能用七巧板拼成一幅有意义的图形吗？并写出解说词．
例如：
帆船 乘风破浪会有时
生命在于运动
2.2 等差数列
第二课时
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
100与180
5、等差数列的通项及图象特征
解析:
思考
结论:
首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为
an ＝2n-1
相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图
例如：
【思路点拨】 将递推公式变形，然后按等差数列的定义判定．
有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例7 小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人的年龄恰好构成一个等差数列，他们三人的年龄之和为120岁，小明爷爷的年龄比小明年龄的4倍还多
5岁，求他们祖孙三人的年龄．
解 设小明、小明的爸爸和小明的爷爷的年龄分别为
，其中
为公差．
则：
解得：
，
从而
，
将成等差数列的三个数
是经常使用的方法．
设为
例8、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。
四个数等差的设法：
a-3d，a-d，a+d，a+3d
公差为2d。
解：设三个数为a-d，a，a+d，则
解之得
故所求三数依次为2，4，6或6，4，2
等差数列的设法及求解
(1)若有三个数成等差数列，则一般设为a－d，a，a＋d；
(2)若有四个数成等差数列，则一般设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d；
(3)若有五个数成等差数列，则一般设为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.
例9
例10 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.
（1）求AB，BC，CD的长；
（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？
3，7，11
a9=35
S9=1225
国王在处决犯人，并使用一种特殊的方式：让犯人说一句话，如果犯人说的是真话，那么就绞死；如果犯人说的是假话，那么斩首。轮到一个聪明的犯人时，他说：“我说的是假话。”这样的话，就产生了悖论，即如果他说的是假话，那么这句话说明自己说的是真话。反过来，如果这句话是真话，那么这句话又说明他说的是假话。这样就没办法判断真假了。大臣们都很为难。国王想了想，叫人找来一个大盒子，把这个人放到盒子里，并注入毒气。国王说：“在我打开盒子前，他既是生的又是死的。
2.2.2 等差数列的性质
第一课时
2、等差数列的通项公式
1、等差数列的定义
3、等差数列的中项
复习
通项公式的证明及推广
4、通项公式法：
5、等差数列的性质
已知数列 为等差数列，那么有
性质1：若 成等差数列，则
成等差数列.
证明：根据等差数列的定义，
即 成等差数列.
如 成等差数列， 成等差数列.
推广：下标成等差的项，按原顺序可排成新的等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）
反之不成立：常数列
性质2：设 若 则
反之不成立：常数列
①若 为等差数列，且正整数p、q、r满足 ，则一定有：
性质2的推论：
③除首末两项以外，每一项是其左右相邻两项的等差中项。
②在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。
39
15
性质3：设 c, b 为常数，若数列 为等差数列，则数
列 为等差数列.
反之不成立：c=0
性质4：设 p, q 为常数，若数列 、 均为等差数列，
则数列 为等差数列.
反之不成立：p，q互为相反数，两个数列相同，但非等差。
2023
7
4
(1)(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝( )
A．14 B．21
C．28 D．35
(2)已知等差数列{an}，若a11＝－26，a51＝54，则a14＝________.
例1
【思路点拨】 利用等差数列的性质求解，或整体考虑问题．(1)利用2a4＝a3＋a5，(2)利用an＝am＋(n－m)d.
【答案】 (1)C (2)－20
变式训练1 (1)数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝________；
(2)在等差数列{an}中，已知a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________.
解析：(1)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，
故a5＋a8＝a3＋a10＝3.
(2)由a1＋a15＝a4＋a12，
得a8＝－2，∴a3＋a13＝2a8＝－4.
答案：(1)3 (2)－4
等差数列的应用题
某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
例3
【解】 由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，….
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，
所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
【名师点评】 “亏损”＝“利润小于零”．由于公差d＜0，所以利润构成的数列是一个递减数列，即随着n的增大，an的值越来越小，an＜0时(此处暗含an－1≥0成立)公司将出现亏损．
变式训练2 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m，平均降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度为26 ℃，问此山相对于山脚的高度是多少？
解：∵每升高100 m温度降低0.7 ℃，
∴该处温度的变化是一个等差数列问题．
山脚温度为首项a1＝26，山顶温度为末项an＝14.8，
∴26＋(n－1)×(－0.7)＝14.8，解得n＝17，
∴此山的高度为(17－1)×100＝1600(m)．
方法感悟
(4)若{an}是有穷等差数列，则与首、末两项等距离的两项之和都相等，且等于首、末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋1＋an－i＝….
(5)数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列．
等差数列的性质与判定
第二章
数 列
第四课时：
课题
1、等差数列的概念；
2、等差中项的概念；
3、等差数列的通项公式；
或
从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数
1、若 为公差为 有穷等差数列，则把 倒序
排列的数列仍然是等差数列，公差为 。
2、若 为等差数列，则等间隔抽取的子数列
也是等差数列。即脚码等差，项就等差。
3、若 、 是公差分别为 的等差数列，则 、 、 仍为等差数列，公差分别为
4、等差数列的首项为 ，公差 ，
将前 项去掉，其余各项组成的数列仍然是等差数列。新数列的首项为 公差仍为 。
①若 为等差数列，且正整数p、q、r满足 ，则一定有：
性质5的推论：
5、若 为等差数列，且正整数p、q、r、s满足 ，则一定有：
你能证明么？
③除首末两项以外，每一项是其左右相邻两项的等差中项。
②在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和。
39
15
- 4
A
D
98
2023
7
4
1、定义法：
证明后一项与前一项的差是与n无关的常数：
2、等差中项法：
证明第n项是第n-1项与第n+1项的等差中项：
3、通项公式法：
证明数列的通项是关于n的一次函数。
1、等差数列的性质；
2、等差数列的判定；
3、等差数列的图像与单调性。
定义法：
等差中项法：
通项公式法：
新知探究
思考：
等差数列性质1
等差数列性质1
【例1】
性质2：等差中项
【思考】若在a, b中插入一个数A，使a，A，b成等差数列，则A应满足什么条件？
【练习】
1.数列1，3，5，7，9，11，13……
中7是那些项的等差中项？
2.求下列两个数的等差中项：
（1）30与18； （2）-13与9。
3.在-1与9之间顺次插入a，b，c三
个数，使这五个数成等差数列，
求插入的三个数和等差数列的公差？
在学习了等差中项的概念后，我们又多了一中判定等差数列的方法。
问：如何判断一个数列为等差数列
【例2】已知a,b,c依次成等差数列，
求证： 成等差
数列.
【例3】
性质3：
数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。
判断：
说明：1.可推广到三项，四项等
2.等式两边作和的项数必须一样多
3.特别地：m+n=2p则am+an=2ap
性质1：公差计算公式，通项公式二
课后小结
性质2：等差中项
性质3：下标和性质
1、定义：
2、 通项公式：
推广：
一、知识要点；
5.等差数列性质：
（1）
（2）
若
则
（3）若数列 是等差数列，则
也是等差数列
（4）等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列
仍为等差数列
6.等差数列判定方法：
（1）定义法：
（2）递推公式法：
（3）看通项法：
（4）看前n项和法：
二、主要题型分析:
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5. 已知 是两个等差数列，前 项和
分别是 和 且
求
在等差数列
中，
为公差，若
且
求证：
证明： 设首项为
，则
例2.
等差数列的性质
P3911
am+an=ap+aq
②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目
的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？
【说明】
3.更一般的情形，an= ，d=
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的；
等差数列的性质
P398，10
5. 在等差数列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
例2 .在等差数列{an}中
(1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15
分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ①
又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得
a4= 17
a7= 11
a4= 11
a7= 17
或
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
例题分析
1.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
解：由题意得，
a6=a1+5d＞0 a7=a1+6d＜0
2.已知等差数列{an}的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。
解：a12=30+11d＜0
a11=30+10d≥0
∵d∈Z ∴d=-4
∴-23/5＜d＜-23/6
∴ -3≤d＜-30/11
即公差d的范围为：-3≤d＜-30/11
7．{an} 、{bn}是项数相同的等差数列,则{Pan +qbn} 是等差数列
3.通项公式推广 an= ，d=
本节课小结
1. {an}为等差数列
2. a、b、c成等差数列
an+1- an=d
an= a1+(n-1) d
an= kn + b
（k、b为常数）
am+(n - m) d
b为a、c 的等差中项AA
2b= a+c
4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q
am+an=ap+aq
5. 特别的有:a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …
=
=
=
6. am , am+k , am+2k , am+3k … 成等差数列。
等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项。
如果A是x和y的等差中项，则
在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。
性质1
例3．已知等差数列的公差为d，第m项为am，试求其第n项an.
解：由等差数列的通项公式可知
an=a1+(n－1)d，am=a1+(m－1)d，
两式相减得，
an=am+(n－m)d.
性质2
例4.（1）在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，
求证：am＋an＝ap＋aq.
（2）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7=450，求a2＋a8.
解：（2）∵ a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5，
∴ 5a5=450， a5=90,
∴ a2+a8= 2×90=180.
（性质3）
例6．已知等差数列{an}的首项a1=17，公差d=－0.6，此等差数列从第几项开始出现负数？
解：由题意，{an}的通项公式是
an=17－0.6(n－1)，
令17－0.6(n－1)<0，解得
又因为{an}是递减数列，
所以数列{an}从第30项起开始出现负数。
例8
（1）已知等差数列{an}中， a3 ＋a15=30,求a9， a7＋a11
解：
（1）∵a9是a3和a15的等差中项
∴
（2）已知等差数列{an}中， a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=150，求a2＋a8的值
∵7+11=3+15
（2）∵3+7=4+6=5+5
∴ a3 ＋a4＋a5 ＋a6 ＋a7=5 a5=150
即a5=30
故a2＋a8 =2 a5=60
∴ a7＋a11 =a3 ＋a15=30
∴ a3＋a7 =a4 ＋a6=2 a5
（1）等差数列{an}中，a3 ＋a9＋a15＋a21=8，则a12 =
（2）已知等差数列{an}中， a3 和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7 ＋a8 ＋a9＋a10＋a11=
2
（3）已知等差数列{an}中， a3 ＋a5= －14, 2a2＋a6 = －15，则a8=
－19
跟踪训练