南通市2021－2022(上)高三期中调研测试
数 学 试 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合
A．(1，2) B．(1，2] C．(2，4) D．[2，4)
2．已知z＝1－2i，|－z|＝
A．2 B．4 C．4i D．－4i
3．记为等差数列的前n项和，有下列四个等式
甲：；乙：；丙：S3＝9；丁：S5＝25．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．经研究发现，某昆虫释放信息素ts后，在距释放处xm的地方测得信息素浓度y满足lny＝－，其中A，K为非零常数．已知释放1s后，在距释放处2m的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4s后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为
A．m B．m C．2m D．4m
5．已知圆锥SO的顶点为S，母线SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝6，则圆锥
SO的体积为
A． B． C． D．
6．函数[－2，2)的图象大致为
7．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且，则
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
8．由倍角公式，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．－般地，存在一个n次多项式，使得这些多项式称为切比雪夫(P．L．Tschebyscheff)多项式．
例如，记作．利用求得sin18°＝
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每/小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知a＞b，则
A． B．a＞b
C． D．()a＜()b
10．已知把函数y＝sin2x的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数图象，则
A． B．
C． D．
11．已知数列{an}满足a1＝－2，a2＝2，an＋2－2an＝1－(－1)n，则
A．是等比数列 B．＝－10
C．是等比数列 D．＝52
12．在棱长为1的正方体中，点M在线段上，点N在线段BD上，则
A．当M为的中点时，
B．当MN//平面时，AM＝BN
C．当N为BD的中点时，三棱锥的体积为
D．当M为的中点时，以M为球心，MN为半径的球被平面截得的圆的面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知中心为O的正六边形ABCDEF的边长为2，则 ．
14．已知函数，当x＝3时，f(x)有极大值．写出符合上述要求的一个a的值为 ．
15．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，，若f(0)＋f(1)＝－4，则 ．
16．如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得点B落在CD边上点处，得到折痕MN
已知AB＝5cm，BC＝4cm，则当tan∠BMN＝ 时，折痕MN最短，其长度的最小值为 cm．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分)
已知数列是公比为正数的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和Sn．
18．(本题满分12分)
函数．
(1)求f(0)，f()；
(2)求函数f(x)在[－，]上的最大值与最小值．
19．(本题满分12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，AD//BC，PA⊥CD，AB＝BC＝PA＝PC＝1，AD＝2．
(1)证明：CD⊥平面PAC；
(2)若AC＝1，求二面角A－PD－C的正弦值．
20．(本题满分12分)
已知函数R) ．
(1)当a＝－2时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≤1，求a的取值范围．
21．(本题满分12分)
在△ABC中，已知D是BC上的点，AD平分∠BAC，且．
(1)若AB＝2BD＝5，求△ABC的面积；
(2)若AB＋BD＝6，求AD．
22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝xlnx．
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)设x1，x2为两个不相等的正数，且，证明：＜x1＋x2＜1南通市市直 2021-2022（上）期中高三调研测试
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． 设全集U R ，集合 A x 1 x 4 ，集合 B x 0 x 2 ．则集合 A U B
A． 1，2 B． 1，2 C． 2，4 D． 2，4
【答案】D
2． 已知 z 1 2i ，则 z z
A． 2 B． 4 C． 4i D． 4i
【答案】B
3． 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，有下列四个等式：
甲： a1 1；乙： a4 4；丙： S3 9；丁： S5 25 ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
4． 经研究发现，某昆虫释放信息素 t s后，在距释放处 x m 的地方测得信息素浓度 y 满足
ln y 1 ln t K x2 A，其中 A， K 为非零常数．已知释放1 s后，在距释放处2 m的
2 t
a
地方测得信息素浓度为a，则释放信息素 4 s后，信息素浓度为 2 的位置距释放处的距
离为
A 1 1． m B． m C．2 m D．4 m
4 2
【答案】D
5． 已知圆锥 SO 的顶点为 S ，母线 SA， SB ， SC 两两垂直，且 SA SB SC 6 ，
则圆锥 SO 的体积为
数学试卷 第 1 页（共 14 页）
A．18 2π B．54 2π C．16 3π D． 48 3π
【答案】C
6． 函数 y 2sin x x 2，2 的图象大致为
x2 1
y
y
A． B． x x
y y
C． D． x
x
【答案】A
1 1 1
7． 已知a，b，c 0， ，且ea e 2 a 1 ，eb e 3 b 1，ec e 5 c 1 ，则
2 3 5
A． a b c B． a c b C． c b a D．b c a
【答案】C
8． 由倍角公式 cos 2x 2cos2 x 1，可知 cos 2x 可以表示为 cos x的二次多项式．
一般地，存在一个 n次多项式 Pn (t) ，使得 cos nx Pn (cos x) ，这些多项式 Pn (t) 称为切比
雪夫（P．L．Tschebyscheff）多项式．
例如： cos 2x P2 (cos x) 2cos
2 x 1，记作 P2 (t) 2t
2 1．利用 P3(t)求得 sin18
A． 5 1 B． 3 5 C． 5 1 D． 5 1
4 2 2 8
【答案】A
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． 已知 a b，则
a b
1 1
A． ln 1 1 1 1a2 1 ln b2 1 B． a3 b3 C． a b D． 3 3
【答案】BD
10．已知把函数 y sin 2x 的图象上所有点向右平移 6 个单位长度，可得到函数
y f x 的
图象，则
数学试卷 第 2 页（共 14 页）
A． f x sin 2x B． f x sin 2x 3 6
C ． f x cos 2x D f x cos 2x 6 ． 3
【答案】AC
n
11．已知数列 an 满足 a1 2，a2 2，an 2 2an 1 1 ，则
5
A． a2n 1 是等比数列 B． a2i 1 2 10
i 1
10
C． a2n 是等比数列 D． ai 52
i 1
【答案】ACD
12．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M 在线段 AD1上，点 N 在线段 BD上，则
A．当M 为 AD1的中点时， AC1 MN
B．当MN∥平面CC1D1D时， AM BN
C．当 N 1为 BD的中点时，三棱锥C1 BMN 的体积为 6
D．当M 为 AD1的中点时，以M 为球心，MN 为半径的球被平面 BB1D1D截得圆的面积
π
的最小值为
4
【答案】ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知中心为 O 的正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则OA OC ．
【答案】 2
2
14．已知函数 f x x a x 3 a R ，当 x 3时， f x 有极大值．
写出符合上述要求的一个 a 的值为 ．
【答案】4（答案不唯一，满足 a 3 即可）
15．设函数 f x 的定义域为R ， f x 为偶函数， f x 1 为奇函数，当 x 1，2 时，
f x a 2x b ，若 f 0 f 1 4 f 7，则 2 ．
【答案】 4 4 2
数学试卷 第 3 页（共 14 页）
16．如图，将矩形纸片 ABCD的右下角折起，使得点 B 落在
D B1 C
CD边上点 B1处，得到折痕MN ．已知 AB 5 cm，
N
BC 4 cm ，则当 tan BMN 时，
折痕MN 最短，其长度的最小值为 cm ．
B
（本题第一空2分，第二空3分） A M
（第 16 题）
【答案】 2 ，3 3
2
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知数列 an 是公比为正数的等比数列，且 a1 2，a3 a2 4 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）若bn log2 an ，求数列 an bn 的前 n项和 Sn ．
解：（1）设数列 an 的公比为 q q 0 ，
由 a1 2，a3 a2 4 ，得 2q
2 2q 4 q 0 ．
所以 q 2 q 1，舍 ． …… 3 分
所以数列 a 的通项公式为 a n 1 nn n 2 2 即 an 2 ． …… 5 分
（2）由（1）及bn log2 an ，得bn log2 an log
n
2 2 n ．
所以数列 an bn 的前 n项和
Sn a1 b1 a2 b2 an bn
a1 a2 an b1 b2 bn …… 7 分
2 1 2n n n 1
1 n2 1 n 2n 1 2． …… 10 分
1 2 2 2 2
18．（12 分）
已知函数 f x sin(2x π) cos 2x ．
6
（1）求 f 0 ，f π12 ；
2 π π（ ）求函数 f x 在 ，4 4 上的最大值与最小值．
数学试卷 第 4 页（共 14 页）
解：（1） f 0 sin π cos0 1 1 3 ， f π sin 0 cos π 0 3 3 4 6 2 2 ．… 分12 6 2 2
（2） f x sin 2x π cos 2x sin 2x cos π cos 2x sin π cos2x6 6 6
3 sin 2x 1 cos 2x cos 2x 3 sin 2x 3 cos 2x
2 2 2 2
3 1 sin 2x 3 cos2x 3 sin 2xcos π cos 2x sin π 3 sin 2x π ．… 8 分 2 2 3 3 3
π因为 ≤x≤ π π π 5π，所以 ≤2x ≤ ．
4 4 6 3 6
y sin x ， 又因为函数 在 6 2 上单调递增，在
，
2 6 上单调递减，
π π所以当 2x ，即 x π 时， f (x) 取得最小值 3 ； 3 6 4 2
2x π π π当 ，即 x 时， f (x) 取得最大值 ． …… 12 3 2 分12 3
19．（12 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，AD // BC ，PA CD ，AB BC PA PC 1，AD=2 ．
（1）证明：CD 平面 PAC ；
（2）若 AC 1，求二面角 A PD C 的正弦值．
解：（1）设 AD 的中点为 E ，连接 AC，BE，CE ． P
因为 AD 2 ，所以 AE ED 1，
因为 BC AE 1，AD∥BC ，
A E
所以四边形 ABCE 为平行四边形．
D
O
又因为 AB BC ， B C
（第 19 题）
所以四边形 ABCE 为菱形，
所以 AC BE ， …… 2 分
同理，由 ED∥BC，ED BC 1得四边形 BCDE 为平行四边形，
所以CD∥BE ，所以CD AC ， …… 4 分
又CD PA，PA AC A，PA，AC 平面PAC ，
所以CD 平面 PAC ． …… 6 分
（2）方法一：设 AC BE O，由（1）得O 为 AC 的中点．
数学试卷 第 5 页（共 14 页）
连接 PO，因为 PA PC 1，
z
所以 PO AC ，又因为 AC 1， P
所以 PO 3 ．
2
由（1）得CD 平面 PAC ， A E
D
又因为 PO 平面PAC x O
B C y
所以CD PO ． （第 19 题）
又由（1）得，CD∥BE ，所以 PO BE ，
又因为 AC BE ，
所以 PO，AC，BE 两两垂直．
以O 为坐标原点，分别以OB，OC，OP 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系O xyz ．
所以 P 0，0， 3 ， A 0， 1 ，0 1，C 0， ，0 ， D 3，1 ，02 2 2 2 ，
所以 AP 0，1 ， 3 ， AD 3，1，0 ，CP 0， 1 ， 3 ，CD 3，0，0 ． 2 2 2 2
…… 8分
设平面 APD 的法向量n1 x1 ，y1 ，z1 ，平面CPD 的法向量n2 x2 ，y2 ，z2 ，
AP
n 11 0， y1
3 z 0，
由 得 2 2 1
AD n1 0， 3x1 y1 0．
令 x1 1，得 y1 3，z 1，所以平面 APD 的一个法向量n1 1， 3， 11 ，
CP n 2
0，
同理，由 得平面CPD 的一个法向量n2 0， 3，1 ． …… 10 分
CD n2 0，
设二面角 A PD C 的大小为 ，
n1 n2 5
所以 cos 5 ， sin 1 cos
2 2 5 ，
n1 n2 5
所以二面角 A PD C 的正弦值为 2 5 ． …… 12 分
5
方法二：取 PC 的中点 H ，连接 AH ，过点 A 作 AF PD ，垂足为F ，连接HF ．
因为 PA PC AC 1， H 为 PC 的中点，
所以 AH PC ．
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由（1），得CD 平面 PAC ，
AH 平面 PAC ，所以CD AH ．
P
又因为 PC 平面 PCD， F
CD 平面 PCD， PC CD C ，
H
所以 AH 平面 PCD． A E
D 因为 PD 平面 PCD， O
B C
所以 AH PD． （第 19 题）
又因为 AF PD ， AH 平面 AFH ，
AF 平面 AFH ， AH AF A，
所以 PD 平面 AHF ，所以 PD HF ．
所以 AFH 是二面角 A PD C 的平面角． …… 10 分
在正△PAC 中， AH 3 ．
2
在Rt△ACD 中，CD AD2 AC2 4 1 3 ，
所以在Rt△PCD 中， HF PC CD 3 ．
2PD 4
3
Rt AFH tan AFH AH在 △ 中， 2 2，sin AFH 2 5 ．
HF 3 5
4
所以二面角 A PD C 的正弦值为 2 5 ． …… 12 分
5
20．（12 分）
2
已知函数 f x ax x 1 (a R) ．
ex
（1）当 a 2 时，求 f x 的单调区间；
（2）当 x≥0时， f x ≤1，求 a的取值范围．
2
2x x 1 (2x 1)(x 2)解：（1）当 a 2 时， f (x) x ， f (x) x ． …… 2 分 e e
由 f (x) 0 1，得 x 或 x 2；
2
由 f (x) 0 1，得 x 2．
2
所以当 a 2 时，函数 f (x) 的单调增区间为 ， 1 2 ，+ 2 ， ；
数学试卷 第 7 页（共 14 页）
函数 f (x) 的单调减区间为 1 ，22 ． …… 5 分
（2） 方法一：当 x≥0时， f (x)≤1，即 ax2 ≤ ex x 1．
当 x 0时，a R ． …… 6 分
x 0 e
x x 1 ex x 1
当 时，a≤ 2 ，记 g(x) x 02 ， …… 8 分 x x
(x 2)(ex 1)
则 g (x) ，
x3
令 g (x) 0，解得 x 2；令 g (x) 0 ，解得0 x 2，
所以函数 g(x) 在 0，2 上单调递减，在 2，+ 上单调递增，
2
所以当 x 2时，g(x) 取最小值 e 1 ， …… 11 分
4
2
所以 a≤e 1 ．
4
2a ，e 1综上，实数 的取值范围是 ． …… 12 分 4
ax2 2a 1 x 2 x 2
ax 1
方法二： f x ，
ex ex
f x x 2当 a 0时， ，
ex
令 f x 0 ，得 x 2，所以 f x 在 2，+ 上单调递增；
令 f x 0 ，得 x 2 ，所以 f x 在 ，2 上单调递减．
所以 f x 在 0，2 上单调递减．
所以当 x 0，2 时， f x ≤f 0 1，
又当 x 2，+ f (x) x 1时， 0≤1
ex
．
所以 a 0符合题意． …… 7分
1 (x 2)
2
当 a 时， f x ≤0，
2 2ex
所以 f x 在 0， 上单调递减，因为 f (0) 1，所以 f (x)≤1，
1
所以 a 符合题意． …… 8 分
2
当 a 0 时，令 f x 0 1 1，得 x 或 x 2，所以 f x 在 ， 和 2 ，+ 上单 a a
调递增；令 f x 0 1，得 x 2 f (x) 1 ，2 a ，所以 在 a 上单调递减．
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所以 f x 在 0 ，2 上单调递减，
所以当 x 0，2 时， f (x)≤f 0 1，
x 2，+ f (x) ax
2 x 1
又当 时， 0≤1
ex
，
所以 a 0 符合题意． …… 9分
1 1 1
当0 a 时，令 f x 0 ，得 2 x ，所以 f x 在 2， 上单调递增；
2 a a
令 f x 0 ，得 x 2 或 x 1 ，所以 f x 在 ，2 1和 ，+ a a 上单调递减．
所以 f x 在 0，2 上单调递减，
所以当 x 0，2 时， f (x)≤f 0 1，
又因为 f x 2，1 1在 a 上单调递增，在 ，+ a 上单调递减．
2
1 a
1 1 1 1
所以由 f x ≤1，得 f ≤1a ，即
a a ≤1，即 ea≥1．
1
ea
0 a 1所以 符合题意． …… 10 分
2
a 1 f x 0 1 1 当 时，令 ，得 x 2a ，所以 f x 在 ，2a 上单调递增； 2
令 f x 0 x 1，得 或 x 2，所以 f x 在 ，1a a 和 2，+ 上单调递减．
1
所以 f x 在 0， 2，+
1
a 和 上单调递减，在 ，2a 单调递增．
2
因为 f 0 4a 11，所以由 f x ≤1得 f 2 ≤1，即 ≤1 e 1
e2
，解得 a≤ ．
4
2
所以 1 a≤ e 1． …… 11 分
2 4
e2a 1综上，实数 的取值范围是 ， ． ……12 分 4
21．（12 分）
在△ABC 3中，已知 D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC ，且 AC CD ．
2
（1）若 AB 2BD 5 ，求△ABC 的面积；
（2）若 AB + BD 6 ，求 AD ．
3 3
解：（1）方法一：设CD x，由 AC CD ，得 AC x ，
2 2
又 AB 2BD 5 ，
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AB BD
在△ABD中，由正弦定理，得 ①
sin ADB sin BAD
AC CD
在△ACD 中，由正弦定理，得 ②
sin ADC sin CAD
因为 AD 平分 BAC ，所以 BAD CAD ，
由 ADB ADC ，得 sin ADB sin ADC ，
5
① AB BD 5 3
由 得， ，所以 2 ，解得 x ． …… 4 分
② AC CD 3x x 2
2
所以 AC 3，BC BD CD 4 ．
所以 AB2 AC 2 BC 2 ，所以△ABC 为直角三角形．
1
所以 S△ABC AC BC 6 ． …… 6 分 2
方法二：因为在△ABC 中，AD 平分∠BAC，
1
S AB AD sin∠BAD AB
△ABD 2所以 1 ． S△ACD AC AD sin∠CAD AC
2
设△ABC 边 BC 上的高为 h，
1
S BD h
△ABD
BD
2 AB BD所以 1 ，所以
．
S△ACD CD h CD AC CD
2
3
又因为 AB 2BD 5 ，且 AC CD ，设CD x，
2
5
AB BD 5
由 2，得
AC CD 3
，
x x
2
x 3解得 ，所以 AC 3，BC BD CD 4 ． …… 4 分
2
所以 AB2 AC 2 BC 2 ，△ABC 为直角三角形．
1
所以 S△ABC AC BC 6 ． …… 6 分 2
（2）方法一：设 BD m ， DC n，则 AB 6 m ， AC n 3 ，
2
6 m m
由（1
AB BD 3
）知， AC DC ，所以 n 3 n ，即
2mn 6n m ， …… 8 分
2 2
数学试卷 第 10 页（共 14 页）
在 ADB中， cos ADB AD
2 DB2 AB2
△ ，
2AD DB
ADC cos ADC AD
2 DC 2 AC 2
在△ 中， ． …… 10 分 2AD DC
因为 ADB ADC π ，所以 cos ADB cos ADC ，
AD2 DB2 AB2 AD2 DC 2 AC 2
所以 ，
2AD DB 2AD DC
9
2 2 2 2 m 36n 9mn所以 AD2 AB CD BD CD AC BD CD BD 4 ，
CD BD m n
将mn 3n 3 m 代入上式，得 AD2
9(m n)
9 ．
4 m n
所以 AD 3． …… 12 分
AB BD
方法二：由（1）可设 k(k 0) ，则 AB=kAC，BD=kCD．
AC CD
3
又 AB + BD 6 ，且 AC CD ，
2
6AC CD ，
k
所以
3
AC CD ．2
12 3k 12 3k 12 3k 12 3k
所以 AB ，AC ，BD ，CD …… 8 分
4 4k 4 4k
12 3k 2 12 3k 2 12 3k
在△ABD 中，由余弦定理，得 AD2 2AD cos∠BAD 4 4 4
12 3k
即 AD cos∠BAD AD2 9k ……①
2
12 3k 2 12 3k 2 12 3k
在△ACD 中，由余弦定理，得 AD2 2AD cos∠CAD 4k 4k 4k
12 3k
即 AD cos∠CAD kAD2 9 ……②
2
由①②，得 kAD2 9 AD2 9k ，
k 1 AD2所以 9 0 ，所以 k 1或 AD 3． …… 11 分
当 k 1时， AB AC 15，BD CD 9 ，此时 AD 3．
4 4
综上可得 AD 3． …… 12 分
22．（12 分）
已知函数 f x x ln x ．
（1）求曲线 y f (x) 在点 1，f 1 处的切线方程；
数学试卷 第 11 页（共 14 页）
（2）设 x 21 ，x2 为两个不相等的正数，且 f x1 f x2 ，证明： x1 x2 1． e
解：（1） f (x) x ln x 的定义域为 0， ，且 f (1) 0．
f (x) ln x 1，f 1 1，
所以曲线 y f x 在点 1，f 1 处的切线方程为 y x 1，即 x y 1 0 ．… 4 分
（2）令 f (x) 0 ，得 x 1 e ．
列表如下
x 0，1e 1 1， e e
f x 0
f x 极小值
所以，由 f x1 f x x 12 1 x2 ，不妨设0 x1 x2 1． e
x ≥2 x x 2当 2 e 时， 1 2 e 成立，
2当 x2 x x
2 x 2 x
e 时，要证 1 2 e ，即证 2 e 1 ．
0 x 1 1 2 2 1因为 1 ，所以 x1 ，又因为 x
2
2 ， e e e e e e
且函数 f (x) 在 1， e 上单调递增，
所以要证 x 22 x
2
e 1 ，即证
f (x2 ) f xe 1 ．
因为 f x1 f x2 ，所以只要证 f (x1) f 2 x 2e 1 ，即证 f x1 f x1 0e ．
设 g x f x f 2 x 0 x 1 g 1，则 0e e e ．
g x f x f 2 x ln x 2 x 2e e ，
1 2 1 2因为0 x ，所以0 x( x) ( ) e e e ，
所以 ln x 2 x 2，即 ln x 2 x 2 0 ，即 g x 0e e ， …… 6 分
1所以函数 g(x)在 0，e 上单调递减．
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又 g 1 0e ，所以当 x 0 ，1 2e 时， g(x) 0 ，即 f x1 f xe 1 0 ，
所以 x1 x
2
2 e ．
2综上，x1 x2 ． e …… 8 分
x2
方法一：令 =t t 1 ，由 f x1 f xx 2 ，得 x1 ln x1 x2 ln x2 ， 1
化为 ln x1 t ln tx t1 ，得 ln x1 ln t1 t ，
要证 x1 x2 1，只要证 ln x1 x2 0 ，即证 ln x1 1 t 0，
即 ln x1 ln 1 t 0 t，即 ln t ln 1 t 01 t ，
即证 t ln t 1 t ln 1 t 0 ， …… 10 分
设 g t t ln t 1 t ln 1 t t 1 ，则 g 1 0 ， g t ln t 21 t 1 ， t
令u t 1 u 1
ln t 2 ln u 2u 2
1 t ，则 ，得2 1 t 1 t ，
设 h u lnu 2u 2 1 u 1 2 ，
则 h u 1 2 0 h u ln u 2u 2 1 ，1u ，所以函数 在区间 2 上单调递减，
所以 h u ln u 2u 2 h 1 0 ，即 g t 0 ，
所以函数 g t 在区间 1， 上单调递增，
所以 g t g 1 0，即得 t ln t 1 t ln 1 t 0 成立．
所以 x1 x2 1成立． …… 12分
方法二：先证 x ln x≥x 1，即证 ln x 1 -1≥0 ．设 h(x) ln x 1 -1(x 0) x x ，
1 1 x 1则 h x 2 2 ，令 h x 0x ，得 x 1． x x
列表如下
x 0，1 1 1，
h x 0
h x 极小值
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从上表可知，函数 h(x) 的最小值为0 ，
h(x)≥0 ln x 1所以 ，即 -1≥0，所以 x ln x≥x 1， x
所以 x2 ln x2≥x2 1． …… 10 分
又因为0 x1
1
e ，所以
ln x1 1，所以 x1 ln x1 x1 ．
因为 x1 ln x1 x2 ln x2 ，所以 x1 x2 1，即 x1 x2 1．
2
综上， x1 x2 1． e …… 12 分
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