A级 基础巩固
1.在(1-x)201的展开式中,系数的最大值是 ( )
A. B. C. D.
解析:在(1-x)201的展开式中,第r+1项为Tr+1=(-x)r=(-1)rxr,所以系数的最大值是,故选B.
答案:B
2.若(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1 024,则n的值( )
A.8 B.9 C.10 D.11
解析:由题意,知(1+1)n(3-1)=1 024,即2n+1=1 024,所以n=9.故选B.
答案:B
3.若(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式中的常数项为 ( )
A.210 B.252 C.462 D.10
解析:由于展开式中只有第6项的系数最大,且各项系数等于其对应项的二项式系数,所以展开式的项数为11,所以n=10,Tr+1=x30-5r,当30-5r=0时,r=6,于是得其常数项为=210.
答案:A
4.设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100·x100,求下列各式的值.
(1)a0;
(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;
(3)a1+a3+a5+…+a99;
(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.
解:(1)令x=0,得a0=2100.
(2)令x=1,
可得a0+a1+a2+…+a100=(2-)100, ①
所以a1+a2+…+a100=(2-)100-2100.
(3)令x=-1,
可得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100. ②
由①-②,得a1+a3+…+a99=.
(4)结合①②可得,
(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2
=(a0+a1+a2+…+a100)(a0-a1+a2-…+a100)
=(2-)100×(2+)100
=1.
(5)|a0|+|a1|+…+|a100|,即(2+x)100的展开式中各项系数的和,
在(2+x)100的展开式中,令x=1,
可得各项系数的和为(2+)100.
5.已知的展开式的二项式系数之和为256.
(1)求n的值;
(2)若展开式中常数项为,求m的值;
(3)若(x+m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.
解:(1)二项式系数之和为2n=256,
解得n=8.
(2)设常数项为第r+1项,则
Tr+1=x8-r=mrx8-2r.
令8-2r=0,得r=4.
所以m4=,解得m=±.
(3)由题意,易知m>0.
设第k+1项系数最大,
则化简可得≤k≤.
因为只有第6项和第7项系数最大,
所以即
所以m=2.
B级 拓展提高
6.设的展开式的各项系数的和为M,二项式系数的和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为 ( )
A.-150 B.150 C.300 D.-300
解析:由已知条件,得4n-2n=240,解得n=4.
二项展开式的通项为Tk+1=(5x·=(-1)k54-k,
令4-=1,得k=2,
所以展开式中x的系数为(-1)2×52×=150.
答案:B
7.已知(1+2x)2n的展开式中奇次项系数之和等于364,则展开式中二项式系数最大的项是 ( )
A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项
解析:设(1+2x)2n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2n-1x2n-1+a2nx2n,则展开式中奇次项系数之和就是a1+a3+a5+…+a2n-1.
分别令x=1,x=-1,
得
由两式相减,得a1+a3+a5+…+=.
由已知,得=364,所以32n=729=36,所以n=3.
所以(1+2x)2n=(1+2x)6的展开式共有7项,中间一项的二项式系数最大,即第4项的二项式系数最大.
答案:B
8.若的二项展开式中,常数项为,则二项式系数最大的项为x3或-x3.
解析:的二项展开式的通项为Tk+1=·(x2)6-k=
a-kx12-3k.
令12-3k=0,得k=4,
所以a-4=,解得a=±2.
当a=2时,二项式系数最大的项为×2-3×x3=x3;
当a=-2时,二项式系数最大的项为×(-2)-3×x3=-x3.
9.若(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6,则=-.
解析:令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=1,
令x=0,得a0-a1+a2-…+a6=64,
两式相减,得2(a1+a3+a5)=-63,
两式相加,得2(a0+a2+a4+a6)=65,
故=-.
10.已知(+3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解:令x=1,则展开式中各项系数的和为(1+3)n=4n.
由二项式系数的性质,知展开式中各项的二项式系数之和为2n.
由题意,知4n-2n=992.
所以(2n)2-2n-992=0,
所以(2n+31)(2n-32)=0,
所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5.
(1)因为n=5为奇数,所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,它们分别为T3=·(3x2)2=90x6,T4=·(3x2)3=270.
(2)展开式的通项为Tk+1=·3k·,
假设Tk+1项的系数最大,
则有
所以≤k≤.
因为k∈N,所以k=4,
所以展开式中系数最大的项为T5=(3x2)4=405.
C级 挑战创新
11.多选题下列关于(a+b)10的说法正确的是 ( )
A.展开式中的各二项式系数之和为1 024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
解析:根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中的各二项式系数之和为210=1 024,故A项说法正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间一项,即第6项的二项式系数最大,故B项说法正确,C项说法错误;经分析,易知展开式中各项的系数等于二项式系数,故第6项的系数最大,故D项说法错误.
答案:AB
12.多空题若x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a12(x+2)12,则a0+a1+a2+…+a11+a12=256,log2(a1+a3+…+a11)=7.
解析:令x=-1,
则28=a0+a1+a2+…+a11+a12=256.
令x=-3,则0=a0-a1+a2-…-a11+a12.
所以28=2(a1+a3+…+a11),
所以a1+a3+…+a11=27,
所以log2(a1+a3+…+a11)=log227=7.
13.多空题若在的展开式中,所有奇数项系数之和为1 024,则n=11;中间项系数是462.
解析:由题意,得展开式各项的系数与对应的二项式系数相等.因为二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,所以由题意,得2n-1=1 024,所以n=11,所以展开式共有12项,中间项为第6项、第7项,其系数为==462.(共31张PPT)
第六章 计数原理
+X
wuH
IV
1=0310
0:哪-D,90
Ta
g
+X)
1=10813
0-D900=m7
S03
读
已知二项式系数满足的条件,求二项式系数及系数最大的项
想一先根据条件求出n,再判断二项式系数或系数最大项
(1)由题意,得Cn+C6=2C5,
所以n2-21n+98=0,
解得n=7或n=14.
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5,T4
的系数为C×
2)×23-35
T5的系数为c
2
算
24=70
故当n=7时,展开式中二项式系数最大的项的系数分别
35
为-,7
当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,
7
T8的系数为C4
27=3432
2
故当n=14时,展开式中二项式系数最大的项的系数
为3432
(2)由题意,知C0+C+C2=79
解得n=12或n=-13(舍去)
设展开式中第r+1项的系数最大,
12
由+2x
(1+4x)12,
2
C24≥C1214-1,
得
所以9.4≤r≤10.4
C24≥C214+1
又因为r∈{0,1,2,…,12},所以r=10,
所以系数最大的项为T1,且
12
11
12
·C1·(4x)10=16896x10
求展开式中系数的最值的方法
(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相
思等,可转化为确定二项式系数的最值来解决
(2)若展开式的系数为f(r)=C·m的形式,如求
(a+bx)(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用
待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2
A,+1≥A
An+1,且第r+1项系数最大,应用
r+29
A,+1≥A
解出r,即得系数最大项
(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系
数的类型,可采用逐个作差(作商)进行比较、确定
对称性求二项展开式中系
知识式系增减性与大的项数最
二项
数或二项式系
数的最大值
性质
求二项展开式中系方法
各二项式数和的方法
系数的和
求展开式中系数的
最值的方法
数学抽象数学运算函数思想
素养或思想
