(共42张PPT)
第六章 计数原理
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wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
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1=10813
0-D900=m7
S03
排列数定义排队问题的解法
排列数公式顺序确定问题的方法
知识
解法
全排列
阶乘
转化思想逻辑推理
素养或思想A级 基础巩固
1.某段铁路所有车站共发行132种普通车票,那么这段铁路的车站数是 ( )
A.8 B.12 C.16 D.24
解析:设车站数为n,则=132,即n(n-1)=132,
解得n=12或n=-11(舍去).
答案:B
2.化简的值是 ( )
A.2 B.3 C.5 D.10
解析:===2.
故选A.
答案:A
3.5人排成一排,如果甲必须站在排头或排尾,而乙不能站在排头或排尾,那么不同站法的种数为 ( )
A.18 B.36 C.48 D.60
解析:甲在排头或排尾的站法有种,乙在中间3个位置任选一个,有种站法,其余3人进行全排列,有种站法,故共有××=36种站法.
答案:B
4.若=2,则m的值为 ( )
A.5 B.3 C.6 D.7
解析:根据题意,得m≥5,m∈N*,
且m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)=2m(m-1)(m-2),即(m-3)(m-4)=2,可得m=5.故选A.
答案:A
5.6人站成一排,甲、乙、丙3人不能都站在一起的排法种数为576.
解析:“不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得排法种数为-=576.
6.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是96.
解析:先分组后用分配法求解.5张参观券分为4组,其中2个连号的有4种分法,每一种分法中的排列方法有种,因此不同的分法总数为4=4×24=96.
7.4名男同学、3名女同学站成一排.
(1)3名女同学必须相邻,有多少种不同的排法
(2)任意2名女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法
(3)3名女同学站在最中间三个位置上的不同排法有多少种
(4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法
(5)若3名女同学的身高互不相等,女同学按从高到矮的顺序排列,有多少种不同的排法
解:(1)3名女同学是特殊元素,她们排在一起,共有种排法;我们可视排好的女同学为一个整体,再与男同学排队,这时是5个元素的全排列,应有种排法.由分步乘法计数原理,得有=720种不同的排法.
(2)先将男同学排好,共有种排法,再在这4名男同学之间及两头的5个空档中插入3名女同学,有种排法,故符合条件的排法种数为×=1 440.
(3)3名女同学站在最中间三个位置上的不同排法种数为
×=144.
(4)排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有种排法;由于甲、乙要相邻,故把甲、乙排好,有种排法;把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有种排法.
这样,总共有××=960种不同的排法.
(5)从7个位置中选出4个位置把男同学排好,则有种排法.在余下的3个空位置中排女同学,由于女同学要按从高到矮的顺序排列,故仅有一种排法.这样总共有=840种不同的排法.
B级 拓展提高
8.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有 ( )
A.108种 B.186种 C.216种 D.270种
解析:利用间接法,用7人中任选3人的排列数减去只选派3名男生的排列数,即为所求排列数.可得不同的选派方案种数为-=186,故选B.
答案:B
9.下列各式中与排列数相等的是 ( )
A.
B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.
D.·
解析:因为=,·===,
所以=·.
答案:D
10.某海军舰长要求队员们依次完成A,B,C,D,E,F六项任务,并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务A必须排在前三位,且任务E,F必须排在一起,则这六项任务的不同安排方案共有 ( )
A.240种 B.188种 C.156种 D.120种
解析:根据题意,由于任务A必须排在前三位,分3种情况讨论:
①A排在第一位,任务E,F必须排在一起,则任务E,F相邻的情况有4种,考虑两者的顺序,又有2种情况.
将剩下的3个任务全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有4×2×6=48种安排方案.
②A排在第二位,任务E,F必须排在一起,则任务E,F相邻的情况有3种,考虑两者的顺序,又有2种情况.
将剩下的3个任务全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种安排方案.
③A排在第三位,任务E,F必须排在一起,则任务E,F相邻的情况有3种,考虑两者的顺序,又有2种情况.
将剩下的3个任务全排列,安排在其他三个位置,有=6种安排方法,则此时有3×2×6=36种安排方案.
则符合题意的安排方案种数为48+36+36=120.故选D.
答案:D
11.某单位要展出5件艺术作品,其中有2件不同的书法作品、2件不同的绘画作品、1件标志性建筑设计作品,在展台上将这5件作品排成一排,要求2件书法作品必须相邻,2件绘画作品不能相邻,则该单位展出这5件作品的不同方案种数为24(用数字作答).
解析:将2件书法作品排列,方法种数为2,将其作为一个整体与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法,对于其每一种排法,在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品,
故不同的方案种数为2×2×=24.
12.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法
(2)前4个节目要有舞蹈节目,有多少种排法
解:(1)先从5个演唱节目中选2个排在首尾2个位置,有种排法,再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上,有种排法,故不同排法的种数为×=14 400.
(2)先不考虑排列要求,有种排列.
其中前4个节目没有舞蹈节目的情况如下,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前4个位置,再将剩余4个节目排列在后4个位置,有×种排法.
所以前4个节目要有舞蹈节目的排法种数为-=37 440.
C级 挑战创新
13.多选题下列等式中成立的是 ( )
A.=(n-2)
B.=
C.n=
D.=
解析:A项中,右边=(n-2)(n-1)n==左边,成立;C项中,左边=
n×(n-1)×…×2=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1==右边,成立;D项中,左边=
×===右边,成立.经验证,只有B项不成立.
答案:ACD
14.多空题若高三(1)班四名同学邀请三位老师站成一排,七人合影留念,其中三位老师都不相邻,一共有1 440种不同的排法;若高三(2)班七位班干部站成一排合影留念,其中甲在乙的左边,丙在乙的右边,三人可以不相邻,一共有840种不同的排法.
解析:第一个空:由不相邻问题插空法,得七人合影留念,其中三位老师都不相邻,一共有×=1 440 种不同的排法.
第二个空:由题意,得不同排法的种数为=840.
