(共23张PPT)
第六章 计数原理
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S03
组合问题的
判断方法
知识组合
方法
列出问题的
组合的方法
数学抽象逻辑推理
素养或思想A级 基础巩固
1.以下四个问题,属于组合问题的是 ( )
A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列
B.老师在排座次时,将甲、乙两名同学安排为同桌
C.在电视节目中,主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星
D.从13名司机中任选出两名各开一辆车往返甲、乙两地
解析:从100名幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题.
答案:C
2.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的线段条数为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:如图.小于正方形边长的线段分别为OA,OB,OC,OD,共4条.
答案:A
3.A地至B地将开通高铁,共设有6个高铁站(包括A站和B站),则需设计不同票价的种类有(相同车站之间票价相同,不同车站之间票价不同) ( )
A.12种 B.15种 C.20种 D.30种
解析:不同的车票种类有=30种,则不同的票价种类为15种.
答案:B
4.设集合A={a1,a2,a3,a4 },则集合A中含有3个元素的子集共有
4个.
解析:从4个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集,分别为{a1,a2,a3 },{a2,a3,a4 },{a1, a3,a4 },{a1,a2, a4 },共4个.
5.中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛,通过单循环决出冠军、亚军.
(1)列出所有各场比赛的双方;
(2)列出所有冠军、亚军的可能情况.
解:(1)中国—美国 中国—古巴 中国—俄罗斯 美国—古巴 美国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
(2)冠军、亚军的可能情况如下表.(“中”代表中国,“美”代表美国,“古”代表古巴,“俄”代表俄罗斯)
冠军 中 中 中 美 美 美 古 古 古 俄 俄 俄
亚军 美 古 俄 中 古 俄 中 美 俄 中 美 古
B级 拓展提高
6.下列几个问题属于组合问题的是 ( )
①由1,2,3,4构成双元素集合;
②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况;
③将全班同学按身高排队;
④由1,2,4组成无重复数字的两位数的方法.
A.①③ B.②④ C.①② D.①②④
解析:由集合元素的无序性可知①属于组合问题;因为每两支球队比赛一次,没有顺序问题,故②是组合问题;按身高排队是有顺序的,故③是排列问题;④中组成的两位数与数字顺序有关,是排列问题.
答案:C
7.将6枚相同的硬币放入如图所示的9个方格中,要求每个方格中至多放1枚硬币,并且每行每列都有2枚硬币,则放置硬币的方法种数为 ( )
A.6 B.12 C.18 D.36
解析:根据题意,分3步进行分析:
第一步,在第1行中任选2个方格,放入硬币,有3种放法;
第二步,将2枚硬币放入第2行,必须有1枚放到第1行中未放入硬币的那一列,剩余1枚硬币有2种放法,故第2行有2种放法;
第三步,将最后的2枚硬币放入第3行,前两步中只有2列放了1枚硬币,故第3行只有1种放法.
综上所述,有3×2×1=6种不同的放法.
答案:A
8.从2,3,5,7四个数字中任取两个不同的数字相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数字相除,有n个不同的商,则m∶n=1∶2.
解析:由题意,知不同的积有m=6个,不同的商有n==12个,
则m∶n=1∶2.
9.某届世界杯举办期间,共32支球队参加比赛,它们先分成8个小组进行循环赛,决出16强(每队均与本组其他队赛1场,各组第一名、第二名晋级16强),这16支球队按确定的程序进行淘汰赛,即八分之一淘汰赛、四分之一淘汰赛、半决赛、决赛,最后决出冠军、亚军,此外还要决出第三名、第四名.这届世界杯总共将进行多少场比赛
解:可分为如下几类比赛:
(1)小组循环赛,每组有6场,8个小组共有48场比赛;
(2)八分之一淘汰赛,8个小组的第一名、第二名组成16强,根据赛制规则,每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出8强,共有8场比赛;
(3)四分之一淘汰赛,根据赛制规则,8强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出4强,共有4场比赛;
(4)半决赛,根据赛制规则,4强中每2支球队一组,每组比赛1场,可以决出2强,共有2场比赛;
(5)决赛,2强比赛1场决出冠军、亚军,4强中的另2支球队比赛1场决出第三名、第四名,共有2场比赛.
综上所述,由分类加法计数原理,知总共将进行48+8+4+2+2=64场比赛.
C级 挑战创新
10.多选题下列各事件是组合问题的为 ( )
A.8个朋友聚会,每2人握手一次,一共握手多少次
B.8个朋友相互写一封信,一共写了多少封信
C.从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个三位数,这样的三位数共有多少个
D.从1,2,3,…,9这9个数字中任取3个,组成一个集合,这样的集合有多少个
解析:A项,每2人握手一次,无顺序之分,是组合问题.B项,每2人相互写一封信,因为发信人与收信人是有顺序区别的,故是排列问题.C项,因为取出3个数字后,如果改变这3个数字的顺序,那么会得到不同的三位数,故是排列问题.D项,因为取出3个数字后,无论怎样改变这3个数字的顺序,其构成的集合都不变,故是组合问题.
答案:AD
11.多空题五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成10条线段;如果是有向线段,共有20条.
解析:对于线段来说,跟线段两个端点的顺序无关,所以为组合问题,共有10条线段.对于有向线段来说,因为两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是=20.所以有向线段共有20条.
